Алгебра и геометрия 13. Ортогональные и унитарные операторы

В этой лекции профессор рассматривает ортогональные и унитарные операторы, начиная с основной теоремы о самосопряженных операторах и определения положительной определенности. Далее обсуждаются свойства собственных подпространств, критерии ортогональности и сохранения расстояния, а также понятие изометрии. В лекции приводятся критерии ортогонализации, утверждения о ортогональном дополнении и каноническом виде операторов. Особое внимание уделяется полярному разложению линейного оператора и его свойствам. Текст сопровождается подробными таймкодами: 00:00:00 - Интро 00:00:46 - Основная теорема о самосопряженном операторе 00:24:38 - Определение положительной определенности самосопряженного оператора 00:26:10 - Следствие про положительную определенность 00:27:10 - Утверждение про ортогональность собственных подпространств 00:31:40 - Определения ортогонального и унитарного операторов 00:33:50 - Критерий ортогонального(унитарного) оператора(сохранение расстояния) 00:39:29 - Определение изометрии 00:40:30 - Критерий ортогональности(сопряженный = обратный) 00:43:13 - Следствие про определитель матрицы 00:46:26 - Критерий ортогонализации(соответствующая матрица ортогональная(унитарная)) 00:49:44 - Критерий ортогонализации(через базис) 00:54:30 - Утверждение про ортогональное дополнение 00:58:57 - Теорема о каноническом виде унитарного оператора 01:09:40 - Примеры унитарных операторов. 01:12:52 - Теорема о каноническом виде ортогонального оператора 01:33:00 - Полярное разложение линейного оператора 01:37:20 - Теорема о полярном разложении 01:59:40 - Следствие в случае невырожденности 02:02:30 - Следствие о единственности разложения 02:15:00 - Конец