7-11 класс, Комбинаторика (Баранов В. Н.), 21 ноября

Так, все.

Вроде бы все хорошо.

Так, звук есть, экран есть, файлик с задачками есть.

Ну вот, сейчас еще минуточку, посмотрим, кто добежит.

Я вот сам добежал.

Вот, все, пять минут.

Сегодня у нас продолжение цикла комбинаторика.

Третье занятие.

Вот, сегодня мы поговорим, как видно из названия листочка, про двойные подсчеты, про...

Так, меня не слышно, да?

Сейчас еще раз разберусь.

Не очень понятно.

Сейчас.

Сейчас.

А, все слышно все-таки.

Опять так.

Все, вроде бы экран видно, вроде бы все слышно.

Меня опять сбило немножко.

Так, все хорошо, все в порядке, все слышно, спасибо.

Так, вот мы сегодня поговорим о подсчете двумя способами.

Так, сейчас я, наверное, включу изображение.

Просил.

Вот.

Вот так.

Так, всем доброго дня.

Вот, если кому-то важно.

Все.

Давайте смотреть на задачки.

Ближе к концу мы опять подойдем к задачам с подсчетами и, может быть, вернемся.

Хотя после сегодняшних последних задач, которые спланированы, мне кажется, с первого листочка последние задачи должны стать более понятны.

Должны стать более понятны.

Первая задача.

Первая задача.

Ну, вот я ее включил, таких задач очень много, хотя про оценку плюс пример, про неравенство, куда в комбинаторику, не в комбинаторику включать, но вот включил парочку задач.

Начнем с первой.

Наташа распределила рыбок по 33 аквариуму так, что в любых трех аквариумах плавает не менее 10 рыб.

У нас есть 33 аквариума.

Пока народ ходит, я постепенно.

Всего 33 аквариума.

Таких задач много с такими условиями.

И в любых трех плавает не менее 10 рыбок.

Тут хорошая задача и на принцип крайнего, и на упорядочивание.

Даже без этого мы вполне можем обойтись.

Можно взять три аквариума, в которых плавает меньше всего рыбок, и посмотреть.

В любом случае мы придем к такому рассуждению.

10 рыбок на 3 аквариума говорит нам о том, что в каком-то аквариуме плавает хотя бы 4 рыбки.

Плавает хотя бы 4 рыбки.

И нам это известно, что это вообще про любые три аквариума из 33.

Значит, вот мы можем сделать такой вывод.

Еще раз, я сегодня не про упорядочивание, не про это.

Вот про подсчеты.

Значит, в любых трех аквариумах, в любых трех аквариумах хотя бы 10 рыбок.

Значит...

Среди любых трех аквариумов есть аквариум, найдется аквариум, в котором хотя бы четыре рыбки.

На первом листочке у нас подобная задача была.

Еще раз про это напомнить.

То есть нам надо было еще шаг какой-то сделать.

Там прямо было сказано, что среди любых какого-то набора что-то найдется.

Частое очень условие.

Здесь мы его получили из принципа дирихле.

То есть если 10 рыбок в трех аквариумах...

Рыбки, понятно, про полтора землекопа это не отсюда.

Целыми штуками считаются.

В среде любых трех аквариумов найдется аквариум, в котором хотя бы четыре рыбки.

Ну, это значит, следовательно, не более чем в двух аквариумах, не более чем

двух аквариумах не больше трех рыбок.

Если у нас найдется три аквариума, в которых не больше трех рыбок, тогда мы найдем три аквариума, в которых не больше девяти рыбок.

На это противоречит условие.

Значит, уже отсюда можно сделать оценку.

Отсюда можно сделать оценку.

Оценка.

Значит, в двух аквариумах не более, чем три.

Всего рыбок не более, в двух не более, чем трех.

Ну, а в оставшихся 31... А, найдите наименьшее.

Вот.

Тогда не так.

Значит, возьмем три аквариума.

Возьмем три аквариума, в которых...

Вот у нас не более двух, в которых не более трех.

И еще к ним прицепим какой угодно.

Это еще один.

По условию задачи в этих трех аквариумах хотя бы 10 рыбок.

10 рыбок.

То есть я возьму самое... Ну, можно, опять же, принцип крайнего, если применять, то возьмем самые непустонаселенные аквариумы.

В первом, втором, в третьем уже хотя бы 4.

Во всех остальных тоже хотя бы 4, а вот в первых трех хотя бы 10.

Всего рыбок... Всего рыбок... Хотя бы 10 плюс... Сколько у нас остается...

33 аквариума, да, 3 аквариума у них хотя бы 10, еще 30, в которых хотя бы по 4 рыбки.

Хотя бы по 4 рыбки.

То есть это оценка.

Это оценка.

Ну, как раз уже народ подходит еще.

Вот.

И пример.

Ну, пример тоже понятно какой.

То есть если мы хотим построить пример, в котором ровно 133 рыбки, то есть мы доказали, что их не меньше 133, хотим построить пример, когда рыбок

Ровно 130.

У нас все неравенства должны обратиться в равенство.

Тут особо выбора нет, как его придумывать.

Это значит 2 аквариума по 3 рыбки.

2 аквариума по 3 рыбки.

И 31 аквариум по 4 рыбки.

Ну, вот тут оценка как раз нужна для того, чтобы говорить, если есть очень маленькие аквариумы, где меньше трех рыбок, тогда есть аквариум, в котором больше рыбок, чтобы до 10 дотянуло.

Ну, вот чтобы... Откуда 30?

Вот еще раз.

Вот я взял, отделил отдельно три аквариума, в которых не более 10 рыбок.

И в эти три аквариума я поставил те два аквариума, в которых

Не более двух.

И остальные 30 аквариумов.

Три аквариума, в которых ровно 10.

Не ровно 10, не менее 10.

И 30 аквариумов.

То есть, во всех трех не менее 10.

А тут 30 в каждом.

Не менее 4.

Это те аквариумы, мы доказали, что у нас среди всех наших 33 аквариумов первый шаг был.

Первый шаг был, я его А, например, назову.

Первый шаг.

То, что среди любых трех аквариумов найдется аквариум, в котором хотя бы четыре рыбки, значит, не более трех рыбок, не более чем в двух аквариумах, а у всех остальных хотя бы четыре.

Вот я возьму три аквариума, среди которых два вот самых маленьких, их не более двух.

То есть вот у нас, можно так сказать, в двух аквариумах может быть, не факт, но может быть,

Не более трех рыбок, а вот во остальных 31 аквариум точно, точно, хотя бы по 4 рыбки.

Но чтобы сделать оценку, я беру три аквариума, чтобы сказать, вот в этих трех аквариумах, даже если они малонаселенные, но вот в трех аквариумах хотя бы 10 рыбок есть.

Хотя бы 10 рыбок есть.

То есть я выделил отдельно три аквариума.

в которых хотя бы 10, и остальные 30, в каждом из которых хотя бы 4.

Отсюда и получается оценка.

То есть 33 аквариума разделил на два сорта.

Первый шаг был понять, что почти во всех аквариумах рыбы хотя бы 4.

Мы делаем оценку снизу, поэтому нам нужно неравенство больше либо равно.

Почти во всех аквариумах, опять же почти во всех, это не математический термин, в 31 аквариуме хотя бы 4 рыбы.

Вот возьмем 2 непонятных аквариума, к ним еще какой-то добавим, в них хотя бы 10, чтобы не перебирать там варианты, что если в самом маленьком аквариуме поменьше, то должен быть аквариум, в котором побольше.

С неравенствами оценочки лучше всего.

Когда делаются, это очень хорошо.

Без всяких переборов и метода шевеления.

Аккуратненько сделали оценочку, все получше.

Ну и на отработку этой идеи у нас будут задачки.

в домашнем.

Так, мы потихонечку переходим ко второй задаче.

Второй задаче.

То, о чем я позавчера говорил, вот мы когда последнюю задачку долго-долго мучили, там клетчатые квадратики считали, я говорил, вот доминошки считать полезно.

Вот это как раз теперь задачка, почему доминошки считать полезно.

Почему доминошки считать полезно.

Так, ну вот я могу сначала какой-нибудь примерчик, пока еще народ подходит.

Например, закрашивают по одной клетке в каком-то, ну давайте я возьму, например, квадратик 2 на 2.

Я клетку, которую закрашиваю, буду писать в нее чиселка, которая мы закрашиваем.

То есть красить не буду, а буду писать число.

Значит, тут я первую, например, закрашу.

Ну, понятно, квадрат 2 на 2, угловую клетку.

Я туда напишу 0, потому что у этой клетки нет ни одного перед этим закрашенного соседа.

Ну, потом возьму клетку, например, по диагональке.

Я ее закрасил, но у нее не было ни одного закрашенного соседа, поэтому я туда тоже напишу 0.

Потом сюда запишу 2.

Потому что я закрасил правую нижнюю клетку.

У нее уже два закрашенных соседа.

Ну и закрашу левую верхнюю клетку.

У нее тоже два закрашенных соседа.

Получится такой наборчик.

2 0 клетки.

Могу закрашивать клетки по-другому.

По кругу пойду.

Правую верхнюю закрашу.

Напишу туда 0.

Потому что ни одной соседки закрашенной.

Здесь я напишу единичку.

Потому что одна соседка закрашена.

Здесь тоже единичку, потому что одна соседка закрашена.

И здесь уже двойку.

И так и так получилось, что сумма чисел записанных таблиц оказалась равна 4.

Оказалась равна 4.

Ну и наводит на размышления вот тоже, что в квадрате 8 на 8 какое-то... Это очень трудно проделать этот процесс несколько раз.

64 клетки заполнены, это еще не сбиться.

Я бы наверняка сбился, гипотеза бы умерла.

Поэтому я бы на маленьких квадратах поэкспериментировал.

Но в целом какую идейку стоит понять?

Какую идею стоит понять?

У нас есть фраза.

Пишется количество закрашенных соседей.

Значит, дело о соседях.

А что такое соседние клетки?

Это доминошка.

Это доминошка.

И как мы можем посчитать общую сумму?

Причем здесь подсчет двумя способами.

Мы можем посчитать, когда закрасили, когда закрасили,

когда закрасили все клетки, посчитать все числа в 64 клетках и их сложить.

Нас и просят это найти.

И как это найти, не особо понятно.

То есть даже если мы начнем перебирать вариант, я не уверен, что я бы с уверенностью, безидейно сказал, что у меня 5 раз получилось одно и то же число, но обязательно и

получится еще один раз такое же число.

Потому что доска-то большая.

Если доска 2025 на 2025.

Нужна идея какая-то.

Ну, какая идея?

Давайте смотреть на соседей именно.

Давайте смотреть на соседей.

Вот у нас обязательно смотрим только на две соседние клетки.

Как бы они ни были расположены.

Клетки будут закрашены по очереди.

Сначала первая, потом вторая.

И если только следить за вкладом в общую сумму каждой клетки, то у нас первая клетка, которая закрашена, внутри этой пары.

То есть какой вклад может дать каждая пара?

Вот каждая пара в общую сумму дает...

Дает вклад один.

Дает вклад один.

Вот.

Так.

Почему?

Ну, потому что одна клетка будет закрашена после другой.

И вот клетка, которая закрашена первая, вот в этой именно паре, она единичку считать не будет, как закрашенную соседку.

И только вторая, которая будет закрашена именно в этой паре второй, она добавит единичку

Точнее, она возьмет единичку от первой закрашенной клетки.

Значит, каждая пара в общую сумму дает вклад ровно 1.

Ну и нам осталось посчитать количество пар.

Осталось посчитать количество пар.

Количество доминошек, о чем я и говорил.

Получается, что всего доминошек или всего пар... Всего пар...

Позавчера мы это считали, да, но еще раз.

И я, помните, еще говорил про перегородки, да, но вот еще раз повторю, кто-то не был.

Вот как пары посчитать на доске?

Сколько всего, например, фишек, стоящих рядом?

Поставили во все клетки фишки, там какие-то условия, именно про соседей говорим.

Вот сколько всего пар соседей?

Ну вот столько же, сколько перегородок.

То есть вот можно так считать.

Вот сколько таких вот линий?

Вот первая, вторая.

То есть каждая,

Пара соседей определяется вот этой средней линией, границей, которая их разъединяет.

Ну или еще проще, доминошки можно считать.

Но опять же, каждая доминошка определяется вот этой стороной клетки, которая является соседней для обеих клеток.

Ну и получается вот у нас здесь опять любимое воспоминание про четвертый класс.

Зайцы пилят бревно.

То есть вот у нас получается...

7 вертикалей в каждой по 8 сторон клеток.

И вот здесь.

7 горизонталей в каждой по 8 перегородок.

Общих сторон клеток.

Всего пар будет 2 на 7 на 8.

Это 112.

Как бы мы не стали вписывать числа,

Мы получим 112, потому что каждая пара даст вклад в общую сумму равной единичке.

Именно та клетка, которая будет записана после.

Мы не единичку на нее запишем, мы напишем, сколько у нее к этому моменту соседей закрашено.

Но количество, которое будет написано на этой клетке, оно как раз считается как сумма пар, в которые эта клетка входит.

Так вот, мы теперь разбили и в каждой паре просто по отдельности считаем.

Хотелось бы про это напомнить.

У задачи много всяких клонов.

Недавно встречал такую, что у каждой клетки, когда закрашивается, считаются вообще все соседние угловые тоже.

То есть может быть записано число вплоть до 8.

Тогда нам помимо соседних, это уже вспомнил, что вот такая задачка была, то есть считаются вообще все соседние клетки.

Все соседние.

Ну, тогда нам еще и нужно считать перегородки, да?

Ну, сколько перегородок на доске?

Ну, еще и сколько у нас соседних клеток по уголку, да?

Тоже вот такие вопросы интересные.

Ну, вот это определяется там.

вершинкой двух клеток.

Задачи могут быть идейно... Идея такая.

Подсчет двумя способами перейти к подсчету в парах.

Что у нас является соседями?

Внутри каждой парочки разобраться, какой будет вклад.

А соседями могут быть не обязательно соседние по стороне, но и по углам.

В этом году встречал такое, что считались вообще все до этого выставленные.

И соседние по углу тоже.

Так, третья задачка.

Третья задачка.

Третья задачка.

Целые числа расставлены во всех клетках таблицы.

Сейчас перерисуем.

Вот сегодня подсчет двумя способами, но очень много задач, конечно, на клетчатых досках.

Любимый объект.

Простой, ничего объяснять не надо.

Вот.

Отрабатывается подсчет двумя способами.

Принцип крайнего.

Оценка плюс пример.

Любая тема популярна.

Постепенное конструирование.

Вот у нас есть еще один подсчет двумя способами.

Таких задач тоже очень много.

С периметрами, если вспомните.

Здесь как формула про включение и исключение.

Пусть в уголке написано х, я сразу напишу не звездочка, а х. Звездочку прибавлять не очень хочется.

Целые числа расставлены во всех клетках таблицы 4х4, так что все 8 сумм в строках и в столбцах равны.

Найдите число, обозначенное звездочкой.

Ну да, про магический квадрат можно вспомнить, как все это считается.

Сколько, как это.

Ну вот здесь вот такое любопытное.

У нас углы есть и серединка.

Углы и серединка.

Давайте посмотрим.

Значит...

Опять же, надо посмотреть, порассуждать, как выделить именно эти числа.

Как выделить именно эти числа.

Давайте я сложу.

Это придумывается методом пристального взгляда.

Надо смотреть, какие пересечения.

Я возьму эти четыре суммы.

Сложу эти четыре суммы.

Будет, что...

4s давайте смотреть это вот когда сложу 4 суммы две крайние вертикали верхнюю нижнюю горизонтали я числа стоящую в углу посчитаю по два раза будет 21

Плюс 2.

Плюс 3.

Плюс х. А числа, которые стоят на сторонах.

Числа, которые стоят на сторонах.

Давайте.

Я их не знаю.

Но я их общую.

Числа, которые стоят на сторонах.

Про них вообще ничего не известно.

И судя по всему, они нам не интересны.

Нас х интересует.

Это можно обозначить.

Какая-то сумма еще на сторонах стоящая.

Пусть будет а.

И она посчитана по одному разу.

То есть, если я сложу вот эти четыре линии, это первое действие, я получу, во-первых, учетверенную сумму в каждой линии.

И это будет равно другим способом теперь считаю.

То есть, так я сложил четыре раза одно и то же.

Теперь это считаем так.

Угловые клетки посчитаны по два раза, а клетки, которые стоят на сторонах, посчитаны по одному разу.

Так.

Ну и теперь, да, вот как эти клетки, вот главное понять, как их выкинуть.

Давайте теперь вот вторым действием, не знаю, каким-то, может другой цвет возьму, вот так вот.

Значит, теперь я возьму вот эти две суммы и вот эти две.

Это по-прежнему будет 4 суммы.

То есть я теперь серединки беру.

То есть мне надо вычленить клеточки, которые стоят в середине.

И опять будет.

Если мы сложим 4 эти суммы, я получу удвоенное число, стоящее в середине.

Вот опять же, второй подсчет опять двумя способами.

То есть 4s на что разбивается.

Числа, стоящие в середине, посчитаны по 2 раза.

а числа, стоящие в тех же самых заштрихованных клетках, то есть клетки, которые на стороне, посчитаны один раз.

Так, ну и отсюда получаем уже уравнение 2 умножить на 1 плюс 2 плюс 3 плюс х.

Равняется 2 на 4 плюс 5 плюс 6 плюс 7.

То есть подсчет двумя способами и плюс еще внутри каждого подсчета у нас еще раз разбиваем на два слагаемые.

Числа посчитанные по два раза, по одному разу.

Решаем это уравнение, что у нас тут 6 плюс х.

равняется 22.

11 на 2.

Отсюда третья задача.

Это x равняется 6.

То есть, опять подсчет двумя способами.

На самом деле, это как уже можно относить формулу включения и исключения.

Что-то считаем и считаем, сколько раз мы какие-то числа посчитали.

Ну, опять же, гигантское количество задач.

Там фигуры могут быть разные, самые разнообразные.

Там на сторонах многоугольника что-то ставится, в вершинах куба.

Потом что-то считается, можно все складывать, смотреть, какие числа несколько раз вошли.

Ну, хотелось напомнить, что такие задачи... Ой, спасибо.

Вот так вот.

16.

16.

16. x равно 16.

Вот.

Потому что невнимательность.

Итак, х равно 16.

Во всех таких задачах хотелось бы напомнить задачу про периметры.

Это тоже про подсчет двумя способами.

То есть там вам известны периметры каких-то комнат.

Попытайтесь их как-то скомбинировать, чтобы было понятно, какие стенки и перегородки, куда входят, сколько раз.

Ну и там какие-то, соответственно, уравнения или оценки, они могут получаться.

То есть вот задача про периметры, это примерно вот такая же идеология.

То есть как-то скомбинировать кусочки, сложить и посчитать, сколько какие отрезки мы посчитали раз.

Ну а потом уже там либо уравнение составить, либо оценку сделать.

Спасибо за замечание.

Вот так.

Четвертая задача.

Четвертая задача.

Пока нет, кроме описки.

Четвертая задачка.

На каждую клетку шахматной доски положили монеты.

При этом, если клетки соседние по стороне, то количество монет на них отличается на один.

На одной клетке лежит 3 монеты, на другой 17.

Посчитали сумму монет в 8 строках и взяли среди 8 полученных монет сумму наибольшую.

Найдите все варианты, какие могли получиться.

Так.

Ну, хорошая задачка.

Она тоже когда-то произросла.

Я вот сейчас не вспомнил, наверное, там...

На шахматной доске поставили числа.

В любых двух соседних клетках они отличаются не очень намного.

Докажите, что найдутся два равных числа.

То есть, какие значения они могут принимать.

Такая задача была.

На самом деле, мы сейчас примерно то же самое рассмотрим.

Идея повторяется.

Иногда усложняется, иногда упрощается.

В чем суть такой задачи?

В чем суть такой задачи, о чем бы хотелось напомнить.

Возьму я доску.

Сейчас еще раз у нас доска.

Шахматная.

То есть 8х8.

Если доска шахматная, то это 8х8.

Вот.

Эй.

Давайте мы вообще порассуждаем.

Если как-то что-то положили, но мы не знаем как и что, как могут отличаться, то есть вообще сколько разных вариантов может быть на этой доске, если в соседних клетках.

Монеты выкладывают.

Это как легенда про шахматную доску.

Там зерна выкладывают.

Пшеничные.

Или не помню какие.

Какие-то зерна.

Давайте посмотрим.

Раз отличаются на один, то, наверное, хотелось бы посмотреть, какое максимальное различие между двумя числами может быть.

Вот я в левой нижней клетке обозначу х. И вот что я могу сказать.

Если в левой нижней клетке х, то в соседней с ней не более чем х плюс 1.

Еще в соседней с ней не более чем х плюс 2.

То есть мы не знаем в точности ли x1 и x2, но точно можем сказать, что если мы через 2 двух соседей, мы же смогли перейти из одной клетки в другую, то они отличаются не более чем на 2, потому что в каждой соседней клетке числа отличаются на единицу.

А может быть x минус 1.

Отличаются на единицу.

Соседний с x может быть x плюс 1, а может быть x минус 1.

Поэтому я не знаю.

Не скажем, что я увеличивать иду.

Я пока рассуждаю.

Про ячейки, клетки шахматной доски.

Про количество монет, лежащих в клетке шахматной доски.

И я что сейчас утверждаю?

В правой верхней клетке число не более чем x плюс 14.

Давайте поймем почему.

Потому что существует путь, проходящий через 14 клеток.

То есть я сначала иду.

Не любой путь, а вот хотя бы один есть путь, проходящий не более чем через 14 границ.

Каждый переход через границу приводит к тому, что количество монет, лежащих в клетке, увеличивается не более чем на один.

Не в худшем, не в лучшем случае.

Просто не более чем на 1.

Значит, числа в левом нижнем, в правом верхнем углу отличаются не более чем на 14.

И вообще это рассуждение можно обобщить.

Любые... Ну, давайте я уже не буду про количество монет говорить.

Количество монет – это число, записанное в клетке.

Любые... Любые два числа

На доске отличаются не более чем на 14.

Ну, потому что между любыми двумя клетками, я сейчас не буду привязываться, где они конкретно находятся.

Вот возьму любые две клетки.

А и Б. От клетки А пойдем в ту же вертикаль, где и клетка Б. Может быть и вообще не пойдем, если они стоят в одной вертикали.

Чтобы это сделать, нам нужно пройти не более 7 перегородок.

Потому что их всего 8 клеток во всей горизонтали.

И чтобы перейти из одной в другую, нам придется сделать не более 7 шагов.

Ну а теперь внутри вертикали, то есть вот чтобы сюда добраться не более 7, а чтобы из этой клетки до B добраться тоже не более 7.

Значит у нас между любыми двумя клетками на шахматной доске существует путь длины не более 14.

Ну а раз у нас есть условие, что два значения в соседних клетках отличаются на единицу, можно сказать, что B не больше чем A плюс 14 и A не больше чем B плюс 14.

Ну или кратко записать, числа отличаются не более чем на 14.

Ага, хорошо, вот это первое наблюдение.

Но это такое вот, я говорю, есть задача, есть какая-то добрая старая задача, в принципе, мы ее сейчас и проговорили, что у нас, вот если вот такое условие поставить, то у нас не так уж много вариантов, сколько чиселок-то может быть, всего 15.

И теперь давайте смотреть.

А вот тут дали такую задачу, то есть какое-то изменение.

Но это если знать предысторию, то уже становится более-менее понятно, что делать.

А числа 3 и 17, которые известно, что они есть на доске.

Нам известно, что они есть на доске.

То есть 3 и 17 есть.

Разница между ними как раз 14.

Значит, это 14, самый короткий путь между ними.

Короткий путь.

Если бы был путь более короткий, то есть из клетки в клетку, тогда мы получили бы более точную оценку, а именно длину пути.

Ну а это означает, какие у нас две клетки, между которыми самый короткий путь 14.

Но это противоположные угловые клетки.

Не ограничивая общности, можем считать, что это левая, нижняя и правая вера.

Постараюсь вот так вот пока углажиться.

То есть раз 3 и 17 отличаются ровно на 14, а мы в процессе... Ой, так.

Что же произошло?

Что-то я не то нажал.

Сейчас вернемся.

Извиняюсь.

Так.

А, все вернулось.

Вот.

Вот.

То есть мы в процессе рассуждений показали, что если разница между числами 14, значит кратчайший путь тоже 14.

У нас клетки, расстояние между которыми 14, это противоположные угловые.

Ну вот можно считать, что это левая нижняя и правая верхняя.

То есть на этом задача не закончилась.

Доказать, что у нас не так уж много вариантов различных чисел.

А все числа заключены от минимального до минимального плюс 14.

А теперь давайте дальше рассуждать.

В противоположных угловых написано 3,17.

Написано 3,17.

Ну что же это значит?

Чтобы добраться от 3 до 17 за 14 шагов, у нас должно быть строгое увеличение на единицу при каждом шаге.

То есть 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Ну а теперь я могу и взять, перебрать все пути.

То есть по какому бы пути я из тройки в 17 не шел, чтобы за 14 шагов получить плюс 14, я на каждом шаге должен делать плюс 1.

То есть возьму теперь путь вот такую галочку.

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Ну и вообще говоря, могу взять любой путь из левой нижней клетки в правую верхнюю.

Они все пройдут по диагональкам по одному разу.

То есть я через каждую клетку любой диагонали могу пропустить путь.

И каждый раз это будет количество способов добраться до этой диагонали.

Теперь здесь точно будет пятерка.

Я могу построить путь, который ведет из левой нижней в правую верхнюю клетку, проходящую через нее.

В нее мы добираемся за два шага.

Ну и так далее.

То есть оказывается, что у нас вообще не так уж много вариантов расстановок чисел.

Если нашлось два числа, отличающиеся на 14, и у нас оценка 14, единственный вариант это вот так расставить по диагонали.

Я уж не буду дописывать.

Хотя бы до большой диагонали допишу.

10, 10, 10, 10, 10, 10.

Ну и так далее.

А какой у нас вопрос?

Взяли среди 8 полученных сумм наибольшую.

Так, каких сумм?

В 8 строках, да?

Посчитали сумму в 8 строках.

И среди этих 8 сумм выбрали наибольшую.

Выбрали наибольшую.

Понятно, что происходит.

Что объяснить?

Я пропустил вопрос.

Не понимаю, что это такое.

Так, про диагонали вот еще раз.

Так.

То есть то, что я пишу сейчас видно или нет, я...

Еще раз нарисую доску.

Еще раз.

Мы дошли до того, что здесь 3, здесь 17.

Давайте я буду перебирать все пути, ведущие из левой нижней в строчку верхнюю.

Это реальная задача с Олимпиадой.

Уже не может попасться, но что-то похожее попасться может.

Я, по крайней мере, в этом году 3-4 такие задачи уже видел.

Все что угодно может попасться на Олимпиаде.

Итак, давайте про диагональки.

Я, например, пошел сначала вправо, а потом вверх.

И чтобы добраться из тройки до 17, в каждой клетке должно быть на единичку больше.

То есть вот про эти 14 клеток понятно, почему я расставил 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и так далее.

Вот этот момент понятен.

А теперь давайте я, например, пойду вот по такому пути.

Смотрите, вот я его нарисую на этой доске.

Вот так, вот так, вот так, вот так, вот так и вот так.

Могу же я по этому пути пойти?

Он тоже будет длины 14.

И чтобы из тройки получилось 17, каждый раз должна прибавляться единичка.

Поэтому здесь будет 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

И вот таким образом я могу придумать все возможные пути.

Да даже не все возможные, а придумать там несколько непересекающихся.

И тогда вот диагонали, диагонали это как раз, они говорят, да, закончу все такие мысли.

Это вот сколько ходов до того, чтобы добраться до этой точки.

Как увеличить картинку?

Не знаю, я пишу весь экран на планшете.

Я не знаю.

Так.

Так.

Вот.

Ну и теперь понятно.

У нас будет по диагональкам.

3, 4, 5, 6, 7 и так далее.

То есть такая диагональная раскрасочка, где на самом деле это количество чисел.

Ну и самая большая сумма, если брать по строкам, будет в верхней строке.

Как ни трудно видеть.

То есть у нас каждая строка начинается с тройки, четверки и так далее до 10.

И потом тоже идет в порядке возрастания.

Значит максимальное число, так немножко сбился уже в смысле, среди полученных 8 сумм выбрали наибольшую.

Ну вот максимальное будет

10 плюс 11 плюс 12 плюс 13 плюс 14 плюс 15 плюс 16 плюс 17.

Так, ну это что у нас?

Это 4 пары по 28, да?

По 27.

4 на 27 равняется 108.

Равняется 108.

Такая вот на самом деле, ну вот вопросы, да, будет ли на Олимпиаде, я не знаю.

Муниципальный этап, к тому же числа в верхней строке.

Нам, смотрите, нам нужно найти строку с максимальной суммой.

То есть давайте еще раз, мы получили, что при этих условиях у нас получается однозначно, как заполнена доска.

Однозначно.

Дальше нас спрашивают.

Давайте вы как-то ее запомните.

До этого такая интрига была.

Как-то наложили монеты и что-то там посчитали.

А мы говорим, так вот, вариантов-то немного.

Доска однозначно определяется.

Это от тройки до семнадцати по диагоналям числа.

А потом тут вот еще добавили сюжет.

Вот к вопросу, да, может ли... Это реальная задача с Олимпиадой.

Придумать можно было и поприличнее сюжет какой-то, и более литературный.

Вот реально скопировано с Олимпиадой.

Вот так и есть.

Значит, добавляют какую-то еще логику.

Найдите наибольшую, среди наименьшую.

Вот такую путаницу.

Но на самом-то деле надо разобраться с сюжетом и понять, что вот все эти условия приводят к тому, что доска-то одна всего.

А уже в ней мы можем по строкам все посчитать и выбрать максимальную.

И тут вот как раз не надо ничего придумывать и рассуждать.

То есть вот... Так, это 20-70.

10 плюс 17.

10 плюс 17.

11 плюс 16.

12 плюс 15.

13 плюс 14.

27 в каждой паре.

Это я оговорился, наверное, в начале 28.

В каждой паре 27 умножаем на 4, это 108.

Ну, вроде правильно.

Вот.

Так.

Вот, ну, добрались до экватора, да?

Точнее, разобрали четвертую задачку.

Сумма чисел в верхней строке, сумма чисел от 10 до 17, это 108.

В основном в этой задаче хотелось поговорить про то, что когда есть условия, насколько отличаются числа на доске, то очень полезно, опять же, под счет двумя способами, принцип крайнего, посмотреть, как отличается максимальное число от минимального.

Ну и там уже и на принципе рехле можно задачку, какой-то сюжет придумать, еще что-то.

Обзор такой.

Разных идей, которые эксплуатируемые в разное время, в разных олимпиадах.

Смотрим.

Обновить знания и порешать.

Цель любого интенсива.

Так.

Пятая задача.

Пятая задача.

Вот.

все обновляется эта задача вот у нас есть доска 7 на 7 из доска 7 на 7 4

Так, так, так.

Вот.

Стоит по фишке.

За один ход каждая фишка одновременно сдвигается на соседнюю по диагонали клетку.

На соседнюю по диагонали клетку.

При этом в одной клетке может оказаться несколько фишек.

Какое наибольшее количество клеток можно сделать свободными от фишек с помощью нескольких таких ходов.

Это значит, что ходов неограниченное число.

У нас, соответственно, фишка сдвигается по диагонали.

Почти.

Почти шахматная.

Шахматная бы помогла, если бы в соседнем по стороне.

Да, такая добрая старая задача про жуков, которые переползают в соседние по стороне клетку.

И тогда каждый раз все черные жуки меняются со всеми белыми.

Значит, если в белой хотя бы был один, они переползут в черную и наоборот.

Но здесь по диагонали.

Здесь по диагонали.

Полезно.

Давайте раскраску придумаем.

Да, вы абсолютно правы.

Раскраска поможет.

Такой апгрейд шахматной раскраски.

Давайте посмотрим.

Если вы вспомнили ту задачу, а кто не вспомнил, да и бог бы с ней.

Мы опять же начинаем рассуждать.

Нам матрас в чем-то поможет.

Матрас хорошо поможет, если мы будем рассуждать за один ход.

Полосатый, матрас, зебра.

Тут много ходов.

В этом небольшая загвоздка.

Получится, что у нас черные и белые меняются местами каждый раз.

Есть хотя бы одна белая, хотя бы одна черная.

Я уже знаю просто, что в две клетки все согнать не удастся.

Было бы интересно, но не удастся.

Матрас, зебра, полосатый.

Это больше к вопросу, как... Нет, мы сейчас придумаем.

Тут же смысл раскрасок много разных.

Можно взять любую книжку, почитать про раскраски.

А как придумывать?

Особенно муниципальный этап, он не рассчитан на какие-то профессиональные знания.

То есть то, до чего можно догадаться.

скажем, то есть понятно, что хотелось бы, да, действительно наградить таким образом.

На самом деле почти матрас, то есть еще матрас раскрасим в два цвета каждый.

Сейчас объясню почему.

Давайте смотрите.

То есть если использовать, посмотреть на идею, что у нас фигурки-то меняются местами, ну вот, например, если бы они были по стороне, то есть вот, да, там

то шахматная раскраска помогла.

Все из белых клеток фишки перешли в черные, из черных в белые.

Но если хотя бы одна белая была, то будет занята хотя бы одна черная.

Если была хотя бы одна черная занята, будет хотя бы одна белая занята.

Так подумайте об этом.

Можно же диагонали в шахматную раскраску раскрасить.

Взять одни диагонали.

То есть опять же, если вы хотите шахматную, раскрасьте диагонали в шахматную раскраску и посмотрите.

То есть у нас фишка со своей диагонали никогда не уйдет.

Это как в шахматах с этими офицерами.

Слоны, которые двигаются только по своим диагоналям.

Так вот можно каждую диагональ еще раз шахматную раскрасить.

Здесь белые и черные диагонали еще в два раза.

И вот это получится то, что надо.

Все хорошо, но с диагональными вопросами.

Вот смотрите, вот я вот сейчас вот так сделаю.

То есть я посмотрю на клетки, которые друг с другом меняются местами при диагональном ходе.

То есть почти шахматное, но только по диагонали.

2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1.

Вот обратите внимание, все фишки, которые стояли в единичках, в клетках цвета 1, помеченных единичками, они переползут в клетки, переставятся в клетки, которые помечены двоечками.

И наоборот, двоечки в единички.

Так как изначально фишки есть везде, то всегда будет хотя бы одна единичка и хотя бы одна двоечка.

Правильно?

Но я рассмотрел только часть диагонали, не все.

Теперь остальные рассмотрю.

Возьму вот так.

То есть опять возьму следующую связанность, куда мы не можем попасть из этих клеточек.

И вот такую раскрасочку.

По-разному ее называют.

Это четырехцветный горох, четырехцветные квадратики.

Главное не сбиться.

Можно было по отдельности эти диагонали нарисовать.

Я уж на одной доске все с вашего позволю.

Так, ага.

Сейчас объясню.

Вот смотрите, вот я как-то рассуждал, рассуждал.

Это же очень трудно объяснить, как рассуждаешь.

Давайте, к чему привело рассуждение, тогда может станет понятно, как я рассуждал.

Фишка из клетки 1 точно перейдет в клетку 2.

И наоборот.

Вот.

Что нам это дает?

Что всегда будет занята хотя бы одна клетка цвета 1 и хотя бы одна клетка цвета 2.

Потому что у нас... Пусть на предыдущем... Сначала...

Были фишки цвета 1 и цвета 2.

Они поменялись.

Ну, в смысле, переставили их.

Значит, у нас все фишки, раз они были цвета 2, стали 1.

Значит, хотя бы в одной клетке они есть.

И наоборот.

Раз были фишки цвета 2, они стали цветом 1.

И тоже хотя бы одна фишка есть.

То есть, если на предыдущем шаге был цвет и 1, и 2...

то и на следующем шаге 1 и 2 будет.

А изначально 1 и 2 были, потому что в каждой клетке стояла фишка.

И то же самое про цвета 3 и 4.

Фишка из клетки.

Из клетки 3 точно перейдет в клетку 4.

И наоборот.

Наоборот.

Ну, а это что означает?

Это означает, что мы... Изначально у нас были фишки всех четырех цветов.

Значит, при каждой операции они меняются именно клетки.

Они переходят в клетки по этому правилу цвета.

Единички в двоечки, двойки в единички, тройки в четверки, четверки в единички.

Значит, хотя бы по одной клетке, хотя бы по одной клетке

Каждого цвета будет занято.

То есть свободно не более, раз у нас было не менее...

Так, всего-то клеток 49.

Давайте так.

Хотя бы занято, хотя бы 4.

Занято хотя бы 4.

То есть по одной клетке каждого цвета.

Тогда свободно не более.

Их всего 49.

Занято хотя бы 4.

Значит, свободно не более 49 минус 4.

45.

Все.

Ну, а пример, ну, как... Ну, какой?

Ну, можно, например, выбрать какой-то квадратик, вот, например, левый верхний.

В нем фишки гонять туда-сюда.

Ну, нам все равно 4 клетки-то.

А остальные фишки за какое-то количество Z45 такой значок еще не видел.

Больше либо равно, или меньше либо равно.

Или именно Z 40.

А, Z занято.

Все, спасибо.

Занято хотя бы 45.

Нет.

Занято хотя бы 4, свободно не более 45.

И 45, вот я сейчас объясняю.

Пример-то тоже надо построить.

Мы можем выбрать какой-то квадратик.

Можем в серединке, можем в углу.

Внутри него фишки пусть меняются местами.

А все остальные фишки, ну, за конечное число ходов.

А я вот выше раскрасил четыре цвета.

Один, два, три, четыре.

Это четыре цвета.

Вы выше картиночку посмотрите.

Это четыре цвета.

Один, два, три, четыре.

Ну, к тому же я и пример привел, оценку.

Значит, мне понадобятся четыре цвета.

Опять же, это вот, да, тут быстро сказка сказывается.

Как догадаться?

Ну, надо решать задачи, сидеть, думать.

То есть на Олимпиаде еще и будет пиковая форма.

Ну, я надеюсь и желаю всем, чтобы хорошо так генерировались идеи.

Ну, вот посидите, подумайте, поймете, что вроде бы там

меньше четырех не удается, потом начинаете смотреть, почему, почему вот они меняются местами, ну и тогда дальше вот уже приходит на ум идея раскраска в четыре цвета.

А те, кто вот до этого, как я понимаю, знал задачу про жуков, да, переползающих по соседнюю по стороне клетку, тоже добрая старая задача, вот, они вспомнили, что вот есть шахматная раскраска, но если шахматная не помогает, ну, попробуем четырехцветную, то есть вопрос про диагональ.

Почему занято именно... В смысле, еще раз.

Мы доказали, что занято хотя бы 4.

Занято хотя бы 4.

Занято хотя бы 4, потому что хотя бы по одной клетке каждого цвета будет занято всегда.

Потому что туда кто-то постоянно переползает.

Да, абсолютно верно.

Каждого цвета хотя бы по одной клетке занято будет.

Цветов 4, значит, занято хотя бы 4 клетки на доске.

А дальше вот пример.

Я его не дорисовал, но здесь, скорее всего, придется его делать описательно.

Вот я выделю квадрат, в нем 4 фишки пусть меняются местами, то есть эти 4 клетки будут заняты.

А любую другую фишку, сдвигая по диагонали за конечное число ходов, я ее в этот квадратик загоню.

Это такой описательный пример.

Хотя, если не лень, можете нарисовать последовательно, как все 49 фишек загнать в 4 клетки.

Оценка и пример.

Еще раз, я их специально отделил.

Оценка, еще раз.

Возьмем раскраску в 4 цвета.

Хотелось показать, как рассуждение родилось.

Возьмем раскраску в четыре цвета.

А решение пишите уже как?

Зачем рассказывать, как все это придумывалось?

Возьмем раскраску в четыре цвета, как на картинке.

Тогда фишки цвета 1 переходят в клетки цвета 2, фишки из клеток цвета 2 переходят в 1, из троек в четверки, из четверок в тройки.

Раз изначально были фишки всех четырех цветов, то после каждого шага будут фишки стоять в клетках тоже всех четырех цветов.

То есть тройки все переползут в четверки, непонятно в сколько четверок, но хотя бы в одну четверку они точно переползут.

Ну и получится, что хотя бы 4 клетки всегда будет занято.

Ну а дальше пример, я еще раз говорю, я его как конструктив такой дал, точнее не пошаговый алгоритм, а вот именно такое конструктивное предложение.

Давайте выделим квадратик 2 на 2.

Вот пример, давайте.

Когда окажется занято...

занято ровно 4 а то вдруг мы такой пример-то привести не сможем у нас 6 клеток будут оставаться ну вот я его здесь прописал то есть я возьму выделю квадратик угловой например там фишки вообще будут просто прыгать туда-сюда остальные фишки за конечное число ходов я могу переместить в этот квадрат это вроде бы более-менее понятно то есть опять же выберем направление

Будем сдвигаться влево, пока это возможно.

Если дойдем до верхней строчки, начнем сдвигаться влево вниз.

И так за конечное число ходов мы окажемся в левых двух столбцах.

Тогда там начнем по диагональке стремиться вверх и попадем в этот квадратик.

Какие-то такие рассуждения.

Хотя я думаю, что так замуствовать никто не будет.

Но я бы не стал.

То есть я бы сказал, ну понятно, что любую фишку мы в любой квадратик за конечное число ходов загоним.

У нас же тут нет, опять же, за минимальное число ходов.

Вот.

Поэтому так.

Это вот опять же хорошо, что кто-то вспомнил.

Такие вот.

Это про то, что знать классику хорошо, задачки постоянно эволюционируют.

Вот.

И вот появляется вот такая задачка появилась.

Хотя то, что вы узнали, что это изначально про жуков, да, и что там, когда жуки по диагонали, это матрас, когда жуки в соседнюю клетку, это шахматная раскраска.

Ну, отлично, значит, у вас есть какой-то джентльменский набор, бэкграунд, да, такой.

Ну, вот как объединить матрас и шахматную раскраску?

Ну, получилось четырехцветно.

Получилось четырехцветно.

Так.

Так.

Шестая задачка.

Так, шестая задачка.

Матрас в шахматную раскраску.

Ну, да, можно и матрас в шахматную раскраску.

Ну, в принципе, опять же, смотрите.

Вот если вы возьмете и вертикаль раскрасите в шахматную раскраску, следующий вертикаль тоже в шахматную раскраску, но двух других цветов.

Ну, это вот ровно то, что нарисовано и получится, правда?

А можно диагональки было в шахматную раскраску?

Есть вообще такое, взять и сложить два цвета, да?

тоже.

То есть там получилось бы так.

Ну ладно, уж не будем фантазировать про сложение цветов.

Давайте у нас время осталось 20 минут.

Так, в левый верхник.

Нет, нет, нет.

Это такой сленговый вещь, да.

В принципе, какие-то олимпиадники поймут, какие нет.

Нет, вот давайте так.

Я не хочу сейчас углубляться в терминологию.

Это как вот

Кто как называет там всякие, например, фигурки Тетриса, это некий сленг, и он не общепринятый, поэтому надо объяснять.

Вот.

Ну, вот просто вот такая раскраска, не будем ее никак называть.

Ну, вот для общего, так сказать, развития, чтобы не было, да, что мы о чем-то там своем говорим.

Вот традиционно матрасом называют раскраску в два цвета.

Вот.

Когда красят вертикаль, пропускают, красят вертикаль, пропускают.

Вот это называют матрасом.

А у нас получается, что еще и в каждой вертикали мы по два цвета использовали.

Поэтому вот так.

Еще раз, это такие вещи, как кто-то использует антипараллельность, кто-то не использует.

Просто мы использовали вот такую четырехцветную раскраску.

Раскраску в четыре цвета.

Ну, раз мы заговорили, да, это появилось в диалоге, да, там раскраска матрас, вот я показал, вот, ну, это знание вот всех этих названий, ну, это, ну, хорошо, если знаете, а если не знаете, то и бог с ним, неплохо, неплохо, точно неплохо, если не знаю.

Такие категории.

Так, шестая задачка.

Опять какие-то жуки, опять клетчатая.

Куда-то ползем.

Вот тоже мне понравилась задачка.

Тоже из недавних.

Вот у нас сидят жуки.

Сидят жуки.

Доска 10 на 12.

Даже попробуем нарисовать, наверное.

Чего бы не нарисовать.

Пока все читают.

И жуки начинают ползти.

Жуки начинают ползти вправо-вниз.

Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке.

Так, ну давайте, значит, у нас 10.

Вот так надо сделать.

Так.

Клеточную доску было сделать.

Вот что я понял.

Так, а здесь должно быть 12, то есть 6.

Вот здесь вот сидело 7 жуков.

И они поползли вот в эту клеточку.

Нет, а тут нам сказано, что они в левой верхней клетке сидят семь жуков.

Сидят семь жуков.

Вот.

Они ползут только вниз и вправо.

Или вправо.

Через запятую напишу.

В каком-то порядке.

Вот.

Они все собрались в правой нижней клетке.

В какой-то момент стеклись все туда.

Найдите наименьшее количество клеток, не посещенных ни одним жуков.

Не посещенных ни одним жуков.

Вот.

Ну, вот здесь, опять же, идейка диагонали из предыдущих задач.

Принцип Дерихле.

У каждого... Что?

Нет.

Просто клетки, вот как-то они поползли.

Как-то поползли.

Ну, давайте какую-нибудь маленькую доску возьму.

Например, возьму доску 3х3 и всего двух жуков.

Вот здесь два жука.

И вот один, например, пополз вот так вот, второй пополз вот так.

Вот эти клетки, через которые хотя бы один жук прополз, оказались посещенными.

Оказались посещенными.

И одна клетка оказалась свободной.

Одна клетка оказалась.

Это я справа нарисовал.

Примерчик.

Два жука на доске 3х3.

И они как-то там ползали.

Вроде бы понятно, что как бы они не ползли, одна клеточка окажется свободной.

Опять же, рассматривая маленькие доски, в частности доску 3х3, что мы получим?

Давайте посмотрим.

Сегодня эта идейка уже была.

Опять же.

за один шаг из левой верхней клетки мы попадаем вот в эту диагональ.

Вот.

И, в принципе, в обе клетки мы попасть можем.

За два шага мы попадаем в клетки следующей диагонали.

Вот.

И вот смотрите теперь, на пути каждого жука, каждый жук, выходя из левой

верхней клетки в правую нижнюю, он у каждой диагональки, которая перпендикулярна его ходу, пройдет по одному разу.

То есть через каждую двоечку жук пройдет ровно по одному разу.

Он должен обязательно пройти через эти клетки.

Я просто их так двоечками назвал, что это клетки, в которые мы попадаем за два шага.

Это все клетки.

Значит, за два шага вниз и вправо мы точно попадем в них, ни в какие другие.

Так вот, смотрите, жука-то два, значит, во всех двоечках они появиться не могут.

Значит, вот на маленькой доске мы поняли, что хотя бы одна двоечка окажется свободной.

То есть любой жук, когда ползет слева вверху, вправо, вниз...

он должен пройти через одну двоечку, причем ровно один раз.

Второй раз он в двоечку не может попасть.

Значит, на этой длинной диагонали два жука во все клетки попасть не могут.

21.

Сейчас давайте посмотрим, почему 21.

Давайте сейчас разберемся.

Наименьшее в вашем случае, мне кажется, это все-таки 21.

99 – это, наверное, наибольшее.

Давайте посмотрим.

Опять же, давайте смотреть на диагональки.

Давайте смотреть на диагональки.

Жуков всего 7.

Во второй диагональке тут всего 2 клетки.

И, в принципе, через обе эти клетки жуки как-то проползти-то могут.

В следующей диагональке 3 клетки.

Я сейчас буду смотреть, сколько клеточек в диагоналях.

Линейка есть, я знаю, но уже так нарисовал.

7.

Вот и смотрите, я добрался до диагонали, в которой 8 клеток.

На доске 3х3 любой путь состоит из трех переходов и из пяти клеток.

Изначально конечный и три промежуточные.

И вот как посчитать, насколько эти пути пересекаются?

Сейчас, вы имеете в виду...

Так, у нас 2 жука было, да, каждый забьет по 3 клетки.

Значит, 2 на 3, 6, плюс начальная и конечная.

И еще одна остается.

Я, кажется, примерно понимаю, о чем вы говорите.

Да.

Да.

Давайте сейчас я... Хорошо, я сейчас про диагональки расскажу, а потом посмотрим то, что вы предлагаете.

То есть у вас... Выкиньте начальную и конечную клетки и посмотрите...

чтобы они посетили... Да, вы хотите максимальное количество посещений.

Тогда будет 7 жуков.

Только надо аккуратно посчитать, сколько тут у нас будет ходов.

9 вниз, 11 вправо.

То есть всего будет посещено 20 клеток.

7 на 20... 140.

Вот как-то не очень понятно...

Как это мы смогли посетить больше клеток, чем есть?

Примерно 9 на 4.

То есть вы предлагаете что-то про средние, да?

Не знаю, потому что на первых клетках у нас здесь будет очень много пересечений.

То есть у нас в среднем количество посещений считать... Не уверен, что я готов сейчас быстро прокомментировать.

Я про принцип Дерихле в этой задачке хотел напомнить.

Хотя про подсчеты через средние тоже это интересно.

Давайте пока так.

9, 10.

Давайте посмотрим.

Диагональки.

Дальше пойдет по уменьшению.

Здесь будет опять 9.

Опять 8.

Нет, стоп.

Что-то я не так считаю.

Что-то я не так считаю.

Здесь-то у нас тоже по 10 сначала пойдет.

Но это же не квадрат.

Здесь будет 10.

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

И вот здесь будет 10.

Это мы уже... Так.

Вот здесь будет 9.

Здесь 8.

Здесь 7.

И так далее.

Там уже поменьше.

Вот.

Я сейчас еще раз подписал количество клеток в диагонали.

В каждой из этих диагоналей, в каждой клетке, жук побывает ровно по одному разу.

Ровно по одному разу.

Жуков всего 7.

Значит, в диагоналях, у которых больше 7 клеток,

все клетки пройденными оказаться не могут.

Там обязательно окажутся клетки, через которые ни один жук не проходил.

Потому что жук проходит ровно по одной клетке из выделенных диагоналей.

Еще раз, почему?

Потому что он ходит только вниз и вправо.

Если он попал в клетку диагонали, он потом идет вниз и вправо и никогда уже в эту диагональ не вернется.

Значит, в диагонали, где больше 7 леток, непройденными окажется то количество клеток, насколько эта диагональ длиннее, чем 7.

Длиннее, чем 7.

То есть у нас получается, что непосещенных клеток, непосещенных клеток,

непосещённых клеток.

Хотя бы одна в диагонали, где 8 клеток, две хотя бы в диагонали, где 9 клеток, по три непосещённые клетки, хотя бы по три, это оценка, по три непосещённые клетки хотя бы в диагонали, где по 10 клеток, ну а потом 9 плюс 8 и 5 плюс 2 плюс 1.

Что это у нас получается?

3, 6, 9, 12, 14, 15.

То есть непосещённых клеток хотя бы 15.

Непосещённых клеток хотя бы 15.

Опять смотрите, у нас про диагонали уже не первый раз это рассуждение появляется.

То есть через каждую диагональ жук проходит ровно по одному разу.

Значит, посетить в диагонали клеток больше, чем количество жуков невозможно.

Непосещенным окажется не меньше клеток, чем разница между длиной диагонали и семеркой.

То есть непосещенных клеток хотя бы 15.

Значит, посещенных... Нам что нужно найти?

Нам нужно наименьшее найти.

Значит, непосещенных клеток хотя бы 15.

Это оценка.

Это оценка.

Это оценка.

То есть в каждой диагональке непосещенных клеток хотя бы столько, сколько разница между длиной этой диагонали и семеркой.

То есть 7 жуков больше 7 клеток в диагонали посетительной.

Так, ну и пример.

Ну и пример.

Нам надо сделать так, чтобы оказалось ровно 15 непосещенных клеток.

Ну, наверное, более-менее понятно.

Я вот сейчас начну чиркать.

А, давайте, у меня же другой цвет есть.

В пути я начну рисовать желтеньким.

Первого жука вот так запущу.

Второго жука...

Тут неважно, можно вот так запустить.

Ой, залез далеко.

Так и вот так.

То есть понятно, что в первых диагоналях и в последних будет помного посещений.

Значит, следующего ЖК вот так запущу.

То есть я сейчас строю пример, как сделать так, чтобы оказалось непосещенными

15 клеток.

Мы доказали, что их не менее 15.

Не менее 15.

Так, сколько это зажигов уже запустил?

Раз, два, три, четыре, пять, шесть.

Вот седьмого еще надо запустить.

Вот я запустил 7 жуков.

И как видно, они не посетили ровно 15 клеточек.

То есть вот эти клеточки оказались не посещены.

Это уже пример.

Понятно, примеры можно по-разному строить.

Насчет, как считать через средние, я пока не очень могу прокомментировать, потому что посещение каких-то клеток будет очень насыщенной.

Например, 7 посещений придется на короткие диагонали, то есть примерно по 3,5 на одну клетку.

В результате получается 15.

Конец чего?

Ну да, пример на 7 жуков.

Вот я показал 7 путей.

7 путей и 15 свободных клеток.

15 свободных клеток.

Это пример, как 7 жуков могут побывать во всех клетках, кроме 15.

То есть вот пример, давайте я его подпишу, да, вот этот пример.

Пример.

Пример.

Когда 15 непосещённых клеток.

Я бы очень долго рисовал ещё одну доску, поэтому там же, где я делал оценку, сделал и пример.

Сделал пример.

Так, ну и давайте еще одну задачку разберем.

Тоже вот восьмая, она похожая.

И поэтому вот про подсчеты.

То есть вернемся к подсчетам с первого занятия.

Но на самом деле здесь вот тоже.

Почему про подсчеты двумя способами?

Надо выкинуть лишнее.

То есть то, что посчитали два раза.

Я очень постараюсь.

Седьмую задачку успеть рассказать.

Итак, Том Сойер решил покрасить забор из семи досок тремя красками.

Тремя красками.

При этом он хочет, чтобы любые две соседние доски были покрашены в разные цвета, и все три цвета использовались.

Сколькими способами Том Сойер может покрасить забор?

Вот идея.

Посчитаем все, о чем хочется напомнить.

Посчитаем все и выкинем лишнее.

Посчитаем все и выкинем лишнее.

Итак, давайте вообще, вот у нас что можно посчитать?

Не особо.

без затруднения только по правилу произведения, это количество способов раскраски 7 досок в 3 цвета, так чтобы никакие 2 цвета в конце забора.

Ну, 7 досок.

А, нет, не круглый забор, в ряд.

Значит, вот смотрите, первую доску красим тремя способами, ну, а все остальные двумя.

То есть 6 оставшихся досок красим в любой из двух оставшихся цветов.

Главное не в тот, который был использован перед этим.

То есть получается 3 на 2 в 6.

2 в 6 64.

Это 192.

Это 192.

Как вообще раскрасить забор в 3 цвета?

Почему мы здесь насчитали чего-то лишнего?

Потому что мы посчитали раскраски, где использованы не все 3 цвета.

Мы это еще не учли.

Так вот, я хочу выкинуть те раскраски, где было использовано всего два цвета.

То есть лишние, давайте посмотрим.

Лишние какие раскраски?

Лишние.

Значит, лишние раскраски – это те раскраски, в которых использовано всего два цвета.

Использовано всего два цвета.

И сколько у нас лишних раскрасок?

На самом деле не так уж много.

Смотрите.

Если использовано всего 20.

Один цвет быть не может использовать.

Согласны?

Одним цветом очень трудно раскрасить забор, чтобы любые две соседние были разного цвета.

Вот мы сейчас из всех раскрасок, где все соседние доски раскрашены в разные цвета, выкинем те, в которых нет трех цветов.

Это значит раскраски, где ровно два цвета.

Ну а как мы можем раскрасить?

Давайте посмотрим.

Вот у нас опять есть забор.

Никуда он не делся.

Считаем двухцветные раскраски.

Лишние это двухцветные раскраски.

Двухцветные раскраски.

Первую доску красим в любой из трех цветов.

Вторую в любую из двух оставшихся.

Ну а дальше все.

Дальше чередуем.

Один, один, один.

Ну или можно так сказать, это количество способов выбрать первый и второй цвет.

3 на 2.

То есть всего получается всего 6 двухцветных раскрасок.

Ответ 192 минус 6 равняется 186.

Я уложился.

Раунд 19.30.

То есть еще раз про что хотелось бы напомнить.

Посчитаем все, не глядя на границу.

То есть выкинем условия, которые не очень удобны.

Про то, что нам надо все три цвета использовать.

Посчитаем все, а потом выкинем то, что нам не нужно.

Нам не нужны двухцветные раскраски.

Одноцветные быть не может.

Но выкинем шесть двухцветных раскрасок.

Получим ответ.

Так, ну вот это опять же к вопросу о подсчетах.

Подсчеты в комбинаторике надо помнить.

Это тоже мега идея.

Посчитать все, выкинуть лишнее.

Это про подсчеты двумя способами.

Сегодня у нас уже было на табличке такое, поэтому я эту задачку включил.

Ну, восьмую задачку не успел разобрать, но ничего страшного.

Посмотрите, порешайте.

Так, ну все на сегодня.

Спасибо за внимание.

Что 4?

До свидания.

До свидания.

До свидания.

А 4 чего?