7-8 класс, Теория чисел (Вольфсон Г. И.), 17 ноября

Так, здорово.

Так.

Есть у нас Ольга из Красноярска, седьмой класс.

Мария из Сочи, шестой класс.

Видите, какой разброс у нас.

Угу.

Нет, Анна, со звуком все в порядке, спасибо.

Чуть-чуть пиликает, ничего страшного.

Так, Новомосковск, Волгодонск.

Ну, здорово, на самом деле, то, что у нас география такая обширная.

Мы, друзья, сегодня будем заниматься, как уже было сказано, теорией чисел.

Если более конкретно, то поговорим про вопросы делимости, остатков, десятичной записи числа и так далее.

Ну и начнем мы, наверное, вот с такой подтемы.

Если у вас сегодня есть тетрадочки, то вы можете ими воспользоваться и

соответственно, написать такой подзаголовочек «Десятичная запись числа».

Десятичная запись числа – это будет наша первая тема, первая идея, о которой мы поговорим.

На всякий случай, я надеюсь, что вам сейчас видно презентацию, которую я демонстрирую.

Я даже, наверное, вот так вот оставлю, чтобы не на весь экран.

Это будет чуть удобнее.

Десятичная запись числа, то есть говорить мы будем о том, что будет, если записать число по циферкам.

Как вы понимаете, любое число мы можем записать в нашей десятичной системе счисления, ну, например, 123, как 1 сотня, 2 десятка и 3 единицы.

Таким образом мы записываем число в десятичной форме.

Понятно.

Ну и дальше оказывается, что вот вокруг этого достаточно простого факта строятся некоторые задачи.

Задачи, которые сегодня я буду демонстрировать, они очень разного уровня.

Какие-то из них это такие вспомогательные примерчики, которые я сам сочинил.

Какие-то это уже задачи уровня регионального этапа Всероссийской Олимпиады.

Но вот потихонечку мы от самых простых до самых сложных, надеюсь, сегодня дойдем.

Давайте начнем с первой же задачи.

Найти все двузначные числа, которые ровно в 6 раз больше суммы своих цифр.

Давайте я дам вам буквально минутку на то, чтобы попробовать самим придумать какое-нибудь из таких чисел.

Я не прошу сейчас доказать, что это все, а прошу придумать хотя бы какое-то.

Пожалуйста, сделайте это.

Можно прямо в чат.

Да-да, конечно, первая задача намного проще, чем Олимпиада, на которой вы были, Даниил.

Так это же, собственно, как я уже сказал, вначале вспомогательная задачка на то, чтобы показать некоторые идеи.

Не волнуйтесь, потом мы дойдем до того, что, я почти уверен, вызовет у вас некоторые затруднения.

Так, 54 предлагает Даниил.

Можно проверить.

Действительно, 54 в 6 раз больше, чем 9.

А 9 – это как раз и есть сумма цифр.

Согласен.

Глупо спорить.

Так, есть ли еще какие-нибудь числа?

Может быть, кто-нибудь может найти?

Или это может быть все?

Других вариантов нету просто?

Как вы думаете?

Итак, есть на эту тему еще мысли, друзья?

Или пока мыслей нету?

Так, ну давайте я покажу некоторые рассуждения у себя на экране.

Сейчас я попробую вам раздать свой блокнотик.

Надеюсь, что технически все получится.

Что-то пока...

Чуть-чуть подглючивает.

И что так не будет.

Так, сейчас проверим, получится ли это сделать.

Так, вы сейчас, по идее, видите экран планшета, да?

Да, да.

Так, только почему-то он у меня показывает не совсем то, как будто он подвис.

Так, сейчас, секундочку.

Так.

так я друзья ссоре маленькая техническая пауза почему-то он меня не выводит то что я хочу надеюсь что сейчас выведет презентацию на выводил как надо здесь он почему-то не хочет так 6

Так, так, так, так, так.

Приношу свои извинения за маленькие технические проблемы.

Почему-то он застрял.

И застрял.

Почему не понятно?

Все подключено.

О, вот теперь, по идее, все должно быть хорошо.

Сейчас клеточки, по идее, должны были появиться.

Надеюсь, что так и есть.

И давайте мы попробуем разобрать эту задачку.

Есть у нас число, которое можно записать вот таким вот образом.

Это двузначное число, состоящее из цифр А и Б. Черта сверху показывает, что это именно число, состоящее из цифр, а не произведение этих цифр.

Ну и фишка как раз идеи десятичной записи состоит в том, что я могу это число записать вот так.

10А плюс Б. Повторюсь, идея абсолютно банальная.

То есть, конечно, вы все это знаете.

Но оказывается, что с помощью этой банальной идеи можно решить много довольно трудных задач.

Начнем мы, конечно, с не самой трудной.

Нам надо, чтобы число было в 6 раз больше его суммы цифр.

Раскроем скобки.

Получим, что 10а плюс b равно 6а плюс 6b.

Перенесем ашки влево, бэшки вправо и получим, что 4а...

Равно 5b.

Ну и теперь вопрос.

Что же это за цифры a и b, для которых выполняется такое равенство?

Конечно, это 5 и 4, и только они.

Потому что левая сейчас делится на 5, если a делится на 5.

На 5 у нас делятся только две цифры, 0 и 5.

С нуля число не начинается, поэтому a равно 5.

А тогда b равно 4.

Все.

Итого получаем единственное число, это 54.

Вопросы какие-нибудь?

Пожалуйста, плюсик по этой задаче, если все понятно.

Минус, если остались какие-то вопросы.

Спасибо.

Так, ну вроде бы хорошо.

Тогда давайте попробуем сделать чуть-чуть более трудную задачку.

Не намного труднее, но тем не менее она чуть-чуть посложнее, чем предыдущая.

Условия я скопирую в чат, чтобы было также вам удобно его читать.

Ну и устно тоже проговорю.

Значит, из трехзначного числа вышли число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Может ли полученная разность быть равной 128?

То есть, условно говоря, взяли число, ну скажем, 932 и вычли из него число, записанное в обратном порядке теми же цифрами, то есть 239.

Вот может ли тогда разность быть 128?

Так, ну вот приятно, что среди нас есть люди, которые пользуются искусственным интеллектом.

Это очень здорово, но мы здесь, Артем, в основном для того, чтобы развивать интеллект естественно.

Если вы успели сами это набить за то время, которое я демонстрировал задачку, это, конечно, честь вам и хвала, но больше похоже на то, что вы...

А, вы уже успели исходно, тогда виноват.

Я просто думаю, что с момента, когда я выдал условия, вряд ли прошло столько времени.

Но да, согласен с вами.

Значит, так, мне что-то опять я смотрю.

Сейчас не видно, да, экранчик моего?

Что-то он не хочет.

Так, сейчас подождите буквально тогда одну секундочку.

Пока вы можете подумать над задачей или прочитать решение Артема как вариант.

А я сейчас попробую другой проводок подключить.

Что-то странное.

Вроде еще утром все работало.

Сейчас буквально перерыв на 20 секунд.

Никуда не расходитесь.

Так, вот я. Еще раз все сделаем.

Рум.

Друзья, это конечно очень странно, но что-то он не хочет.

Отключаться.

Ладно, пока он не хочет, давайте мы тогда сделаем чуть-чуть иначе.

Я просто выведу презентацию, пока поговорим про нее.

Пока будем говорить, я постараюсь пока удавать и немножечко это исправить.

Итак, вернемся тогда к нашей второй задачке.

Из трехзначного числа мы вычитаем число, записанное теми же цифрами.

Ну и таким образом, как верно абсолютно в чате написал Артем, мы можем записать наше исходное число как 100а плюс 10b плюс c. С логикой ровно та же.

Ну а число в обратном порядке это 100C плюс 10B плюс А, потому что цифры будут C, B и A соответственно.

Это, я думаю, очевидно.

А дальше, если мы вычтем из одного другое, то есть из 100A плюс 10B плюс C вычесть 100C плюс 10B плюс А, то у вас 10B сокращается.

А, соответственно, А и С, когда вы приводите подобные, у вас получается 99А минус 99С.

Уже из того, что звучит, я думаю, вам слышно, что и там, и там присутствует множитель 99.

Если присутствует множитель 99, значит, явно результат должен делиться на 99.

А если посмотреть на наше число, которое есть в условии задачи 128, то оно, к сожалению, на 99 не делится.

Ну и все, раз оно не делится, значит такое невозможно.

Конечно, можно было использовать и то, что мы чуть позже с вами обсудим.

Это признак равноостаточности по модулю 9.

То есть сказать, что число дает тот же остаток по модулю 9, что его сумма цифр.

Значит, если мы поменяем цифры местами, сумма цифр-то не изменится, ну и очевидно, что тогда остаток будет ровно такой же.

А из этого, в свою очередь, следует, что у нас разность должна делиться на 9.

Здесь, как видите, не 99, а просто 9.

Что тоже приводит к противоречию, потому что 128 на 9 не делится.

Да, я видел там поднятую руку.

Друзья мои, если вдруг у вас возникают вопросы, то, конечно, можно и нужно их задавать в чате.

По поводу Семен, 128 не делится на 99 и что?

Собственно, мы доказали, что разность между нашим числом и числом, которое получается в обратном порядке, должна поделиться на 99.

Значит, эта разность не может быть равна 128, потому что 128 на 99 не делится.

Даже на 9 не делится.

А вот давайте посмотрим на задачу номер три.

Некоторое трехзначное число начинается с девятки.

Ну да, Семен, на счет на слух сложно.

Я понимаю, я вот пытаюсь сейчас что-то сделать.

Почему-то у меня планшет, даже вы сами видели, что только что он работал.

Потом почему-то он перестал работать.

Хороший вопрос, почему?

Сейчас я пробую починить эту проблему параллельно.

Пока что-то проблема сильнее меня оказывается.

Попробую вывести так.

Вроде вот выводится что-то на экран, но почему-то это что-то черненькое.

Ладно, может быть, кстати, может, господа организаторы, в токе есть встроенная доска, потому что я мог бы на ней просто мышкой писать.

Или нету?

Мы сейчас узнаем.

Может быть, мне кто-нибудь из них сейчас скажет что-нибудь.

Совсем в крайнем случае, конечно, я могу писать и вот здесь прямо, но это будет несколько коряво.

Тем не менее, я думаю, что в крайнем случае мы справимся.

Так, задачка номер три.

про которые мы поговорим.

Некоторое трехзначное число начинается на 9, и если перенести эту цифру 9 в конец числа, то число уменьшится на 432.

Вопрос, какое число было исходным.

Итак, есть ли мысли, как решать такую задачу?

Есть ли у кого-нибудь идеи?

951, но как решать, не знаю.

Идея красивая, да.

Так.

Уравнение изначального числа и другого.

Смотрите, значит, изначальное число, оно будет содержать две переменных, по идее.

Это циферки А и Б, которые у вас стоят в числе десятков и число единиц.

И вычитаете вы, соответственно, число, в котором будут те же самые две переменные.

То есть, если дальше вы составите уравнение, вот, Вероника, как вы пишете, но у вас будет уравнение с двумя переменными.

А как вы его решите?

Уравнение-то одно.

Георгий, а посмотрите, извините сейчас, а посмотрите быстро вот слева, если нажать внизу вот на инструменты, там есть доски.

Попробуйте.

Две переменные будут двумя оставшимися, ну, только не числами, а цифрами.

Да, и что?

Будут двумя оставшимися цифрами, конечно.

И что из этого следует?

И это будет 51.

Ну, да, в принципе... Ага, вот Владимир тут еще пишет интересную штуку.

Смотрите, что последняя цифра нашего числа должна быть единицей.

Так как число получается 432...

А мы прибавляем к нему девятку, на которой будет оканчиваться.

И в сумме тогда получится один.

Да, очень разумно.

В этом случае останется только одна переменная.

Браво.

Действительно, хорошая мысль.

Мысль правильная.

Я бы ее оформил следующим образом.

Так, давайте сейчас попробуем это дело где-нибудь написать.

Так, сейчас вот здесь.

Попробуйте.

Мы можем это сделать.

Попробуйте слева внизу, там есть инструменты и доски в толке.

Сейчас.

Значит, вот представьте себе, да, что у вас было число вида, ну, скажем, там, А и Б, да, я просил, значит, будет 9АБ,

А вычитаем мы, соответственно, число AB9.

И получается 432.

Как видите, конечно, если мы запишем эту же строчку, но через десятичную запись числа, у нас будет 900 плюс 10A плюс 9 минус 100A плюс 10B плюс... Так, только не плюс 9, а плюс B, извините.

Плюс 9 равно 432.

И вот то, что мы обсуждали с Вероникой, там как раз идея состояла в том, что мы имеем уравнение на две переменные.

И это проблема.

Но Владимир нам помог тем, что если...

рассмотреть последнюю циферку, то вот это b, которое у меня осталось, оно ведь является суммой девятки и двойки.

То есть, если я 9 направо перенесу, у меня будет 2 плюс 9, 1 на конце.

Значит, b равно 1.

Ну и отсюда, подставляя b равно 1, я найду а. Можно рассуждать так.

Но мне хотелось показать вам и другую идею.

Другая идея следующая.

Так, сейчас, только секундочку.

Арсений, вы сейчас про слева внизу кнопку, это в Кейтоке, да?

Я просто здесь вижу групповую сессию презентации, но здесь я не вижу ничего, что похоже было бы на рисование.

А если вы в Пауэрпойнте, то да, это я понимаю, как там можно рисовать, но мне кажется, что проще будет.

Здесь вот мне написано, что рисование почему-то недоступно.

Ну ладно, бог с ним.

Значит, другой способ, который я хотел показать, и который мне кажется в этой задаче гораздо более интересен.

А давайте мы число без девятки обозначим через х. То есть вот х это будет то, что стоит после девяти.

Это не цифра, а число.

И соответственно уравнение у меня примет вот такой вид.

Теперь, если записать его через десятичную запись, то это будет 900 плюс х в левой части.

А вычитаем мы 10х плюс 9.

Заметьте, хотя х и двузначное число, но все равно мы его сдвигаем на один разряд, поэтому получается, что мы его домножаем на 10.

И прикол этого решения в том, что теперь, если я раскрою скобки,

У меня получается уже уравнение с одной переменной, то есть мне не надо думать ни про какие другие значения переменной, а просто я говорю, что вот, пожалуйста, уравнение, одна неизвестная, ну, из 891 вычел 432, поделил на 9 и все, победа.

Вот интересно, друзья, поставьте, пожалуйста, цифру 1, если вам больше понравилось первое решение, и цифру 2, если больше второе.

Честно говоря, инструмент доски, я уже говорю, не вижу я там.

У меня там групповая сессия, таймер голосования и презентации.

А доски как-то не завезли.

Ну, бог с ним, обойдемся.

Так, я вижу, что большинству понравилось второе решение.

Ну, мне тоже самому больше нравится второе, потому что оно покороче просто.

И, соответственно, друзья, мораль такова, что иногда бывает полезно обозначить целое число за х, а не каждую циферку, и после этого все равно применить вот эту самую мысль про десятичную запись числа.

То есть все равно это будет больше, это будет лучше.

Кирилл, значит, 9х и х9, ну, надо понимать, что 9х – это не в смысле 9 умножить на х, а это в смысле число, которое начинается на 9 и заканчивается на х. То есть там черты сверху не хватает.

Ну, это долго будет, если я буду еще черту писать.

Соответственно, х9 – это число, состоящее из числа х и девятки на конце.

И теперь, если мы расписываем это через десятичную запись, то в первом случае 9х, 9 была в разряде сотен, поэтому 900 плюс х. А во втором случае 9 в разряде единиц, это просто 9.

А х у меня сдвинут на разряд влево, то есть это х десятков.

При этом еще раз подчеркиваю, х это может быть двузначное число, то есть там 42 десятка или 53 десятка.

Отсюда и взялось это равенство.

Понял, это хорошо.

Тогда поедем к задаче номер 4.

Павел умножил некоторое двузначное число на произведение его цифр и с удивлением обнаружил, что в итоге получил трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, совпадающих с последней цифрой исходного числа.

Страшная задача, то есть если ее просто читать как текст, как произведение русского языка, то вообще непонятно, что с этим делать.

Но давайте запишем это же условие через как раз десятичную запись.

Давайте я прямо на этом слайде запишу, чтобы было удобнее.

Вот было некоторое двузначное число.

Мы уже знаем, что двузначное число мы можем записать как 10х плюс у. Мы умножили его на произведение цифр, то есть на ху.

И получили число вида YYY.

То есть трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр, совпадающих с последней цифрой.

А что такое YYY?

Это 100Y плюс 10Y плюс Y. Ну или можно было сразу заметить, что это 111Y.

Тогда мы можем сократить на Y.

И получить, ну понятно, что y не равно 0, потому что число с 0 не начинается.

10x плюс y умноженный на x равно 111.

Ну а это уже вполне себе понятное и банальное уравнение.

Тоже вы, конечно, можете возразить, о боже мой, там же целых две переменные.

Но я надеюсь, что все понимают, что на самом деле это не проблема, потому что число 111 имеет весьма конечное количество натуральных делителей.

Более того, так как х – это цифра, то нам достаточно перебрать только делители меньше 10.

И заметить, что подходит единица, но тогда второй множитель недвузначен.

Подходит тройка, и тогда второй множитель – это 37.

Все сходится.

х равен 3, у равен 7.

А других делителей у 111 нету, потому что 111 это 3 на 37, и 3 и 37 числа простые.

Значит, никакие другие цифры нам не подойдут.

Поэтому правильный ответ на этот вопрос, исходное число это 37.

У меня сейчас будет просьба поставить в чат сразу две реалии.

Во-первых, плюс или минус, в зависимости от того, поняли ли вы решение этой задачи.

А во-вторых, не торопитесь писать, рядом с этим знаком поставьте вашу оценку сложности этой задачи по 10-бальной шкале.

То есть 1 – это очень просто, 10 – это суперсложно.

То есть плюс 3, как Алексей пишет, или плюс 4.

Да, супер.

Чтобы я понял, насколько трудной для вас является эта задача и куда нам идти дальше.

Пока вы пишете, я повторю для Тимура.

Еще раз, Тимур, мы предполагаем, что исходное число состояло из цифр x и y. Тогда что такое это число?

Это 10x плюс y. Вот она, десятичная запись числа.

умножаем его на произведение его цифр, то есть на х и на у. Вот она левая часть, вот здесь она записана, нашего равенства.

А справа будет 100у плюс 10у плюс у. Ну то есть число, состоящее из трех цифр у.

Или 111у.

Теперь на у можно сократить, получить, соответственно, то, что написано в этой строчке.

10х плюс у умножить на х равно 111.

Ну а дальше просто перебираем делители числа 111, их не так много, потому что 111 это 3 на 37.

Откуда получается, что х равен 3?

Ну а тогда исходное число это, собственно, 37.

Тимур, надеюсь, вам было понятно.

Кирилл, 111 не должно совпадать с последней цифрой.

Смотрите, мы 37 умножаем на 3 еще, то есть на х. И вот тогда получается 111.

Насчет того, что если вы имеете в виду исходно, что три раза записано, так мы же исходно это умножали еще на y, мы же на y сократили.

Понятно, что реально 37 умножаем на 3 на 7, то есть на 21, и получаем 777.

Число 777 состоит из трех семерок, которые, собственно, являются последней цифрой числа 37.

Угу.

Вопросы?

Пока нет.

Хорошо.

Тогда попробуем сделать последнюю задачку с этого слайда.

Задача номер пять.

Давайте лишнее сейчас уберу, чтобы задача была покрупнее.

Гоша записал на доске число, которое оканчивается на 2.

А Эрмина переставила двойку на первое место, в результате число удвоилось.

Какое число было исходно?

Попробуйте, пожалуйста, сделать эту задачу сейчас сами.

Я даю вам какое-то время.

Итак, есть ли мысли, что же это за число, которое от переноса двойки в начало увеличится ровно в два раза?

Сейчас, естественно, если не получится, то будем разбирать, не волнуйтесь.

Так, вот Даниил говорит, что первая цифра 1, ну это логично.

Действительно, надо что-то на 2 умножить и получить 2.

Скорее всего, это происходит, когда циферка 1.

Но это нам вряд ли прям сильно поможет.

А поставьте минус, если нет идеи, как решать эту задачу.

То число, которое было первым, вы имеете в виду та цифра, которая была первой, после переноса двойки, да, стала второй, конечно.

Так, ну вот Семен пишет разумную вещь, что можно записать это через вот такое, ну что-то типа уравнение, что 2х разделить на х2 равно 2.

Только вот есть проблема, да, что опять же, ну Семен не может здесь нарисовать черточки, как и я у себя на экране не стал это рисовать.

Но вопрос ведь в том, как именно это переписать по-человечески.

Потому что черточка-то это, конечно, хорошо.

Но с черточками уравнение нормально не составить.

Хотя тут вроде одна переменная, но оказывается, что этого мало.

Так, 24...

И 42.

И что, если двойку передвинуть в начало, то число увеличится в два раза?

Кажется, 24 на 2 это не 42, а 48.

Так, вроде как я победил наконец свою технику.

Сейчас я попробую еще раз.

ее вам раздать, надеюсь, что больше проблем не будет.

Так, ага, да, вижу, что на нее вы перепутали, это бывает.

Так, если можно, поставьте плюсик, что вы сейчас видите клеточки, все в порядке.

Спасибо.

Делаем мы задание номер 5, но еще раз, друзья мои, условия я просто сейчас напомню.

Вот есть число, которое оканчивается на 2.

Вместо него взяли число, в котором двойку передвинули сюда.

То есть вот такое.

И оказалось, что число удвоилось.

Что было за число исходное?

И было предложено записать так, что 2х, ну вот я запишу через черту,

поделить на x2 равно 2 вроде логично но дальше возникает вопрос и как это решать то есть черта то у нас есть и что делать с этой чертой пока непонятно вот и

Вот вопрос, как мы с этой чертой должны разобраться, пока не очевидно.

Мы можем попытаться применить нашу ту же самую структуру, как мы и делали.

То есть заменить это на 20 плюс х или 10х плюс 2.

Но проблема в том, что если вы заменяете на 10х плюс 2, то это работает только если х стоит во втором разряде.

То есть х в десятках.

И так это работать будет.

А вот заменить на 20 плюс х у вас не получится.

Потому что, к сожалению, х не факт, что состоит из одной цифры.

Более того, почти наверняка он не состоит из одной цифры.

Он состоит из цифр нескольких.

И поэтому выражение 2 и дальше х это не 20 плюс х. И даже не обязательно 200 плюс х.

И мы, собственно, не знаем, сколько это плюс х. Вот в этом проблема.

Ага, я выключил экран.

Если бы я... Что-то вот техника меня сегодня не любит.

Сейчас попробую еще раз.

Извините, пожалуйста, ребят.

Что-то вот, правда, чуть ли не впервые у меня такое происходит.

Это непонятная хрень с экраном.

Которую очень хочется раздать.

Ладно, придется тогда вернуться обратно в презентацию.

Вот и черт.

Давайте вернемся туда.

Значит, вот у нас пятая задачка, да, и еще раз о чем была речь, что если мы напишем вот таким образом, где x это соответственно, только не минус, а разделить, где x это то самое число, которое будет после двойки, и сверху подразумеваются черточки, то у нас получится не совсем хорошо.

А если попытаться это же переписать в десятичной форме,

то у нас будет... Ну, вот после знака деления там понятно, что будет.

Там будет 10х плюс 2.

Действительно, если мы на конец числа приписали двойку, то это, собственно, х умножили на 10, сдвинули на разряд и двойку дописали.

Равно 2 тоже понятно.

А вот в начале, вот здесь, что будет непонятно?

Потому что если бы х было из одной цифры, было бы 20 плюс х. Если бы х было из двух цифр, 200 плюс х. Если бы из трех...

2000 плюс х. То есть можно написать так, что это 2, 0, 0, 0, сколько-то там нулей, плюс х. А вот сколько нулей мы не знаем.

То есть это как бы вторая переменная в нашей задаче.

Понятно, да?

То есть проблема здесь в том, что мы не очень знаем, сколько нулей составляет наше число.

Вот.

Ну и давайте попробуем как-нибудь все-таки с этим странным уравнением поработать.

Мы можем, во-первых, заменить деление умножением.

Деление вообще в задачах на целые числа это всегда зло.

Всегда, если вы видите какой-то знак деления, старайтесь заменить его умножением, потому что, ну, когда вы что-то делите, то у вас, возможно, числа перестают быть целыми, а это всегда проблема.

Зачем это нам, если мы решаем задачи в целых числах, чтобы у нас вдруг что-то было нецелым?

Это первый момент.

Второй момент, соответственно, что если мы записали через умножение, то мы можем нормально раскрывать скобки, а это тоже плюс, потому что с делением у вас никакой распределительный закон не работает, а с умножением он вполне себе работает.

Итак, давайте заменим на умножение и получим мы следующее.

Давайте я сейчас все лишнее отсюда уберу.

Оставим.

Итак, получаем следующее, что 2, 0, 0, вот я так запишу коротко, плюс х, равно 20х плюс 4.

И, соответственно, х соберу слева, 19х, а справа будет число вида 1, 9, 9, 9, 9 и на конце 6.

Потому что мы из двух с кучей нулей вычитаем 4.

Все, что нам нужно, это понять, сколько же девяток надо написать, чтобы такое вот число поделилось нацело на 19.

И вот это к вам вопрос.

Как вы думаете, сколько девяток должно быть записано, чтобы х на 19 все-таки поделилось?

Пробуйте сами ответить на этот вопрос.

Вы говорили, что нам все было совсем просто.

Вот попробуйте сделать что-то более сложное.

Пока вы делаете, кстати, скажу, что вот эта задача как раз по уровню, это муниципальный этап, восьмой класс, предлагалась в Петербурге некоторое количество лет назад.

Итак, есть ли мысли?

Это делается просто, ну, например, делением в столбик, но не обязательно этим.

Есть ли какие-то мысли у кого-нибудь?

Опять же, ребят, если совсем нет мыслей, не висите просто так.

Можете просто поставить минус, если нет идей.

Так.

Сейчас еще раз попробую.

Возможно, в этой войне я все-таки когда-нибудь выиграю.

Итак.

О, кажется, пока даже листается.

Запись я подозреваю, что будет, да.

Методом подбора.

Аиша предлагает подбирать, и тогда будет 19,9.

Значит, 13,9.

19x равно 1,99996.

Да.

Значит, ну, смотрите, то есть логика такая, что вот мы берем это число и делим его на 19.

Что мы делаем?

Значит, вот мы делим вначале, получаем 1.

Потом сносим следующую девятку.

Вот у нас получается девятка.

И еще девятка.

Перед этим, естественно, мы ставим нолик.

А дальше у нас получается пятерочка.

Потому что 5 на 19 это 95.

4.

Еще сносим девятку.

Ну и так далее.

И в какой момент мы закончим?

Нам нужно, чтобы на конце оказалось число с шестеркой, которое делится на 19.

А какое число с шестеркой делится на 19?

Ну, можно проверить, что 4 на 19 это 76.

Значит, как только у нас появится остаток 7, то будет нам счастье.

И да, Даниил абсолютно прав, число там действительно очень длинное.

Я вот так на вскидку, конечно, не оценю, насколько то конкретно, которое вы написали, оно правильное, но похоже на правду.

Там цифр действительно очень много.

Мне, правда, кажется, что, возможно, у вас их слишком много.

Мне кажется, что их чуть-чуть поменьше должно быть.

Но не суть.

Спорить не буду.

Так или иначе, дальше, просто выполняя это деление, мы дойдем рано или поздно до ответа.

Ну и этот ответ как раз и будет искомым.

То есть это то самое число х, к которому только надо будет приписать двойку, чтобы получилось окончательным.

Пожалуйста, плюсик, если понятна идея этой задачи, минус, если остались вопросы.

Нет, на конце у этого числа будет, очевидно, 4.

7 должно быть вот здесь вот в остатке, то есть в какой-то момент появится 7, мы снесем шестерку, вычтем 76 и получим 0.

Поэтому на конце будет 4, ну а после 4 еще 2.

Так, Эмиль, Вероника, Кирилл и так далее.

Если есть конкретный вопрос, задайте его.

Я понял, что минусы, но что конкретно непонятно.

Откуда мы взяли 1, 9, 9, 9, 6?

Смотрите, еще раз.

Я понимаю, что я в этот момент переходил на экран.

Вот у нас было уравнение сверху.

И мы поняли, что вот это 10х плюс 2.

А вот это 2, 0, 0, 0, 0 плюс х. Причем сколько нулей я не знаю, потому что я не знаю, сколько цифр в числе х. Тогда если я от этого перейду к уравнению без деления...

Я получаю 2, 0, 0, 0 плюс х равно, соответственно, 20х плюс 4.

И теперь х, если собрать, то получается 19х.

А 2 с кучей нулей минус 4 – это как раз вот такое число.

То есть 1 с кучей девяток и 6 на конце.

Заодно Кирилл рассказывает еще раз полностью решение задачи.

И теперь, чтобы найти х, нам нужно вот это число, которое получилось, разделить на 19.

Ну вот дальше мы его и делим до тех пор, пока оно у нас не поделится нацело.

Чтобы поделилось нацело, я выяснил, так как у меня на конце шестерка, предпоследняя цифра должна получиться 7.

Значит, как только у меня остаток будет 7 после очередного деления, то все, победа.

Значит, мы решили задачу.

Так, Вероника, может быть, какие-то вопросы остались?

Спасибо.

Окей.

Если вопросов нет, тогда давайте пойдем дальше.

И попробуем разобраться со следующей задачкой.

Следующий такой небольшой блок задач, который мы разберем, будет касаться признаков делимости.

Я думаю, что признаки делимости вам в целом знакомы, особенно такие классические признаки делимости.

На 3, на 5, на 9, в общем, все это вы наверняка знаете.

Но некоторые задачи, связанные с признаками, они все-таки вызывают затруднения.

Например, давайте возьмем вот такое число в качестве затравки.

Такое задание, точнее, в качестве затравки.

Оно будет, я думаю, что для вас довольно простым.

Это задачка с Олимпиады для 11 класса внезапно.

Но одна из простых задач Олимпиады.

Итак, существует ли трехзначное число, которое ровно в 90 раз больше своей суммы цифр?

Да нет, условия в чате же.

Ну, понятно, что мы с Сириусом делаем похожие вещи.

Вот не думаю, что там была ровная эта задача, хотя, конечно, все бывает.

Но, Вероника, если эта задача у вас была, ну так напишите к ней ответ.

Обращаю внимание, что если ответ у вас «да» на этот вопрос, «да» существует, то тогда вы должны привести конкретный пример.

То есть пример такого числа, который отличается ровно в… и так далее.

Если же ответ у вас «нет», ну, значит, надо доказать, почему нет.

В данном случае действительно ответ «да».

Так приведите такое число.

Так, Даниил, это, конечно, интересная версия, но обращаю внимание, что условие гласит, что число трехзначное.

То есть будет и трехзначное число, которое и т.д.

И я хочу сказать, что, конечно, почему эту задачу я выбрал такой вот, как мостик между предыдущей темой и этой, что, конечно, вы можете записать вот такое уравнение.

И дальше расписать, что это будет 100а плюс 10b плюс c равно 90а плюс 90b плюс 90c.

Или 10а равно 80b плюс 81c.

Вот.

Ну, а дальше уже подбирать такие А, Б и С, для которых равенство будет верным.

Например, действительно, А равное 8, Б равное 1 и С равное 0 подойдет, как верно пишет Елизавета.

810 подходит.

Эмиль, вы очень странно поправились еще на того, что число у нас все-таки трехзначное.

Почему 81С по глупости?

89, конечно.

89.

Спасибо.

Но есть у этой задачи и другое решение, которое в чем-то чуть более простое и которое не предполагает десятичную запись.

И решение это такое.

Давайте мы попробуем с вами внимательно посмотреть на условия.

Я его еще раз прочитаю.

Существует ли трехзначное число, которое ровно в 90 раз больше своей суммы цифр?

Вот, друзья мои, я не знаю, как вы, я очень люблю играть «что, где, когда».

И в «что, где, когда» есть такое понятие, как вспомогательное слово или ключевое слово в вопросе.

Ну, в данном случае ключевое словосочетание будет иметься в виду.

Действительно, в этом вопросе, в этой задаче, есть ключевые слова «сумма цифр».

«Сумма цифр».

А где мы слышали с вами такое словосочетание?

Вот напишите, пожалуйста.

В каком математическом факте используется сумма цифр как-то?

Какой вы знаете факт про сумму цифр?

Любой.

Да, Семен абсолютно прав.

В признаках делимости на 3 и на 9, конечно.

Конечно, сумма цифр звучит именно там.

Что число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.

Ну так смотрите.

Тогда получается вот что.

Значит, вот наше число n. Это 90 умножить на сумму цифр числа n. И раз вот это делится на 9, то тогда и вот это тоже делится на 9.

Правда?

То есть наше число n делится на 9.

Очевидно.

Но тогда и его сумма цифр делится на 9.

А если его сумма цифр делится на 9, то тогда все произведение делится даже не на 9, а на 81.

Правда же?

А, соответственно, n делится тоже на 81.

И при этом оно оканчивается на 0.

Итого n делится на 810.

А дальше такой вопрос на миллион.

Какие же мы знаем трехзначные числа, которые делятся на 810?

Внезапно только 810, больше ничего.

Поэтому правильный ответ 810.

И это, кстати, единственное трехзначное число.

Не то, чтобы нас об этом просили, но мы это доказали заодно, что никаких других вариантов не будет.

Пожалуйста, плюсик, если это понятно, минус, если остались какие-то вопросы.

Окей.

Так, супер.

Тогда вот еще одна задачка с муниципального этапа для, на этот раз, седьмого класса.

Почему оканчивается на 0, Тимур?

Ну, если вы какое-то число умножите на 90, то, наверное, результат будет круглым числом, правда?

90 же делится на 10, значит...

А последняя ли это задача, в смысле, сегодня на занятии?

Ну, если организаторы меня поправят, может быть, я не прав, но вроде у нас занятие заявлено полтора часа, а не час.

Уважаемые организаторы, которые сегодня, может быть, вы знаете лучше, мне кажется, говорили про полтора часа, я на это рассчитывал, но если вдруг я путаю, мы, конечно, за час закончим.

Это вот пусть... Да, полтора пишет Ульяна, так что это, в общем, не последняя задача на сегодня.

С другой стороны, если вы лично чувствуете, что вы полностью иссякли, ну, вас же, в общем, никто, кажется, к компьютеру не привязывает.

Смотрите сами.

Итак, задача такая.

Я?

А, ну, все раньше заканчивали, не знаю.

Я вот планировал именно так.

Известно, что число длинношеее, которое, как вы знаете, единственное, заканчивается на три одинаковые буквы в русском языке, делится на 8.

Ну, в каком смысле число делится на 8, а там слово?

В том смысле, как обычно бывает в ребусах, да, то есть каждую цифру мы заменили какой-то буквой, при этом разные цифры – это разные буквы, одинаковые – это одинаковые буквы.

И вот мы знаем, что длина шеи делится на 8.

Кроме того, мы знаем, что число еда делится на 2.

Требуется доказать, что число змеи ед... Ну, точнее, не то, что доказать, а спрашивают, может ли делиться на 8 число змеи ед.

Вот такая вот задачка.

Да, там три буквы «Е», это правда.

слове змеи ед три буквы ей слове длина шеи и тоже три буквы е если я равно двум если я равно двум то и длина шеи на 8 не делится и

Так, вижу версию Лизы.

Видите ли, ребят, чтобы ответить на этот вопрос, желательно, конечно, знать признак делимости на 8.

Вот Арсений цитирует, что делится на 8, если делится на 2 и на 4.

Но это, Арсений, конечно, неправда.

Возьмите, допустим, число 12.

Оно делится на 2 и делится на 4, но на 8 не делится.

Так что не оно.

Марк говорит, что число делится на 8, если последние две цифры.

Не очень понятно, что последние две цифры.

Но на самом деле признак, он звучит так, что число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Вот что как раз и написал Кирилл.

Почему это так, кстати?

А потому что, собственно, десятичная запись числа работает.

Вот у вас длинношеие.

Это что такое?

Это 1000 умножить на длиннож плюс число ЕЕЕ.

Первое делится на 8, потому что 1000 это 8 на 125.

А вот ЕЕЕ, оно у нас, соответственно, тоже должно делиться на 8.

Итак, из первой строчки делаем вывод, что ЕЕЕ делится на 8.

А что такое ЕЕЕ?

Это Е умножить на 111.

Ну, значит, Е делится на 8.

То есть, либо Е равно восьмерке, либо нулю.

Да, число 0, 0, 0, конечно, так себе число.

Но, понятно, имеется в виду просто 0.

что, соответственно, дает нам вот этот самый нолик.

Так, хорошо.

Ну и теперь вопрос, а может ли у нас получиться ноль и может ли у нас получиться восемь?

Если е равно восьми, давайте в первый случай разберем, е равно восьми, то тогда из той же самой логики в числе «змеиед»

Последние три цифры должны давать число, делящееся на 8.

То есть 8, 8, D делятся на 8.

880 делится на 8, поэтому D также будет 8 или 0.

Может ли D быть равным 8?

Нет, потому что восьмерка уже занята.

Может ли D быть равным 0?

Нет.

И вот кто понимает, почему d не равно 0, напишите, пожалуйста, в чат.

Почему d не равно 0?

Да, на самом деле потому, что слово длинношеие начинается на d, а число с 0 не начинается.

Таким образом, d 0 не равно 0.

Но, между прочим, ровно по этой же причине и Е не может быть равно нулю.

Потому что вот вы можете удивиться, а на кой черт нам вообще вот это условие?

Еда делится на два.

Казалось бы, оно вообще здесь ни к чему.

А вот оказывается очень даже к чему.

Что раз слово еда вообще существует, то Е не равно нулю.

Значит, этот случай тоже не подходит.

И таким образом, правильный ответ, что змея Е точно не делится на 8.

Вот там чуть выше Арсений написал «не обязательно».

Как раз-таки, если бы ответ был «не обязательно», то надо было бы привести условно два примера.

Когда делится и когда не делится.

Но в нашем случае ответ точно не делится.

Обязательно не делится.

Вот такая вот милая задачка на признак делимости на 8.

Пожалуйста, тоже плюс или минус, в зависимости от того, поняли ли вы.

И тоже, пожалуйста, поставьте сложность этой задачи от 1 до 10.

Интересно будет сверить часы по этому примеру.

Так, ну вот тут, по крайней мере, пока единицы-то не вижу.

Видите, потихонечку сложность у нас нарастает.

Роман, видимо, после моего комментария решил, что надо все-таки единицу поставить.

Но имеет право.

Окей.

Хорошо.

Давайте попробуем тогда сделать такую задачку.

В ней будет использован признак делимости на 11.

Соответственно, я прошу вас поставить плюсик.

Кто думает, что знает признак делимости на 11?

И минус, если вдруг вы не знаете его.

Так, вижу, что очень много минусов, поэтому давайте я освежу его в вашей памяти или просто расскажу тем, кто не знает.

Значит, число делится на 11 тогда и только тогда, когда разница между суммой цифр на четных местах и суммой цифр на нечетных местах в этом числе кратна 11.

Вот Арсений пишет, что сумма цифр нечетных чисел равна нечетным.

Я понимаю, что вы имеете в виду, то есть сумма цифр стоящих на четных и сумма стоящих на нечетных равны.

Это, к сожалению, Арсений, не равносильные условия, а только частный случай.

То есть да, если вы возьмете число, в котором сумма цифр на четных равно сумме на нечетных, то это число будет делиться на 11.

Но, например, число 407, если вы возьмете,

то на нечетных позициях в них стоит 4,7.

То есть сумма на нечетных – это 11.

На четных – только 0.

И тогда они не равны.

Но в то же время число 407 на 11 делится.

Это понятно?

Поэтому лучше именно вот в такой форме знать признак делимости на 11.

Это равносильная форма.

Что разность между суммой цифр на четных и суммой на нечетных делится на 11.

Я эту разность взял по модулю, чтобы не уходить в отрицательные числа, но в принципе это не обязательно.

Ну и, собственно, теперь задача.

Число называется хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получилось число, делящееся на 11.

И первый вопрос для вас.

Является ли число 5, 4, 3, 2 хорошим?

То есть само оно на 11, конечно, не делится.

Вы видите, да?

Сумма на нечетных равна 8, сумма на четных равна 6, разница 8 минус 6 равна 2 не делится на 11.

Значит, это число на 11 не делится.

Число 121, пожалуйста, Даниил, на нечетных местах 2 сумма цифр, на четных тоже 2.

Разница между ними 0 делится на 11.

Ну, 0 делится вообще на все, что угодно.

Так, ну да, Елизавета права, Владимир, я так понимаю, тоже понял, но просто не прислал соответствующую перестановку.

Ну то есть, чтобы доказать, что число является хорошим, надо переставить цифры так, чтобы получилось делящееся на 11.

И действительно, ну здесь можно заметить, что общая сумма цифр 14.

14 пополам это 7.

Значит, можно на нечетные места ставить такие цифры, которые в сумме дают 7, и на четные тоже.

Итого получить, например, 5.

И 2 на нечетных местах.

4 и 3 на четных.

5423 – это то число, которое делится на 11 по признаку.

Значит, наше исходное было хорошее.

Так что, Кирилл, вы не совсем правы.

В пункте А ответ – да.

А вот теперь вопрос про пункт Б. В пункте Б дано число 10235.

Что скажете про него?

Вижу уже, что и Кирилл, и вот Владимир чуть выше написали, что ответ нет.

А почему?

Владимир, не торопитесь, пункт В у вас неправильный ответ, мы чуть позже про него поговорим.

Сейчас по пункту В. Попробуйте пояснить, почему вам кажется, что 10 035 это неподходящее число?

Сумма цифр нечетная, Ольга, это не критерий, потому что вот взять, например, 407, сумма цифр 11.

Владимир, это ответ и на ваш вопрос.

11 не делится на 2.

Вот, пожалуйста, вам число, которое равно 37 на 11, можете проверить.

У него сумма цифр не делится на 2.

Собственно, если сумма цифр на четных должна быть равна сумме на нечетных, тогда да.

Тогда, конечно, ваша версия работает.

Но, как я уже сказал, они не обязаны быть равны.

Они могут отличаться и все равно число будет делиться.

Так, Кирилл, опять же, не надо пока про второй пункт.

Про третий пункт меня интересует второй.

Давайте со вторым разберемся, а потом уже будем что-нибудь про третий думать.

Ну вот да, теперь уже более разумные вещи пошли.

Значит, смотрите, у нас сумма цифр всего 11.

То есть, если вдруг мы как-то поменяли, то нам надо, чтобы вот это вот делилось на 11.

А вот эта вот разница между суммой на нечетных и суммой на четных, она не может быть такой большой, да?

Потому что если мы знаем, что сумма на нечетных плюс сумма на четных 11, то тогда, конечно, сумма на нечетных минус сумма на четных меньше 11.

Можно по-другому сказать, действительно, про максимальную разность.

Что если у нас на нечетных стоят три цифры, то максимум суммы на нечетных это 2 плюс 3 плюс 5, то есть 10.

Соответственно, максимальная разность, которая у нас получится, это 10 минус 1, то есть 9.

То есть на самом деле это не больше 9.

Следовательно, 11 оно не равно и большему тем более.

А вот касательно нуля, про это уже ребята сказали выше.

Потому что у нас сумма общая нечетна.

Значит, на 2 она не делится.

Поэтому сумма на нечетных не может быть равна сумме на четных.

И значит из цифр 0, 1, 2, 3, 5 не составит число кратное 11.

Ну а дальше пункт В. Итак, пункт В, друзья мои.

Пожалуйста, очень внимательно прочитайте условия.

Значит, я еще раз давайте его продублирую в чат, потому что оно там высоко может быть.

Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Напомню еще раз, хорошим называется такое, которое перестановкой цифр сводится к числу кратному 11.

Кирилл, я же вам сказал уже, что у вас неправильный ответ, как и у Алексея.

Пока правильных ответов не прозвучало.

Владимир Полоскин также неверно.

Владимир и Алексей, к вам большая просьба.

Еще раз внимательно прочитайте условия.

Проблема у вас сейчас в том, что вы очень криво прочитали и, соответственно, ваше число не подходит под условия.

Так.

Даниил тоже невнимательно читает условия, как и Ольга.

Давайте-ка все-таки поаккуратнее, ребята.

Нет, Даниил, это тоже плохо.

Прочитайте, пожалуйста, условия очень внимательно.

Была в этом проблема.

Так, правильных ответов все еще не завезли.

Значит, во-первых, друзья мои, первый момент.

Нет, конечно, существует, Владимир.

Первый момент.

Конечно, друзья мои, цифры различные.

Поэтому число 11 не подойдет.

Цифры различные.

Второе.

У вас эти самые цифры должны быть нечетными.

Поэтому двойка не подойдет.

Некоторые пишут 132, 231.

Там есть цифра 2.

Это плохо.

Вот.

А теперь давайте рассуждать.

Значит, по поводу нуля.

Ноль – это, конечно, не то и не то, Кирилл.

Не надо вводить Аишева в заблуждение.

Ноль – это четная цифра и четное число, соответственно.

Потому что четное – это такое число, которое делится нацело на два.

Ноль на два прекрасно нацело делится по нулям.

Значит, давайте подумаем, сколько цифр может быть в нашем числе.

Ну, одна цифра.

Не может быть, конечно, потому что это меньше 11, и все плохо.

Может быть просто 0, но она не является нечетной.

Две цифры.

Тоже плохо, потому что сумма цифр на четных и на нечетных должна совпадать.

Значит, x равно y. Но отличаться на 11 они не могут, а цифры все же различны.

Плохо.

Три цифры.

x, y, z. Тогда какие у нас есть варианты?

Первый вариант.

x плюс z равно y.

Но это плохо, потому что слева у нас нечетная плюс нечетная, что дает четная.

А справа нечетная просто цифра.

Так не бывает.

Тогда, наверное, x плюс z может быть равно y плюс 11.

Но в этом случае очевидно, что так как максимальная сумма цифр это 16...

мы берем две самые большие нечетные цифры, то тогда y у нас, конечно, не превосходит 5.

Это уже понятно.

С другой стороны, нам бы хотелось, чтобы x было поменьше, y и z поменьше.

Поэтому самый маленький пример, который мы можем придумать, это 3 плюс 9 дает 1.

Только это.

И да, Вячеслав, я вижу число 319.

И его, надо сказать, не вы первые прислали, потому что до вас это прислал, по-моему, еще кто-то.

Но вы точно присылали.

Кирилл вот еще писал, я помню.

А я почему-то сказал, что это неправильный ответ.

И я до сих пор считаю, что это неправильный ответ.

А 319, Вячеслав, Кирилл и так далее, это действительно наименьшее число, состоящее из нечетных цифр, делящееся на 11.

Но вопрос-то звучал не в том, чтобы найти наименьшее число кратное 11, а в том, чтобы найти наименьшее хорошее число.

А наименьшее хорошее число – это не то, которое делится на 11, а то, которое сводится к делящемуся перестановкой цифр.

И поэтому вот Андрей и Артем, они как раз правы.

139 – оно же меньше, чем 319.

И оно сводится к 319 перестановкой цифр.

Поэтому самое маленькое число – это именно 139.

Пожалуйста, плюсик, если все понятно по этому заданию.

Минус, если остались какие-то вопросы.

Ну, я вроде даже скопировал условия задачи, но окей.

Чего модите под 2?

Угу.

Вот это вот объяснить.

Значит, смотрите, у нас сумма цифр на нечетных должна отличаться от суммы цифр на четных либо на 0, либо на 11.

На 0 мы уже поняли, что не подходит.

Пусть на 11.

Тогда наименьший пример, который возможен, это 1, 3 и 9.

То есть я из нечетных цифр составляю верное числовое равенство что-то плюс 11 равно что-то плюс что-то.

Понятно, что самая маленькая цифра, которая может быть, это 1, но в левую часть я 1 подставить не могу, потому что тогда там максимум будет 10.

Поэтому 1 это y. Ну, а тогда x и z должны в сумме давать 12.

Это либо 5,7, либо 3,9.

3 для меня выгоднее, потому что получается меньшее число.

То есть 157 бы тоже подошло, но 139 меньше.

Так, хорошо.

Давайте посмотрим тогда на следующую задачку.

И следующая задачка будет у нас, давайте вот с этого слайда мы попробуем сделать задачу номер 1.

То есть найти последнюю цифру числа 7 2025 степени.

Пробуем.

Найти последнюю цифру числа 7-2025.

Присылайте ваши ответы.

да но вижу что много ответов пришло

Есть и правильные ответы.

Мне, конечно, больше всего нравится идея про цикл.

Хотя вот я вижу, что некоторые видят цикл длины 5, некоторые видят цикл длины 4.

Варианты разные.

Итак, Вячеслав, давайте только пока мы не будем спешить.

Я вижу, что вы уже и со второй задачей попытались справиться.

Но меня больше пока интересует задача номер 1.

Итак.

Итак.

Давайте посмотрим на нее.

И у нас есть 7 в какой-то там степени.

Значит, посмотрим, что же это такое и как будет выглядеть степень семерки, если мы выпишем первые несколько.

7 в первой это 7.

7 в квадрате 49.

Ну, на конце 9.

7 в кубе.

Я помню, что это 343.

Но, в принципе, можно было не считать.

Нас интересует только последняя цифра.

9 и 7.

63.

Значит, на конце 3.

7 в четвертой.

Будет на конце один.

Я уже не помню, чему ровно семь в четвертый, но это и не нужно.

Трижды семь, двадцать один, на конце один.

И действительно, дальше мы зациклились, потому что потом будет семь в пятый, снова семь один на семь.

Семь в шестой – девять, семь в седьмой – три, семь в восьмой – один.

Так что цикл здесь все-таки длины четыре, не пять.

И если мы рассматриваем этот цикл длины 4, то дальше вопрос уже сводится к тому, сколько четверок укладывается в наш показатель 2025.

Ну а 2025 это 2024 плюс 1.

То есть вот эта штука у нас делится на 4.

И остается остаток 1.

Значит мы попадем в первую строчку.

Поэтому правильный ответ, что на конце будет семерка.

Пожалуйста, плюсик, если все понятно с этим вопросом.

Минус, если остались какие-то вопросы.

На самом деле это такая достаточно популярная идея.

И регулярно бывают вопросы типа найти последнюю цифру, найти остаток деления какой-нибудь большой степени.

Делается это все через подобные циклы.

Но пока вы ставите плюсики, могу показать и другую немножечко идею.

Давайте мы заметим, что 7 в квадрате это 49.

Тогда 7 в 2025.

Это не что иное, как 7 в 2024 на 7, то есть 49 в 2012 на 7.

И теперь задача свелась уже к тому, на что оканчивается 49 в 2012.

А тут цикл будет гораздо проще.

Ведь у девятки, смотрите, 9 в первой это 9, 9 в квадрате 1, 9 в кубе 9, 9 в четвертой 1.

То есть каждая нечетная степень это девятка на конце, каждая четная степень единица на конце.

У нас степень четная, поэтому на конце 1.

Ну и дальше мы 1 умножаем на 7, получаем 7.

Более того...

Если сделать еще один шаг в этом же направлении, можно заметить, что 49 на 49 это что-то такое там с единицы на конце.

И все это в 506 степени.

И тогда вообще никакой цикл писать не надо.

Потому что если у нас 1 на конце, то мы умножаем 1 на 1 на 1 на 1 много раз.

Получаем 1 и еще умножаем на 7.

Итого на конце будет 7.

Итак, какой способ вам понравился больше, первый или второй?

Первый с циклом, второй вот с такой вот, с выделением степени семерки.

Вижу, Елизавета пишет, что второй легче, но менее очевидный.

Лиза, абсолютно с вами согласен.

Так, собственно, ради этого мы здесь и собрались.

То есть я с одной стороны хочу показать вам достаточно простые методы, а с другой стороны я показываю вам те, которые, может быть, для вас пока не очевидны, но они не очевидны, когда ты их видишь в первый раз.

Если ты это увидел хотя бы один раз, эту идею, то дальше вы ее просто будете применять.

Что такое цикл, Эмиль?

Цикл – это то, как повторяются последние цифры.

То есть если вы берете 7 в какой-то степени,

И просто вот начинаете умножать на 7.

А дальше посмотрите на последнюю циферку.

То последняя цифра у первой степени будет 7, у второй 9, у третьей 3, у четвертой 1.

У пятой 7, 9, 3, 1.

7, 9, 3, 1.

То есть вы видите, да?

Последние цифры ходят вот по такому циклу.

Постоянно.

7, 9, 3, 1.

7, 9, 3, 1.

7, 9, 3, 1.

Вот это значит, что зацикливается.

Ну, то есть повторяются какие-то действия.

Если вообще формально откуда это слово пошло, цикл от слова cycle, колесо или круг.

Соответственно, оно у вас идет по такому кругу.

Вот так вот.

7, 9, 3, 1.

Хорошо.

Теперь давайте ко второй задаче тогда перейдем.

43.

степени 23 плюс 23 в степени 43 требуется доказать что это счастье делится на 66 я помню что кажется владимир высказывал уже свои соображения на этот счет все постараюсь их найти в чате да и

С модами проверять надо.

Делится на 2, 3 и на 11.

Значит, Кирилл пишет разумную вещь, что чтобы число делилось на 66, надо, чтобы оно делилось на 2.

На 3 и на 11.

Ну, то, что сумма делится на 2, это очевидно.

Нечетная плюс нечетная, тут, пожалуй, все понятно.

На 3 уже немножечко сложнее, но можно заметить, что остаток 43-х отделений на 3 – это 1.

Поэтому при возведении остатка в соответствующую степень всегда будет оставаться единица.

Ну, а здесь остатки, там тоже будет цикл 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1.

И в итоге получится, что остаток 2 работает.

С делимостью на 11 тоже зацикливается, тоже все получится.

В общем, это доводится, это правильное решение, все круто.

Но я, конечно, эту задачу не для того привел, чтобы мы тут с вами занимались подобными техническими трудностями.

Давайте заметим вот что.

43 плюс 23 это 66 видите да и это надо сказать неспроста я могу в этом случае заменить 43 на минус 23 и

Итак, еще раз, в чем логика?

Что вместо числа 43 я могу рассмотреть число минус 23.

Почему так?

Ну, потому что, собственно, 43 это то же самое, что 66 минус 23, правда же?

И тогда, если вот это...

я возвожу в какую бы то ни было степень, то при раскрытии скобок у меня будет много-много множителей, делящихся на 66, которые мне неинтересны, а также множитель 23, который повторен 23 раза.

Итого получится у меня, что исходное выражение, вот здесь я применяю вещи, которые, может быть, не все знают, но напомню, сравнимо по модулю

соответственно 23 43 ты оставил минус 23 в 23 так вот пожалуйста плюсик кто думает что понял пока вот этот кусочек это еще не конец решения но по крайней мере идея спасибо

Да, но, как верно пишет Арсений, это ведь не что иное, как 23 в 23 на 23 в 20 минус 1.

Так?

По какому моду?

66, конечно.

Да, спасибо.

Ну, 23 в 23 это неинтересно.

23 число простое, поэтому 23 в 23 взаимно просто с числом 66.

Поэтому задача свелась уже вот к такой.

Доказать, что вот это выражение делится на 66.

Ну, а здесь, например, мы можем воспользоваться замечательной формулой.

Формулой вот какой.

Смотрите.

Я же могу написать, что это 23 в 20 минус 1 в 20.

А это в свою очередь разность 20 степеней.

То есть 23 минус 1 на 23 в 19 плюс 23 в 18 и так далее плюс 23 плюс 1.

И вот это уже 22 степени.

То есть получается, что у меня выражение на 22 точно делится.

И мне останется доказать только то, что оно делится на 3.

Что уже сильно сокращает мне выкладки, потому что, ну, вы понимаете, что в вашем исходном решении пришлось бы достаточно долго это все разбирать.

Но есть еще чуть более простая идея, связанная с этой же.

Я же могу расписать эту же разность как разность десятых степеней.

то это будет 23 в квадрате минус 1 в квадрате на 23 в 18, плюс 23 в 16 и так далее, плюс 23 в квадрате плюс 1.

То есть как бы это 23 в квадрате в 10 минус 1 в квадрате в 10.

Ну или просто 1 в 10, неважно.

И тогда вот это...

Это по разности квадратов 23 минус 1 на 23 плюс 1.

Ну, это 22 на 24, это делится на 22, а это делится на 3.

Значит, произведение делится на 66.

Вот такие дела.

А проще ли это, чем первое решение?

Не знаю, но на любителя.

Но я точно знаю, что если вместо числа 66 подставить что-нибудь гораздо менее приятное,

ну, например, представьте себе, что там было бы число 528, то первое решение наше, оно бы загнулось, потому что перебирать все остатки и все делители числа 528 – это надолго.

А второе решение вообще никак не поменяется.

То есть во втором решении у нас сразу появилась делимость без разбора остатков и без каких-то циклов.

Поэтому данную идею мне и хотелось вам обязательно показать.

Ну а сейчас, как верно подмечает тут коллега из зала, у нас осталось буквально 3 минутки.

И мы попробуем разобрать последнюю задачку.

Это задачка с тоже муниципального этапа, которая была буквально в моей юности.

То есть я сам ее решал в свое время, когда был восьмиклассником.

Надеюсь, что понравится она и покорится и вам.

Гоша и Юля задумали по натуральному числу.

Я сразу же в чате условия, а я здесь напишу в чате.

Планшет у себя.

Какое уравнение у нас получается?

Гоша умножил свое число на сумму цифр Юлиного числа.

А Юля умножила свое число на сумму цифр Гошиного.

И вот вопрос, может ли разность этих двух произведений быть равна вот такому вот числу?

2025-2026.

Это я немножко поменял.

Там у меня числа были другие.

У меня было...

1998-1999, потому что я в 1998 году писал.

Конечно, это того года.

Мне кажется, логично, чтобы у вас было это.

И вот вопрос, друзья.

Не решая задачу, как вы думаете, про что эта задача?

То есть какая здесь будет ключевая идея?

Посмотрите внимательно на условия.

Условия у вас в чате.

Кирилл, поточнее, какая делимость?

Какой признак делимости, Алексей?

Может быть и так, но поточнее.

Делимость чисел, Артем, это очень общая, опять же.

Мы сегодня весь день занимаемся.

Так, значит, вот Лиза сказала и Денис уточнил.

11 здесь ни при чем.

А вот 3,9 безусловно.

Потому что, друзья мои, я уже вам сегодня это говорил.

Что-то сказано про сумму цифр.

И факт, которым я сейчас воспользуюсь, он более сильный, чем то, что мы проходили.

Что число дает тот же самый остаток по модулю, ну, например, 9, что и его сумма цифр.

Они сравнимы по модулю 9.

Если это понять, то задача абсолютно устная.

Потому что если x и s от x сравнимы, и s от y сравнимы с y,

то тогда х умножить на с от у сравним с с от х умножить на у. Правда?

Ну, мы перенажаем одинаковые остатки.

И стало быть, вот эта разность делится на 9 просто.

Ну, а правое число на 9 не делится.

Можно проверить, там сумма цифр получается 19, что не делится на 9.

Вот такие дела.

Ну что, друзья, сегодня мы с вами разобрали несколько сюжетов, связанных с теорией чисел.

Надеюсь, что это было вам полезно.

Понятно, что вся теория чисел, необъятная их за полтора часа, вот все-все идеи не разобрать.

Тем не менее, некоторые ключевые вещи мы сегодня рассмотрели.

Надеюсь, вам понравилось.

И я очень всем желаю, чтобы муниципальный этап, в котором вы будете участвовать, а также...

Любые другие олимпиады прошли у вас максимально успешно.

Если при этом пригодится что-то, что вы услышали сегодня, будет совсем здорово.

Ну, насчет никогда не пригодится, надеюсь, что это не так.

Спасибо всем за внимание.

Заходите на остальные эфиры и не забывайте про домашнее задание.

Оно чисто для вас, но я очень рекомендую отработать те мысли, которые у нас сегодня были.

Всем счастливо, хорошего дня.