7 советов, как решить любую задачу

В литературе редко поднимается вопрос, как придумать решение задачи или вообще как научиться их решать.

Поэтому в этом видео основные советы по решению задач.

С каждым советом будет идти задача, в которой этот совет помогает придумать решение.

Я брал задачи с популярных математических олимпиад, но многие из них полезны не просто во всей математике, но и в целом во всей жизни.

Даже если вы не знаете, что такое доказательство от противного, вы наверняка им пользуетесь в повседневной жизни.

Например, концепция алиби.

Учитель обвиняет Васю в том, что в понедельник он разбил в школе окно.

Однако Вася заявляет, что у него есть алиби.

В понедельник он пил пиво у Вовы дома.

Поэтому Вася говорит, докажем то, что я не разбивал окно.

Предположим, что это не так.

Тогда, так как весь понедельник я пил пиво у Вовы дома и одновременно с этим разбил окно в школе, я должен был находиться в двух местах одновременно.

Противоречие.

Мы ведь не хотим, чтобы нарушился пространственный временной континуум.

Доказательство от противного строится по следующей схеме.

Чтобы доказать какую-то правду, мы предполагаем, что она неверна.

И строим мир без этой правды.

И ищем в нем логическое противоречие.

Если мы его нашли, то мир без правды жить не может, и задача решена.

Совет заключается в следующем.

Во-первых, внимательно относитесь к формулированию обратных утверждений.

И вообще, в принципе, щепетильно относитесь к утверждениям.

Математика, она про утверждения.

Ну и вообще говоря, эту черту стоило бы перенять в математика всем.

То же самое касается определений.

Решение задачи – это длинная цепочка рассуждений.

Рассуждая, пробуйте в каждой отдельно взятой небольшой цепочке формулировать обратное утверждение.

Каждый отдельный элемент цепочки хотя бы мысленно представляйте в обратной форме.

Формулируя обратное утверждение, вы лучше понимаете основное.

Посмотрев на мир без правды, вы лучше поймете, в чем эта правда заключается.

Хочу обобщить и сказать то, что в математике в принципе широко используются обратные элементы.

Что я имею в виду?

Ну смотрите, например, у нас в классе 30 человек.

Если там 20 мальчиков, то мы автоматически знаем то, что там 10 девочек.

Девочки и мальчики в данном случае будут обратными элементами.

Учитель просит сказать, в какие дни Вася отсутствовал в школе.

Но если вы точно будете знать, в какие дни он присутствовал в школе, то тогда вы сможете восстановить все дни, когда он отсутствовал.

То есть обратные элементы – это такие пары элементов, что если вы что-то узнаете про один элемент пары, то автоматически узнаете про второй.

Аналогично, там, где можно, в каждой маленькой цепочке рассматривайте возможность исследовать не основной элемент, а обратный.

Постарайтесь вбить себе это в привычку.

Знать и не использовать – это распространенное явление.

Чтобы его избежать, вырабатывайте у себя привычки.

Это одна из самых полезных вещей, которые можно сделать в обучении.

Ну а продемонстрировать я хочу на такой задаче.

Это региональный этап Всероссийской олимпиады по математике, 11 класс, и эта задача становится почти очевидной, если просто аккуратно сформулировать обратное утверждение.

Нам нужно доказать то, что некоторое произведение равняется нулю.

Хорошо, предположим, что это не так.

Оно не равняется нулю.

Что тогда?

Если произведение не равняется нулю, то ни один из сомножителей по отдельности также не является нулем.

Получается, что любой х плюс 1 это не 0.

Тогда никакой х не может быть равен минус 1.

Аналогично, никакой х не может быть равен единичке.

Далее мы точно знаем то, что каждый х не может быть нулем.

Мы получили уже целых три запрета.

Ни один х не может быть ни нулем, ни единичкой, ни минус единичкой.

Причем все х-ы-то у нас целые.

Это означает, что х это либо хотя бы двойка, либо минус двойка как максимум.

Если у нас какой-то х положительный, то если мы прибавим к нему единичку, то он так и останется положительным.

Если же он отрицательный, то прибавив единичку, мы также оставим его отрицательным, потому что единички просто-напросто не хватит, чтобы сделать этот х положительным.

То есть, каждая из наших сумм будет иметь такой же знак, как и у самого х.

Аналогичным образом посмотрим на разность 1 минус х1.

Минус х1 имеет обратный для х1 знак.

Аналогично прибавление единички никак не хватит, чтобы компенсировать естественный знак числа.

Каждая такая разность будет иметь такой же знак, как минус х1.

А теперь вспомним то, что таких сомножителей у нас 13.

Знак правой части можно рассматривать как смену знака 13 раз.

Но 13 – нечетное число.

Если мы сменим знак 13 раз, то мы его поменяем в конце концов.

Оба этих произведения равны друг другу, но они должны быть разного знака.

Противоречие, что и требовалось доказать.

И следующий совет.

Если хотите доказать, что чего-то не существует, просто попробуйте это найти, создать или сконструировать.

Вторая сегодняшняя задача предлагалась в 2024 году на региональном этапе Всероссийской Олимпиады.

У Олега есть 2024 прямоугольника в форме полосок, и вопрос, можно ли из них составить некоторый квадрат.

Важно, мы не обязаны использовать их все, можно взять только часть.

Разве что 2024 — это очень большое число, и такие большие квадраты не хотелось бы перебирать вручную.

Поэтому я попробую взять число поменьше, например, 8, и сформулировать такую же задачу для него.

Это в целом классическое начало рассуждения над задачей, но здесь хочу заметить еще один факт.

Поскольку мы можем выбирать любые прямоугольники и вовсе не обязаны брать самый большой в 2024, то само число в 2024 вроде как не особо-то на что-то здесь влияет.

Если для восьми ответ «да», то мы можем просто сконцентрироваться на первых восьми полосках.

Оставшиеся 2016 нам уже будут не нужны.

Лично я пытался формировать пример следующим образом.

Брал сначала маленькие полоски и пытался в круг понемножечку собрать из них квадрат.

Но очень быстро становится очевидно, что это плохая идея.

Размер полосок увеличивался слишком быстро, и длинные полоски торчали вовне.

В этой задаче эмпирическими рассуждениями легко почувствовать то, что нам будут мешать именно длинные полоски, их буквально некуда впихнуть.

Можем ли мы это как-то формализовать?

Ну, давайте попробуем.

Давайте предположим, что самая длинная полоска, которую мы будем использовать, будет иметь длину k. Тогда нам нужно собрать квадрат со стороной никак не меньше k, иначе полоска, как и у меня, будет торчать наружу.

Но квадрат k имеет площадь не меньше, чем k квадрат.

С другой стороны, мы ведь использовали полоски только от 1 до k. Сумма от 1 до k меньше, чем k квадрат.

Можно просто посчитать арифметическую прогрессию, а можно вспомнить то, что k в квадрате можно воспринимать как k слагаемых размера k. Ну а сумма от 1 до k — это k слагаемых, почти каждый из которых меньше k. Противоречие.

Следующий совет.

Ищите противоречивые условия.

Задачи часто дают вам целый ряд условий, которые должны выполняться вместе.

Обращайте свое внимание в первую очередь на те из них, которые интуитивно выглядят противоречащими или слабо дружащими друг с другом.

Тот же принцип, если какое-то условие должно выполняться всегда или около того.

Старайтесь подумать, где именно это условие интуитивно не должно выполняться, где оно звучит как неправда.

Старайтесь поломать задачу, подбирая самые проблемные случаи.

Таким образом, вы либо действительно получите противоречие, и на этом задача решена, я вас поздравляю, либо получите, что какие-то условия очень плохо дружат друг с другом, и даже если могут выполняться вместе, то очень редко, в очень небольшом или специфическом наборе случаев.

Тогда вы сможете сократить количество случаев до совсем небольшого, которое разбирать куда проще, чем весь изначальный спектр.

Задача для примера следующая.

На доске записано 10 положительных целых чисел, и оказалось то, что произведение любых, любых четырех из них кратно 30.

Докажите то, что хотя бы одно из написанных чисел само по себе делится на 30.

Итак, у нас есть 10 чисел, причем, если взять любые 4 из них и перемножить, результат поделится на 30.

С одной стороны, чтобы произведение поделилось на 30, сам множитель не обязан делиться на 30 сами по себе.

Ну, например, 4 умножить на 6 на 5 на 3 – это 360.

На 30 делится?

Да.

Но ни одно из четырех чисел само по себе даже не близко.

Но в условии говорится про любые 4.

Может, если эта делимость настолько повсеместна, то что-то тут неладное?

Что ж, давайте подумаем, какая четверка наименее вероятно должна поделиться на 30.

Для какой четверки это условие будет самым противоречивым?

Но сначала вспомним, что делимость на 30 – это просто делимость на 2, на 3 и на 5.

Я позволю тебе немного упростить раздумья и сфокусироваться пока исключительно на делимости на 2, то есть четности.

Вообще говоря, полезно, где это возможно, разбивать одну задачу на несколько мелких.

Любая четверка, если делится на 30, делится и на 2.

Ну и число, которое претендует на делимость на 30, тоже должно поделиться и на 2 в том числе.

Какая четверка интуитивно не должна поделиться на 2?

Самое нечетное, что ли?

Ну, в общем-то, да.

Если перемножить 4 нечетных числа, произведение будет нечетным.

А условие нам такое запрещает.

Если у нас есть хотя бы одна четверка, ломающая условие, этого достаточно.

Если у нас есть 4 нечетных числа из этих 10, то никто не мешает нам просто взять четверку ровно из этих 4 нечетных чисел.

Верно?

Верно.

И они сломают условие.

Получается, что четырех несчетных чисел быть не может.

У нас максимум три числа не делятся на двойку.

Аналогичное рассуждение, если вместо двойки взять тройку или пятерку.

Если у нас есть четыре числа, которые не делятся на три, то берем эти четыре числа и ломаем условие.

Поэтому максимум три числа не делятся на тройку.

Аналогично максимум три числа не делятся на пятерку.

Суммарно в одну из этих категорий попадает максимум девять чисел.

Так вот, чисел-то у нас 10, соответственно, десятое число не должно попадать ни в одну из этих категорий.

То есть оно должно поделиться и на двойку, и на тройку, и на пятерку.

То есть поделиться на 30.

То есть такое число точно найдется, что и требовалось доказать.

Следующий совет.

Упрощайте все условия, утверждения и мысли.

Вбейте это в привычку.

Сокращайте форму, сокращайте все лишнее.

Избавляйтесь от заведомо очевидных случаев и лишней информации.

В качестве примера та же задача, но другое решение.

Я решу задачу исключительно упрощением.

Смотрите.

Условие, что нам дали, касается делимости на 30.

Вопрос, который нас спрашивают, касается делимости на 30.

Все существенные в задаче условия интересуют нас исключительно с точки зрения делимости на 30.

30 – это 2 на 3 на 5.

Если у нас есть, например, число 21, то есть 3 умножить на 7, то эта семерка в множителях хоть как-то поможет какой-то четверке поделиться на 30?

Нет.

Помешает?

Нет.

Более того, если число само по себе делилось на 30, то без семерки тоже поделится на 30.

Семерка и 30 все-таки общих множителей не имеют.

Если число на 30 не делилось, то если мы заберем семерку, то подавно не начнет делиться.

Таким образом, числа уже могут быть не совершенно произвольными, а только комбинацией произведения двоек, троек и пятерок.

Это очень приятное продвижение.

Однако, его можно развить.

Если задуматься, то делимость на 2, на 3 и на 5 нас интересует исключительно в первой степени.

Если в этом контрпримере есть какое-то число, ну, например, 25, то оно поделится на 5 аж два раза в квадрате.

Но что если мы заберем одну из этих пятерок и оставим этому числу только одну?

Пострадает ли как-то делимость на 30?

Нет.

Для делимости на 30 достаточно одной пятерки.

Вторая значение уже не имеет.

Аналогично с 3 и 2.

Делимость на 2 нам важна, а вот на 4 уже нет.

Если у нас есть число, которое делится на 4, то мы можем просто сократить все двойки, кроме одной.

Поэтому, если у нас какие-то числа делятся на 2, на 3 или на 5 много раз, то мы сократим все лишние множители и оставим ровно по одному экземпляру от каждого делителя.

И теперь вариантов, какими могут быть числа, совсем мало.

По сути, все наши 10 чисел могут принимать значения только из 8 возможных вариантов.

Это 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.

Причем, если в наборе есть число 30, задача уже по сути закончена.

Поэтому вариантов по сути всего 7.

Но это рассуждение все еще можно развить.

Смотрите, число 1.

Вам не кажется то, что число 1, если оно в этом наборе есть, оно какое-то лишнее?

Оно никакой четверки не помогает поделиться на 30.

Это просто балласт.

Тогда, если мы единички добавим множителей, то хуже мы точно не сделаем.

Если мы, например, единичку превратим в шестерку, то мы просто добавим лишних множителей.

Соответственно, все четверки, которые делились на 30, все еще будут делиться на 30.

При этом числа, которое делилось на 30 само по себе, как не было, так и нет.

Аналогично мы поступим с двойкой, тройкой и пятеркой.

2 и 3 мы также как единичку превратим в шестерки.

А пятерку мы превратим в десятку.

Соответственно, добавим множитель 2.

Но теперь у нас всего три возможных варианта, какие могут быть числа 6, 10 и 15.

Все наши 10 чисел должны принимать значение из всего трех возможных вариантов.

Но поскольку их 10, какой-то вариант повторится 4 раза.

Если мы возьмем четверку из этих четырех одинаковых чисел, то эта четверка не будет делиться на 30.

Так что мы сломали задачу.

А это значит то, что какое-то из чисел изначально делилось на 30.

А если вы хотите себе такого учителя, как я, или просто не хотите, чтобы автор канала умер с голоду, то милости прошу на индивидуальные занятия по математике.

Подробнее можно узнать в Телеграм-боте, или в Телеграм-канале, или в ВК, или просто написать.

Следующим советом я сам постоянно пользуюсь даже в повседневной жизни.

Если вы понимаете, что какое-то условие влияет на задачу, но вы не можете понять, как конкретно, попробуйте это условие предельно усилить, гиперболизировать, и тогда все аспекты, на которые это условие влияет, станут куда более явными.

Демонстрировать будем на примере такой задачи.

Она предлагалась на объединенной межвузовской математической олимпиаде на второй позиции.

Задача подразумевалась составителями простой, но решило ее неожиданно небольшое количество участников.

Решение простое, но большинство участников обошло стороной.

Будем разбираться.

Задача спрашивает, какое наименьшее количество чисел, меньших единицы по модулю, может быть с двумя условиями.

Первое, чтобы сумма всех была 0, и второе, чтобы сумма квадратов была 30.

Если кто забыл, то смотреть число по модулю означает, грубо говоря, смотреть его без учета знака.

Ну, точнее, с положительным знаком.

То есть, например, модуль 4 это 4, модуль 7 это 7, модуль минус 5 это 5, модуль минус 11 это 11.

И первое продвижение в этой задаче получить совсем легко.

Если число, которое по модулю меньше единицы, возводится в квадрат, то этот квадрат по модулю будет еще меньше, чем само число.

Соответственно, если модули всех наших чисел меньше единицы, то квадраты тем более будут меньше единицы.

Если каждый квадрат меньше единицы, то 30 чисел нам не хватит, чтобы получить сумму 30.

Но меньше 30 тем более не получится.

Прекрасно.

Теперь хочу подробнее поговорить о первом условии, чтобы все числа в наборе были в сумме равны 0.

Что это значит?

Что сумма положительных чисел должна быть такой же, как сумма отрицательных чисел по модулю.

Самый простой способ этого добиться — брать каждое число в двух вариациях со знаком плюс и со знаком минус.

Например, положительные 2 и 3, отрицательные минус 2 и минус 3.

Они, очевидно, взаимоуничтожат друг друга и выполнят условие.

Развивая эту мысль, нетрудно получить пример, то что 32 числа в наборе быть могло.

Половину чисел мы сделаем положительными, причем все сделаем одинаковыми, ну почему бы и нет.

Пусть у нас будет 16 положительных чисел x. Также у нас будет 16 отрицательных чисел, каждый из которых равно минус x. Их сумма 16x минус 16x очевидно 0.

Осталось сделать сумму квадратов.

x при возведении в квадрат дает x в квадрате, минус x при возведении в квадрат дает, как ни странно, тоже x в квадрате.

Знак уходит при возведении в квадрат.

Итого у нас получается 32 одинаковых квадрата, x в квадрате.

Мы хотим, чтобы 32x в квадрате равнялось 30.

А это простенькое уравнение.

Делим на 32 и берем корень из обеих частей.

Получаем то, что х должен быть 15 шестнадцатых, и это число подходит под все условия.

Таким образом, всего за пару минут мы слово за слово поняли то, что чисел у нас должно быть минимум 31.

При этом 32 быть может.

Соответственно, у нас в задаче по сути остается один вопрос, один случай.

Может ли быть 31?

На этом моменте задачи многие участники Олимпиады зарядились оптимизмом, но задачу в конце концов не решили.

Именно этот случай 31 стал краеугольным камнем почти что всех неудачных решений.

Как доказывать то, что 31 числа не хватит, не особо понятно, но и пример подобрать тоже не получается.

Что же делать?

Задам такой вопрос.

Что нам мешает сделать один в один то же самое, что со случаем 32?

Ну, как минимум то, что у нас было положительных и отрицательных поровну.

А вот 31 число нечетное.

И поровну положительных и отрицательных чисел мы сделать не сможем.

Мы достаточно четко понимаем то, что нам мешает именно это.

Нам мешает то, что положительных и отрицательных чисел не поровну.

Но непонятно, как это использовать.

Чтобы стало понятнее, я предлагаю просто это условие гиперболизировать.

Интуитивно наверняка хочется подбирать примеры, где 16 положительных и 15 отрицательных, например, но мы поступим иначе.

Возьмем пример, где будет 30 положительных и всего одно отрицательное.

А теперь получается то, что эти 30 положительных чисел в своей сумме должны давать по модулю столько же, сколько всего одно отрицательное.

Наших чисел хоть и 30, но они все по отдельности должны быть очень маленькими.

И в сумме они все равно будут меньше единицы.

У нас много положительных чисел, но из-за первого условия они должны подстроиться под отрицательные, которых все равно мало.

Если сумма их модулей меньше единицы, то сумма квадратов тем более.

Теперь мы, кажется, поняли, куда конкретно нужно смотреть, и попробуем вернуться к задаче.

Предположим то, что у нас 16 положительных, 15 отрицательных.

Любой другой случай разбирается аналогично.

Наши 16 положительных чисел в сумме должны давать такой же модуль, как 15 отрицательных.

Но 15 отрицательных дают в сумме меньше 15 по модулю.

Соответственно, наши положительные числа тоже должны в сумме давать меньше 15 по модулю.

Ну, а суммы их квадратов будут еще меньше.

Поэтому сумма квадратов положительных меньше 15.

Сумма квадратов отрицательных также меньше 15, поэтому общая сумма квадратов будет меньше 30.

Поэтому 31 числа быть не может, что и требовалось доказать.

Очень часто в задачах от обилия данных и случаев просто разбегаются глаза и совершенно непонятно, что делать.

Какой бы сложной и запутанной ни была система, в ней наверняка есть какие-то отдельные кусочки, какие-то места, где вариативность минимальна, где не так много способов, что может происходить.

Пробуйте искать эти узкие горлышки, в которых вам понятно, что происходит, или в которых не так много вариантов, что может произойти, и отталкивайтесь от них.

Для примера следующая задача.

Финал Всероссийской Олимпиады, 10 класс, и задачу решило около 20 человек.

Для начала кратко напомню, что такое рациональные и рациональные числа.

Рациональные числа это те, которые можно представить в виде дроби с целым числителем и знаменателем, то есть в виде отношения двух целых.

И рациональные — это, соответственно, все остальные вещественные.

Если мы возьмем два рациональных числа и сделаем между ними умножение, сложение, вычитание или деление, то результат обязательно будет рациональным.

Все вы, наверное, учились в пятом классе и знаете, как работают дроби.

Если мы сложим две дроби, мы действительно получим в результате дробь, причем числитель и знаменатель действительно целые, например, число корень из двух, число π, число e и многие другие.

Во-вторых, если мы возьмем рациональное и иррациональное число и сделаем между ними сложение, вычитание, умножение или деление, то результат будет иррациональным, задним исключением.

Если мы возьмем иррациональное и умножим на 0, получим рациональный 0.

На примере сложения.

Предположим, что мы взяли иррациональное число, прибавили к нему дробь и получили дробь.

Ну тогда вычтем просто из обеих частей дробь, которую мы прибавили, и получим то, что в правой части у нас дробь, а в левой части иррациональное число.

Равны друг другу они быть никак не могут, аналогично с остальными операциями.

А вот если взять два иррациональных числа, то результат непредсказуемый.

Например, корень из двух иррационален, и единица минус корень из двух также иррациональна, но в сумме это единичка.

Возвращаемся к задаче.

Что ж, первый шаг.

Методом пристального взгляда замечаем то, что нам подойдет число √ , делить на 2.

Если непонятно, откуда это число, ну присмотритесь пристальным взглядом.

Ладно, конечно, кажется то, что это число я взял с потолка.

Попробуем порассуждать.

Во-первых, обращу внимание на одну деталь условия.

Число a должно быть больше, чем 2.

Таким образом, номиналы монет не могут быть совсем маленькими.

Более того, если а больше 2, то а в квадрате уже больше 4, а в кубе уже больше 8 и так далее.

Если номиналы не могут быть совсем маленькими, то способов набрать небольшое количество рублей не так уж и много.

Пространство для маневра минимальное.

С первыми шести все достаточно очевидно.

Мы просто можем взять монеты по 1 рублю.

Но вот на семерке лавочку уже прикрывают, потому что одну и ту же монету брать 7 раз подряд нельзя.

А какие можно?

Ну, соответственно, а в какой-то степени.

Вот только а в кубе уже больше 8.

Поэтому использовать а в кубе или больше смысла не имеет.

Тогда единственные варианты для нас остаются это а и а в квадрате.

Но тут вот какой момент.

Если мы возьмем несколько единичек и, например, монету А, то результат будет иррациональным, ведь это сумма иррационального иррационального числа.

Поэтому семерку мы таким образом не получим.

Если мы возьмем число А несколько раз, то иррациональности это никак не отменят, потому что взять несколько раз это то же самое, что домножить на натуральное число.

Те же самые рассуждения актуальны и для А в квадрате.

Но как избавиться от этой иррациональности?

На самом деле есть единственный способ — взять два разных иррациональных числа и сложить между собой.

Но тогда а плюс а в квадрате — это самый минимум, который мы можем взять.

Причем а больше 2, а в квадрате уже больше 4, а их сумма будет больше 6.

Если мы добавим туда хотя бы единичку, то мы уже перепрыгнем семерку.

Единственный способ получить 7 рублей, это взять а и а в квадрате.

Тогда мы получаем, что а в квадрате плюс а равно 7.

Это просто-напросто квадратное уравнение.

Решаем это квадратное уравнение и получаем два корня.

Один из них сразу отпадает, потому что он отрицательный.

И остается то самое число корень из 29 минус 1 делить на 2.

Но это еще не вся задача, потому что непонятно, подойдет ли это число математикам или нет.

На самом деле, да, подойдет.

Чтобы это понять, вспомним то, что а – это не какое-то страшное число.

Это именно что корень уравнения а в квадрате плюс а равно 7.

То есть 7 монеток по рублю можно заменить на 2 монетки а и а в квадрате.

Поэтому, если нам надо набрать какую-то сумму, которая больше 7, то мы можем просто взять 7 монеток по рублю и заменить их на 2 монетки А и А в квадрате.

И делать это мы будем до тех пор, пока наши монетки по рублю не перестанут переполняться.

Правда, есть нюанс.

Теперь у нас может быть слишком много монет А и А в квадрате.

Но это тоже не проблема, потому что в равенстве а в квадрате плюс а равно 7 мы можем домножить обе части на а. Тогда получим а в кубе плюс 7а в квадрате равно 7а.

То есть 7 монеток по а мы аналогично можем заменить на 2 монетки а квадрат и а куб.

7 монеток а квадрат мы можем заменить на 2 монетки а куб и а в четвертой степени и так далее.

Любые 7 одинаковых монеток мы можем заменить на 2 монетки больших номиналов.

Таким образом, если у нас какие-то монетки все еще переполняются, мы можем заменить 7 таких монеток на 2 монетки побольше.

Количество монеток уменьшается, и, понятно, до бесконечности оно уменьшаться не может.

Действуя по такому алгоритму, мы действительно сможем получить любую сумму, и каждая монетка будет использована не более 6 раз, что и требовалось доказать.

Конечно, по-хорошему еще нужно объяснить, почему же а в любой степени будет иррациональным числом.

Но вы у меня самостоятельные, думаю, с этим вы и без меня справитесь.

И следующий совет.

Научитесь исследовать задачи и рассуждать над ними на интуитивном уровне.

Сначала на интуитивном уровне исследуйте задачу, попробуйте понять, какие моменты в ней значимы, придумать идеи, гипотезы, а потом уже немного разобравшись, попробуйте найти или ввести математические объекты, которые будут отражать именно ваши идеи и гипотезы.

Математические объекты должны обслуживать ваши идеи, а не вводиться сами по себе с потолка.

Вообще, на эту тему у меня была целая статья, которую я написал несколько лет назад.

Ее можно найти в моем телеграм-боте в разделе «Материалы».

Один из советов, который там дается, чтобы потренировать это интуитивное рассуждение, это попробовать порешать задачи в уме.

Тогда вы будете волей-неволей вынуждены меньше вычислять и больше думать о смысле.

А для примера я возьму такую задачу.

Всероссийская Олимпиада, 2016 год, 9 класс.

Это последняя задача первого дня.

У нас есть клетчатый квадрат 100 на 100, откуда вырезают 1950 доминошек.

Нужно доказать.

А для примера я возьму такую задачу.

Всероссийская Олимпиада, 2016 год, 9 класс.

Это последняя задача первого дня.

У нас есть клетчатый квадрат 100 на 100, откуда вырезают 1950 доминошек.

Нужно доказать то, что из оставшейся части обязательно можно будет вырезать вот эту фигурочку буковкой «Т», возможно, повернутую.

Давайте попробуем на интуитивном уровне подумать, о чем задача.

Эти фигурки буковкой «Т» я буду называть «Тэшки» для простоты.

Вообще говоря, вводить свои удобные обозначения, свой удобный язык задачи — это очень важная и полезная привычка.

Чем проще форма задачи, тем легче вам будет.

Во-первых, осознаем то, что у нас после вырезания доминошек вовсе не обязательно будет какая-то единая фигура.

Возможно, у нас получится разделить изначально квадрат на несколько кусочков.

То, что у нас останется, будем обобщенно называть конструкцией.

1950 доминошек – это 3 900 клеток.

Мы всегда вырежем 3 900 клеток, соответственно, у нас всегда останется ровно 6 100 клеток.

Нам хочется разобраться, чем принципиально различаются конструкции, из которых можно вырезать тэшку, от тех, из которых нельзя.

Полезно будет начать со случаев, когда ее вырезать точно можно, а когда точно нельзя.

Если все кусочки конструкции маленькие, скажем, по 3 клетки, тогда точно нельзя, потому что t-шка требует 4.

Но идея идти в этом направлении очень быстро отбрасывается.

Потому что если мы хотим, чтобы в каждом кусочке было не больше 3 клеток, то всего на 6100 клеток нам потребуется более 2000 кусочков.

Интуитивно разделить квадрат на такое количество частей точно не выйдет.

Ну и во-вторых, довольно легко получить сколь угодно большие куски, из которых букву Т вырезать точно не получится.

Например, контур большого квадрата.

Одновременно с этим Т-шку получится вырезать из небольшого кусочка из 4 или 5 клеток, если они стоят довольно удачно и близко друг к другу.

Получается, нам важнее исследовать все-таки именно плотные скопления клеток, где сразу несколько будут соседями друг к другу.

Тут же становится понятно, что если мы хотим создать конструкцию без тэшек, то нам хочется вырезать отовсюду понемногу клеток, потому что если какой-то участок мы оставим без внимания, там и найдется тэшка.

Это очень тесно перекликается с условием, которое разрешает вырезать клетки лишь парами.

Это как раз мешает вырезать отовсюду понемногу.

Если мы хотим вырезать какую-то клетку, то вынуждены вырезать соседа.

К слову, опять возникает слово «сосед».

Но пока не будем строить сильных гипотез.

Подумаем, что такого особенного у этих Т-шек.

Чем эти Т-шки отличаются от… от не Т-шек?

От кого?

Чтобы понять, что особенного у этих Т-шек и какие их отличительные свойства, их нужно с чем-то сравнить.

Нагляднее всего будет, если мы сравним их с чем-то родственным, похожим.

Я решил посмотреть на другие фигурки из четырех клеток.

Все возможные варианты у вас на экранах.

И тут можно заметить несколько особенностей наших тэшек.

Во-первых, если мы, например, сделаем шахматную раскраску, то в тэшке будет три клетки одного цвета и одна другого.

А во всех прочих фигурках будет ровно по две клетки каждого цвета.

Правда, посчитать цвет напрямую, наверное, все же плохая идея, потому что если в одной тэшке три черных и одна белая, то в другой может быть уже три белых и одна черная.

Это скомпенсирует предыдущую и по итогу будет то же самое, что и у других фигурок.

Тэшка единственная фигурка в этом списке, кого нельзя обойти змейкой.

Змейка, если кто не играл, съедает себя, если возвращается в точку, где уже была.

Все остальные фигурки можно обойтись двигаясь по соседям, не проходя через клетку дважды.

А вот нашу тэшку нельзя, поэтому мы неизбежно будем вынуждены вернуться в перекресток.

Клетку, которая соединяет остальные.

И тут мы уже приходим к мысли, что именно эта клетка перекресток является краеугольным камнем нашей тэшки.

Это перекликается с первым замечанием.

Ведь именно перекресток будет отличаться по цвету от остальных клеток тэшки.

Теперь попробуем обдумать отличительные особенности именно перекрестка.

И ее легко заметить.

У этой клетки три соседа.

Присмотритесь, ни у одной из других фигурок нет клетки, у которой было бы аж три соседа.

Везде максимум два.

А точнее ровно два.

Более того, если у какой-то клетки есть три соседа, то вместе с этими соседями она автоматически образует Т-шку.

То есть, в любой Т-шке есть клетка с тремя соседями, и наоборот, любая клетка с тремя соседями – это Т-шка.

Поэтому наличие Т-шки в нашей конструкции – это то же самое, что наличие клетки с тремя соседями.

Кажется, мы нашли очень удобную переформулировку.

Итак, мы посмотрели на особенности тэшек, заметили, что их особенность в наличии перекрестка, а уже думая про перекресток, пришли к мысли, что важны именно количество соседей у клеток.

Если мы допустим то, что из нее нельзя вырезать тэшку, то это значит, что у каждой из оставшихся клеток не больше двух соседей.

Суммарно это будет не более 12200 соседств.

А у изначального квадрата было 10 тысяч клеток, почти у каждой клетки по 4 соседа, это почти 40 тысяч соседств.

То есть нам нужно избавиться от 28 тысяч из 40, нужно вырезать 40% клеток и поломать 70% соседств.

Звучит нереалистично, и это хороший знак.

Попробуем облачить это в более конкретную форму.

Подумаем, как может поменяться количество соседств при вырезании одной доминошки.

Ликвидация одной доминошки заберет одного соседа у шестерых клеток, с которыми она соприкасалась.

Но общее количество соседств изменится сильнее.

Мы ведь еще заберем две клетки целиком вместе со всеми соседствами.

Это еще 8 соседств.

Итого 14.

Точнее, максимум 14, потому что некоторые клетки и так могли отсутствовать, или мы могли вырезать доминошку около краев.

Но мы точно можем сказать то, что больше 14 соседств за одну доминошку мы забрать не можем.

Тогда за 1950 доминошек мы заберем не больше, чем 27 300 соседств.

Ну и самое время посчитать, сколько соседств было изначально.

Я предложу такой способ.

Если допустить то, что у каждой клетки по 4 соседства, то соседств будет 40 тысяч.

А теперь посчитаем, сколько мы не досчитаемся до этих 40 тысяч.

У нас есть 4 угловые клетки, у которых 2 соседа вместо 4.

Это минус 8.

Еще у нас 392 боковые клетки, у которых 3 соседа вместо 4.

Это минус 392.

Итого минус 400.

Мы не досчитаемся 400 и 40 тысяч, то есть соседств было 39 600.

из которых мы заберем максимум 27300 и получим, что останется минимум 12300.

А мы уже поняли то, что если мы хотим гарантировать отсутствие тэшки в конструкции, то сосед не может быть больше, чем 12200, а можно получить минимум 12300.

Не сходится.

Поэтому отсутствие тэшек добиться невозможно, что и требовалось доказать.

На этом все, не забывайте подписываться на канал, на телеграм-канал, и если вы до сих пор не записались на занятия, то, ну, запишитесь, пожалуйста.