Аксиома выбора: как Георг Кантор чуть не сломал математику [Veritasium]

В математике есть правило настолько простое, что оно кажется очевидным.

Но если следовать ему, возникают парадоксы.

Некоторые отрезки теряют длину, а из одной сферы можно получить две такие же, ничего не добавляя.

Этим правилом, этой аксиомой математики пользуются уже более века.

Она понятна и работоспособна, но порождает абсурдные парадоксы.

Так верна ли она?

Все начинается с проблемы выбора.

Попробуйте загадать число.

Случайное число назвать нетрудно.

Скажем, 37 или 42.

И этот выбор мы делаем сами, не прибегая ни к каким вычислениям.

Да и никакими расчетами случайное число не получить, какую бы формулу вы ни придумали.

Цифровые генераторы случайных чисел — это лишь иллюзия.

Обычно их алгоритмы используют время на вашем компьютере, чтобы получить псевдослучайное значение.

Но что же делать, когда все-таки нужно выбрать какое-то число?

Ну, можно сформулировать четкое правило.

Например, всегда выбирать наименьший элемент множества.

Для всех натуральных целых чисел это будет единица.

Для простых — двойка.

Ничего сложного.

А для вещественных, к которым относятся положительные, отрицательные, целые, дробные, даже иррациональные, вроде числа π или корни из двух, попробуйте найти среди них наименьшее.

Это невозможно.

Они уходят в минус бесконечность.

Даже если мы уточним правило, например, будем выбирать наименьшее число после единицы, проблема остается.

К единице можно прибавить одну сотую, десятитысячную, стамиллиардную и так до бесконечности.

Нет, правда, какое число идет сразу после единицы?

Если мы даже не можем определиться с порядком вещественных чисел, какое за каким идет, мы в тупике.

Парадокс в том, что вариантов-то бесконечно много, но решить, по какому принципу выбирать, не получается.

В 1870 году один человек бросил вызов хаосу вещественных чисел.

Он решил упорядочить их во что бы то ни стало, и это едва не стоило ему жизни.

Георг Кантор, талантливый немецкий математик, в 29 лет опубликовал одну из своих первых работ и оказался в центре скандала.

Веками наше понимание бесконечности строилось на трудах Галилея.

В своей книге 1638 года он ставил важный вопрос.

Чего больше, натуральных чисел или их квадратов?

Если посмотреть на числовую прямую, квадратные числа встречаются реже, и чем дальше, тем больше расстояние между ними.

Создается впечатление, что квадратов меньше, чем натуральных чисел.

Но Галилей понял, что раз любое натуральное число можно возвести в квадрат, это значит, что каждый элемент первого множества можно сопоставить с каждым элементом второго, и из этого следует, что они одинаковы по размеру.

Выходит квадратных чисел столько же, сколько и натуральных.

Этот неожиданный вывод привел Галилея к мысли, что такие понятия как «больше» и «меньше» неприменимы к бесконечности.

Бесконечность понималась как общая концепция безграничной вечности, и такой взгляд господствовал веками.

Да и сейчас многие воспринимают ее именно так.

Но прошло 200 лет, и за дело взялся Кантор.

В 1874 году он задумался, существуют ли два бесконечных множества элементов, которых нельзя вот так сопоставить друг с другом.

Могут ли бесконечности быть разными?

Чтобы проверить свою мысль, Гантр решил сравнить все натуральные числа с вещественными от нуля до единицы.

Он начал с предположения, что между этими множествами можно установить точное соответствие.

Кантер представил бесконечный список, где с одной стороны натуральное число, а с другой вещественное .

Поскольку наименьшего вещественного числа не существует, их можно записывать в произвольном порядке.

Так получается полный бесконечный список.

Но к нему всегда можно добавить новое вещественное число.

Чтобы его получить, надо прибавить единицу к первой цифре первого числа, потом прибавить единицу ко второй цифре второго числа и так далее до конца списка.

Кроме восьмерок и девяток.

Из них единица вычитается, чтобы избежать возможных повторов.

В результате этих манипуляций получается вещественное число между нулем и единицей, которого в исходном списке еще нет.

Оно отличается от первого числа первым знаком после запятой, от второго вторым и так далее по порядку.

Оно отличается от каждого числа в списке хотя бы одной цифрой, той, что лежит на диагонали.

Поэтому этот прием называют диагональным методом Кантера.

Он показывает, что между нулем и единицей вещественных чисел больше, чем натуральных, хотя и тех, и других — бесконечность.

Кантор открыл нечто поразительное.

Бесконечности бывают разных размеров.

Некоторые из них, например, множество квадратов, целых или рациональных чисел, можно идеально сопоставить с натуральными числами.

То есть их удастся посчитать.

Один, два, три и так далее.

Такие множества Кантор назвал счетными бесконечностями.

Но существуют и большие бесконечности, не счетные.

К ним относятся, например, все вещественные числа или комплексные числа.

Их невозможно сопоставить с натуральными числами один к одному.

Результаты Кантера потрясли математическое сообщество.

Разве может нечто, не имеющее конца, быть больше чего-то другого, столь же бесконечного?

Его работу окрестили кошмаром и опасной болезнью, но Кантер не сдавался.

Успех вдохновил его на еще более грандиозную цель — показать, что даже несчетные бесконечные множества можно упорядочить так, чтобы получить то, что Кантер назвал вполне упорядоченным множеством.

Чтобы множество считалось вполне упорядоченным, оно должно отвечать двум условиям.

Во-первых, оно должно иметь четко определенный первый элемент.

Во-вторых, любое подмножество, группа элементов из этого множества, также должно иметь собственный первый элемент.

Например, натуральные числа полностью упорядочены.

Первый элемент — единица, и любое подмножество, скажем, 6, 7, 8, также с чего-то начинается, в данном случае шестерки, и вы всегда знаете, какое число следует за каким.

А как быть с целыми числами?

Они простираются в бесконечность как в положительную, так и в отрицательную сторону.

Кантр понял, что в качестве начальной точки можно выбрать 0 и упорядочить числа следующим образом.

1, минус 1, 2, минус 2, ранжируя целые числа по их модулю, расстоянию от нуля.

Не важно, какой знак при этом ставить первым.

Главное — выбрать принцип и не нарушать его.

Такое упорядочивание позволяет сопоставить целые числа с натуральными и доказать, что множества равны по размеру.

Есть и другие способы упорядочить целые числа.

Можно начать с нуля и идти 1, 2, 3 до плюс бесконечности, а потом взять минус 1, минус 2, минус 3, так до минус бесконечности.

Этот способ выглядит странно, но оба результата соответствуют определению вполне упорядоченного множества.

Они явно начинаются с нуля, и у любого подмножества будет свой первый элемент.

Кантру удалось упорядочить множество, бесконечное в двух направлениях.

Но пока только счетно бесконечное.

В своей следующей книге он опубликовал еще более дерзкую теорему, в которой заявил, что даже несчетное бесконечное множество, например, все вещественные числа, можно упорядочить так же.

Проблема заключалась в том, что он этого так и не доказал.

Не смог.

Все его попытки оказались неудачными.

Но Кантор не утратил уверенности в том, что прав.

Он был глубоко верующим лютеранином и считал, что через него говорит сам Бог.

Моя теория тверда, как скала.

Любая стрела, выпущенная против нее, вернется к стрелку.

«Откуда я это знаю?

Потому что я посвятил этой теории много лет, и, главное, проследил ее корни, так сказать, до первой непогрешимой причины всего сущего», — писал Кантер.

Однако вера — не доказательство.

Утверждение, что можно упорядочить любое множество без математического обоснования, вызвало новую волну критики.

Научное сообщество ополчилось на Кантера во второй раз.

Главным критиком стал Леопольд Кроникер, глава математического факультета Берлинского университета.

Он яростно отвергал все труды Кантера, клеймил его шарлатаном и совратителем молодых умов.

Ирония в том, что когда-то Кроникер был учителем Кантера.

Кантер мечтал работать с ним в Берлине, но все его заявки почему-то отклонялись, что он принимал очень близко к сердцу.

В 1884 году Кантер написал 52 письма другу, и в каждом сквозила обида на Кроникера.

Вскоре у него случился первый из череды нервных срывов, и его поместили в санаторий для восстановления.

Оставался единственный способ доказать всем свою правоту — упорядочить множество вещественных чисел.

Но он даже не знал, с чего начать.

Буквально.

После лечения в санатории Кантер отошел от математики, униженный и сломленный.

15 лет он преподавал философию, лишь изредка возвращаясь к прежним исследованиям.

Но самый тяжелый удар ждал его в 1904 году на Международном конгрессе математиков.

Юлиус Кёнинг, уважаемый профессор из Будапешта, заявил, что доказал ошибочность теоремы Кантера.

На конгрессе присутствовали не только сам математик, но и его жена, две дочери и коллеги.

Унижение было невыносимым.

Однако среди слушателей был еще один человек, Эрнст Цермилла, немецкий математик, недавно заинтересовавшийся работами Кантера.

Он чувствовал, что в докладе Кёнинга что-то неладно.

Всего за 24 часа он обнаружил проблему.

В аргументах содержалось непримиримое противоречие.

Уже через месяц Цермила опубликовал трехстраничную статью под названием «Доказательство того, что любое множество можно вполне упорядочить».

И оно было безупречным.

Цермила в своих изысканиях сумел разглядеть скрытый фундаментальный принцип, который Кантер использовал повсюду интуитивно и бессознательно, но нигде явно не сформулировал.

Все это время Кантер просто принимал, что можно выбирать сколько угодно элементов из любых множеств, включая несчетно бесконечные, вроде множества вещественных чисел, но это было лишь допущение, нигде формально не закрепленное в математике.

Математика строится на правилах, аксиомах, простых утверждениях, которые принимаются как истинные без доказательств.

Цермила понял, то, что Кантр принимал как должное, нужно было оформить как четкое правило, новую аксиому, допускающую возможность делать выбор.

Так появилась аксиома выбора.

Аксиому выбора можно сформулировать так.

Если у вас есть бесконечное количество множеств, и они не пустые, то из них можно выбирать отдельные элементы.

С конечными множествами проблем нет.

Можно перебрать все элементы и выбрать какой-нибудь.

Если множество бесконечные, так уже не получится, и нужно четкое правило, например, всегда брать наименьший элемент.

но иногда и его не придумать.

В таких случаях, когда есть бесконечно много множеств, включая несчетные, нужна аксиома выбора.

Аксиома гласит, что выбор из любых множеств возможен, пусть мы и не знаем, по какому принципу.

Сказать, что именно было выбрано, тоже не получится, ведь множеств бесконечно много.

Главное, выбор в принципе возможен.

Как же новая аксиома помогает упорядочить вещественные числа?

Вот что предложил Цермилла.

Берем любое одно число из множества всех вещественных, назовем его х1, и помещаем в новое множество r. Остается подмножество всех вещественных чисел минус r, из которого мы выбираем следующее число, назовем его х2.

Оно становится вторым элементом множества r.

По этому же принципу добавляем все следующие элементы — x3, x4, x5.

Хоть выглядит все так, будто числа берутся по одному, на самом деле выбор происходит из всех возможных подмножеств одновременно.

Нумеровать выбранные элементы можно натуральными числами, но здесь возникает проблема.

Натуральных чисел — счетное количество, а вещественных — не счетное, так что таких номеров просто не хватит.

Однако, возможно, продолжить считать после бесконечности.

Мы так делали, когда после плюс бесконечности перешли к минус одному, минус двум и так далее.

Поэтому тут надо ввести новый класс чисел, которые идут после натуральных.

Назовем первое такое число омега.

За ним пойдет омега плюс один, омега плюс два и так далее.

Эти омега-числа не больше бесконечности, они просто идут после нее.

Они не указывают на количество элементов, но задают их порядок.

Таким образом, следующие выбранные числа получают номера х омега, х омега плюс один, х омега плюс два и так далее.

Процесс продолжается, пока все числа не закончатся, то есть пока исходное множество не станет пустым.

В результате получаем вполне упорядоченное множество, где существует первый элемент х1, и каждое подмножество также имеет первый элемент.

И вот мы успешно упорядочили вещественные числа.

Да, это не тот порядок, к которому мы привыкли.

Миллиарды и десятые доли стоят вперемешку, но так или иначе мы доказали, упорядочить вещественные числа возможно.

Более того, теперь у нас есть решение изначальной проблемы математического выбора.

Мы не можем указать наименьшее вещественное число, но теперь можем определить первое, нашу отправную точку.

И этот метод работает для любого множества, что означает, все множества, независимо от их размера, можно вполне упорядочить.

Оказалось, что теорема Кантера об упорядочивании и аксиома выбора Цермела — это, по сути, одно и то же.

Для Кантера это стало огромным облегчением.

Цермелло не только доказал теорему, но и вполне упорядочил вещественные числа, и все за какой-то месяц.

Он совершил прорыв, формализовав то, чем математики пользовались неосознанно.

Цермилло показал, что математика — наука не столько о числах, сколько о логике, которая за ними стоит.

Итак, формально аксиома выбора была новым словом математики, хотя на практике использовалась уже давно.

Цермилло проанализировал труды своих коллег и обнаружил, что даже ярые критики теории Кантера неосознанно опирались на эту аксиому в своих работах.

Это показывает, насколько неочевидно, что такая аксиома вообще нужна.

Люди пользовались ею кучу лет, сами того не зная.

Казалось бы, все просто, но доказательство Цермилла выглядело слишком абстрактным.

Оно ничего не упорядочивало, лишь утверждало, что это возможно.

Но на каком основании?

И как бы это проверить?

А еще в доказательстве было бесконечное число шагов.

Это вообще законно?

Некоторые математики считали, что доказательства должны быть конечными, другие принимали только счетную бесконечность.

Но все это были лишь цветочки.

Когда ученые стали экспериментировать с аксиомой выбора, открылся математический ящик Пандоры.

Первый парадокс возник в 1905 году, когда Джузеппе Виталия, оперевшись на аксиому выбора, построил особое множество чисел, которое перевернуло представление о длине.

Виталий взял все вещественные числа от нуля до единицы и разложил их по бесконечному количеству групп.

Назовём их корзинами.

Нужно было, чтобы каждое число оказалось только в одной.

Что сделал Виталий?

Допустим, у нас есть два числа x и y. Если их разность x минус y равна рациональному числу, результату деления целого на натуральное, тогда и x и y вместе окажутся в одной корзине.

Берем два других числа.

И P и Q, их разность нерациональна, то есть иррациональное число.

их кладем в разные корзины.

Давайте попробуем.

Вычтем из трех четвертых одну вторую, получится одна четвертая.

Рациональное число.

Значит, кладем три четвертых и одну вторую в одну корзину.

Скажу сразу, в этой же корзине окажутся все рациональные числа от нуля до единицы.

С иррациональными сложнее.

Заранее непонятно, попадут ли они в одну корзину.

Например, квадратный корень из 2 делённый на 2 минус корень из 2 на 2 минус 1 четвёртая равно 1 четвёртая.

Это рациональный результат.

Пусть сами числа и иррациональны.

Так что они окажутся в одной корзине.

А вот квадратный корень из 2, деленный на 2, минус квадратный корень из 2, деленный на 3, даст иррациональный результат.

Следовательно, корень из 2 на 3 окажется в отдельной корзине.

и там же все числа, с которыми у него рациональная разность.

Таким образом, можно распределить все вещественные числа по группам, не повторяясь.

Затем Виталий применил аксиому выбора и из каждой группы, где, напомню, все числа отличаются на рациональное значение, отобрал по представителю.

Можно взять 3 четверти отсюда, отсюда корень из 2 на 2, отсюда корень из 2 на 3 и так далее.

Поскольку мы вооружились аксиомой выбора, неважно, какое именно число мы возьмем, важно лишь, что оно будет.

Запишем это так.

Все представители из каждой группы вместе образуют множество «Виталий».

Его можно изобразить как набор точек между нулем и единицей.

Теперь создадим бесконечное количество копий этого множества, но каждый раз будем смещать все его элементы на рациональное число от минус до плюс одного.

у нас получится вот что.

Все точки множества будут каждый раз двигаться на какое-то новое рациональное значение, и таким образом все числа, которые оказались во множестве Виталий, в конечном итоге побывают на тех местах, куда попали бы все остальные числа из их группы, если бы мы выбрали их.

По крайней мере, на отрезке от нуля до одного.

Если мысленно сложить все эти бесконечные множества, между их элементами не будет пересечений.

При этом мы получим все вещественные числа на промежутке от нуля до единицы, поскольку мы собрали все элементы каждой группы.

Возникает вопрос, какая, так сказать, длина у множества Виталий?

Мы знаем, что для объединения всех его копий она равна как минимум 1, ведь оно содержит все числа от 0 до 1.

С другой стороны, все его точки попадают в промежуток от минус 1 до плюс 2, значит, длина не может быть больше 3.

Так какой длины должно быть множество Виталий, чтобы после бесконечного сложения с самим собой

общая длина была от 1 до 3.

И есть ли вообще такое число?

Если длина множества равна 0, то бесконечное сложение нулей даст 0.

Если длина даже немного больше 0, то бесконечное сложение приведёт к бесконечности, а не к 3.

Получается противоречие, и единственный выход — признать, что само множество Виталий неизмеримо, что кажется невероятным.

У неизмеримых множеств, подобных этому, нет определенного размера, длины, площади и даже вероятности.

Внезапно вся математика, основанная на принципе измеримости любых величин, будь то расстояние, время или вес, столкнулась с неизмеримым.

Казалось, что виной всему аксиома выбора.

Но это было только начало вызванных ей проблем.

В 1924-м математики Стефан Банах и Альфред Тарский, опираясь на аксиому выбора, сотворили настоящий парадокс.

Они доказали, что можно взять один сплошной шар, разбить его на пять частей, а затем, определённым образом поворачивая и перемещая эти части, собрать из них две точных копии исходного шара.

Этот процесс можно продолжать бесконечно и получить из одного шара сколько угодно его точных копий.

Звучит бредово, но это правда.

Попробуем разобраться, что к чему.

Представьте, что вы можете двигаться в четырех направлениях — вверх, вниз, влево и вправо.

Сделав шаг, например, влево, вы получаете те же четыре варианта — вверх, вниз, влево и вправо.

Но если вы пойдете вправо, вы вернетесь туда, откуда начали.

Отсюда единственное правило — возвращаться назад сразу же нельзя.

Мы будем продолжать двигаться так шаг за шагом, рисуя каждый новый отрезок вдвое короче предыдущего, чтобы все помещалось на экране.

Если продолжать так бесконечно, получится вот такой рисунок с бесконечным ветвлением.

Анализируя его структуру, можно выделить пять секций.

Есть центр, с которого мы начинали, и еще четыре части, идентичные друг другу, но перевернутые.

Если взять левую секцию и сдвинуть всё на один шаг вправо, верхняя её часть окажется здесь, нижняя — здесь, а самая левая — здесь.

Получился практически тот же рисунок.

Не хватает правой секции.

Давайте вернём её на место.

Можно сделать то же самое по-другому.

Взять нижнюю секцию и сдвинуть её на один шаг вверх.

Тогда её левая часть окажется здесь, правая — здесь, а нижняя — здесь.

Нам опять не хватает одной секции, давайте её добавим.

Получается, мы можем воссоздать исходную картину двумя совершенно разными способами.

Мы взяли один рисунок, разделили его на секции, сдвинули их — левую вправо и нижнюю вверх — и в итоге получили две копии.

Баннах и Тарски провернули тот же трюк, только с шаром.

Как и в нашем примере, у шара есть четыре направления вращения — вверх, вниз, влево и вправо.

Правило то же — поворачивать назад сразу нельзя.

Чтобы никогда не возвращаться в одну и ту же точку, каждое вращение будет выполняться на одинаковую рациональную долю окружности.

Выберем произвольную начальную точку, отметим ее и начнем вращать шар.

Каждую точку окрасим в свой цвет в зависимости от направления вращения, после которого мы туда попали.

Если повторить это бесконечное число раз, получится множество точек.

Это счётное бесконечное множество, потому что мы можем пронумеровать каждое вращение натуральным числом.

Но количество точек на поверхности шара — это несчетное множество, как и множество вещественных чисел.

Чтобы покрыть всю поверхность, нам нужно повторить этот процесс уже от других начальных точек.

Но с какой начать?

Их несчетно много.

Мы не можем перечислить их все.

И что важно, нам нельзя допустить повторного окрашивания уже отмеченных точек.

Решение — использовать аксиому выбора.

Благодаря ей мы можем выбрать уникальные начальные точки, даже не зная, какие именно точки это будут.

Когда все точки шара окрашены, мы можем разбить их на пять групп.

Одна для начальных точек и еще четыре по направлению последнего вращения, которое нас туда привело.

Теперь с этими группами можно обращаться так же, как с секциями нашего рисунка.

Мы можем взять группу точек, где последнее вращение было влево, и повернуть ее вправо.

Затем добавляем группу, которая заканчивается вращением вправо, и вуаля, мы воссоздали исходный шар.

Можно сделать это снова, добавив ещё одно движение, чтобы учесть начальные точки.

Теперь возьмём группу с последним вращением вниз и повернём её вверх.

Добавим к ней точки с последним вращением вверх и группу начальных точек.

И вот мы воссоздали наш исходный шар во второй раз.

Это, конечно, упрощённое объяснение, но оно передаёт суть.

Из одного шара мы создали две его идентичные копии с тем же объёмом.

И ничто не мешает нам повторить это ещё раз.

Из двух шаров получится четыре, из четырёх — восемь, и так до бесконечности.

Аксиома выбора — нечто совершенно очевидное и простое.

Но её последствия настолько абсурдны, что начинаешь думать, что вообще происходит?

Бесконечное дублирование теоретически возможно.

Но загвоздка в том, что группы, на которые мы разделяем шар, как и множество Виталий, неизмеримы.

Хотя исходный шар и его копии имеют определенный объем, промежуточные этапы преобразования противоречат нашим представлениям о размере.

Отсюда и возникает парадокс.

Конечно, провести такие манипуляции нельзя.

Но возникает почти метафизический вопрос, а если бы было можно, мы бы получили бесконечно много шаров?

Почти все, кого я знаю, отвечают категорическим «нет».

Правда в том, что никто не мог объяснить, как так получается.

В том же году Тарский попытался развить аксиому выбора, доказав ее эквивалентность утверждению, что возведение бесконечного множества в квадрат не увеличивает его размер.

Когда он отправил свою работу в парижский журнал, редактор Лебек пренебрежительно ответил, «Никому не интересен вопрос эквивалентности двух ложных утверждений».

Не желая сдаваться, Тарски обратился к другому редактору того же журнала «Фрише», который заявил, «Никому не интересен вопрос эквивалентности двух очевидно истинных утверждений».

Больше Тарски в этот журнал не обращался.

Математика погрузилась в кризис больше, чем на 30 лет.

Учёные не знали, чему верить.

Возникает вопрос, правда ли это аксиома, или её всё-таки можно доказать?

Первые ответы появились в 1938 году.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал, что возможен мир, где все принятые аксиомы теории множеств истины, в том числе аксиома выбора.

Затем в 63-м Пол Коэн показал, что возможен и другой мир, где истинны все аксиомы теории множеств, кроме аксиомы выбора.

Эта ситуация напоминает пятый постулат в геометрии.

Можно представить геометрию как игру.

Первые четыре постулата — базовые правила, описывающие механику, а пятый определяет вселенную, в которой вы хотите играть.

Если через точку, не лежащую на какой-то прямой, нельзя провести прямую, параллельную первой, вы в сферической геометрии.

Если можно, но только одну, то в плоской.

А если больше одной, в гиперболической.

Неправильных вариантов нет.

Все зависит от того, какую задачу надо решить.

С аксиомой выбора то же самое.

Её нельзя ни доказать, ни опровергнуть, опираясь на другие аксиомы.

Поэтому, если остальные аксиомы верны, добавление выбора не приводит к противоречиям.

За это фундаментальное открытие и другие достижения в теории множеств Пол Коэн был удостоен Филдсовской медали.

После работ Гёделя и Коэна дискуссии об аксиоме выбора поутихли.

В итоге оказалось, что выбор остается за вами, включать аксиому выбора в свою систему или нет.

Правда, вам же придется нести ответственность за последствия этого решения.

Несмотря на кажущиеся парадоксальными результаты, которые порождает эта аксиома, например, неизмеряемое множество и бесконечное дублирование, она невероятно полезна.

Она позволяет математикам заменить громоздкие и длинные доказательства более короткими и емкими аргументами.

Если есть доказательства для конечного случая, зачастую его можно распространить на бесконечные вариации всего одной строкой.

Это позволяет сократить многостраничные расчеты до пары абзацев.

Аксиома выбора не просто упрощает математику.

Для некоторых доказательств она необходима.

Существуют теоремы, которые нельзя доказать в общем случае без использования этой аксиомы.

Конечно, некоторые математики все еще предпочитают ее избегать, даже если это сложнее.

Каждый шаг приходится четко расписывать, чтобы применить результат к бесконечным случаям, и расчеты получаются строже.

Некоторые ученые изучают модели Вселенной без аксиомы выбора, чтобы лучше понять, на что она влияет.

Но сегодня аксиома принимается практически повсеместно.

За последние 80 с лишним лет выросли поколения математиков, для которых она просто данность, и многие даже не замечают, как используют ее в своих рассуждениях.

Не опираться на аксиому выбора — это всё равно, что работать со связанными руками.

Без неё в математике сейчас очень сложно добиться прогресса.

Так что вопрос не в том, верна ли аксиома выбора, а в том, подходит ли она для решения тех задач, которые перед вами стоят.