Экономическая математика Л12 БХА

Еще раз здравствуйте, уважаемые студенты, мои бухгалтера будущие.

Так, сегодня у нас следующая лекция.

Значит, мы с вами закончили ту часть, которая называется теория вероятности и математическая статистика.

И сегодня мы с вами начнем раздел, который называется математическое программирование.

в экономике.

То есть, в общем говоря, сейчас, секундочку, что такое математическая модель экономическая, так, что такое линейное программирование, как мы им будем пользоваться в экономических задачах и так далее.

Значит,

Теперь, та часть, которая называется линейным программированием.

Во-первых, какие понятия мы с вами должны сегодня разъяснить?

Во-первых, что такое модель?

Что такое математическая модель?

Этапы создания математической модели.

Целевая функция, что это такое?

Оптимизация целевой функции.

Вот этими вопросами мы с вами будем заниматься сегодня.

Теперь, какие вопросы?

Как я вам сказала, что такое модель, что представляет собой математическая модель, сколько этапов, какие этапы создания модели, какую функцию называют целевой и что значит оптимизировать функцию.

Теперь модель.

Оказывается, вообще модель это объект, который, ребята, который представляет ту модель, которая у нас существует в самой природе.

То есть, во-первых, модель, ну как она создается мне не надо, ребята, давайте так сделаем.

Сначала такое определение дадим лучше вам, чтобы было понятно.

Модель — это такой, как я вам сказала, материальный или абстрактный объект.

Ну, скорее всего, в математическом языке мы будем заниматься абстрактным моделью, который находится в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом.

То есть, модель — это какой...

Некоторый абстрактный или материальный объект, который представляет собой максимально приближенную к оригиналу.

Это такой объект.

То есть мы не можем один к одному с оригинала срисовать.

Все равно это модель, но в основном модель,

Имеет об оригинале определенную основную информацию, которая характеризует основной объект.

То есть, когда мы берем модель, то есть когда мы срисовываем от основного объекта, ребята, мы, конечно, любой объект, мы расписываем все-все-все-все-все характеристики этого основного объекта, который мы хотим изучить.

И наша модель должна характеризовать, то есть носить в себе основные характеристики этого исследуемого объекта.

Это и называется моделью.

Теперь, если грамотно определить...

Модель — это некоторый материальный или абстрактный объект, находящийся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом, несущий о нем определенную информацию и способный замещать его на определенных этапах исследования.

Что такое математическая модель?

Естественно, математическая модель — это основной язык формул.

Поэтому она и называется знаковая.

Это модель объекта или системы, заданная в виде формул, функций, уравнений и других математических соотношений.

Теперь, в зависимости от свойств условий, какие условия задачи и какая цель наша, целевая функция – это наша цель, что мы хотим получить.

У нас идет классификация задач, какие задачи могут быть, как решаются, классификация каким путем.

Мы метод говорим, но вообще это говорится задачи линейного программирования, задачи целочисленного программирования.

задачи нелинейного программирования, динамического программирования, стахастического программирования, многокритериального оптимизации и методы теории игр.

Вот классификация всех задач, которые могут возникнуть, исходя из условий поставленной задачи и целевой функции, что мы хотим получить.

Структура методов принятия решений, это, ну, давайте в нем я так сильно останавливаться не буду, лучше, что мы имеем в виду?

Значит, что такое, как мы получаем объект?

Модель мы сначала, для чего она нам нужна?

Она нам нужна, то есть составляется модель, чтобы изучить оригинал, как я вам сказала.

основной объект.

Второе, эта модель, вообще модель должна сохранять самые важные, все свойства вы не можете учесть, иначе вы там завянете, не сможете решить эту задачу.

Вы должны поставить такие, сохранить в вашей модели те характеристики вашего объекта, чтобы это давало самые главные черты

То есть в чем заключается сам объект, то есть характеристики этого объекта, основные характеристики.

И исходя из этого вы должны дальше работать.

Теперь, что такое математическая модель, я вам сказала, это набор формул.

Значит, то есть это система математических соотношений, неравенства, равенства, уравнений и так далее.

Например, вот как мы видим обычно, это математическая модель.

Если хорошенько посмотреть, если вы а и б включите как x и y, это будет фактически у вас уравнение чего у нас?

x квадрат плюс а плюс у квадрат равен c квадрат.

Уравнение какое будет?

Так как у нас x, y все положительное, ребята, это какая часть окружности будет, как вы думаете?

А, b, все положительное.

Какая часть окружности?

Первая четверть, правильно?

Четвертая, да.

Первая четверть.

Теперь.

Математическая модель – это система ограничений, которая вам нужна, и плюс цель ваша, целевая функция.

Теперь, как создается математическая модель, ребята?

Во-первых, вы должны осмыслить задачу, то есть понять, в чем она заключается.

Во-вторых, здесь, то есть это, во-первых, ну все входит вот сюда, выделить наиболее важные величины, что вам нужно, вот, например, чтобы составить математическую модель, характеристики, что значит характеристики математической модели.

Это самые наиболее важные величины, неизвестные величины,

что они представляют, и схемы, диаграммы, рисунки и так далее.

Теперь, второе, что вы должны сделать в математической модели, ребята?

Во-первых, обозначить неизвестные величины, во-вторых, то есть.

Потом составить систему ограничений.

И в-четвертых, обязательно вы должны составить целевую функцию.

Без целевой функции нельзя.

Теперь давайте вспомним наши самые-самые, которые нелюбимые текстовые задачи при поступлении, которые вы решали.

Помните?

Например, из пункта А в пункт Б одновременно выехали два автомобиля.

Первый проехал с постоянной скоростью весь путь.

Второй проехал первую половину пути со скоростью меньшей скорости первого на 18 км в час.

А вторую половину пути со скоростью 108 км в час.

В результате чего прибыл в пункт Б одновременно с первым.

Найдите скорость автомобиля, какого первого автомобиля, если известно, что она больше на 64, ой, 63 километра в час.

Вот как будем составить.

Или, например, следующая задачка.

Вот смотрите.

Для банкета некоторого, ну, господина там, человека, надо напечь пирожков и шарлоток.

Какое максимальное количество пирожков и шарлоток нужно испечь, если имеется такая информация, какая?

Вот, мука для пирожков 45, ну, здесь в граммах записано, на человека.

На одного человека считается.

Вот расход на одну единицу продукции.

Пирожки 45 грамм муки, масло 5 грамм, сахар 10 грамм, соль 3 грамма, яйца пол яйца.

Для шарлотки 500, 100 и так далее.

И всего вот что мне нужно.

Теперь предположим, ребята,

что гости этого человека оказались на диете, допустим, и от пирожков отказались.

Продукты решено продать.

Какой будет максимальная прибыль, если реализация одного пирожка дает прибыль 5 рублей, ну или сумма, там, не знаю, денежных единиц, а шарлотки 10?

То есть вы даже целевую функцию должны смотреть, что вы должны сделать, как ее исследовать, на что ее исследовать.

В данном случае мы должны продать максимально высоко, то есть мы должны максимизировать функцию.

Мне же выручка должна быть больше, правильно?

А когда идет задача о расходах,

расчет расходов, тогда целевая функция иного характера.

Наша задача целевую функцию минимизировать.

Вы поняли до этого, что я сказала?

Да.

Сейчас мы с вами давайте общие сведения я вам дам, что такое целевая функция, какие задачи есть.

Сегодня более такая, как вам сказать, теоретическая лекция.

Значит, что такое линейная программирование?

По названию мы можем сказать, в задачах линейного программирования математический аппарат носит характер линейной функции.

То есть вы используете фактически линейные функции.

Поэтому теперь, это оказывается часть вообще математического программирования, так можно сказать.

которые заключают в себе методы исследования нахождения максимума и минимума основной целевой линейной функции, в которой на неизвестное наложено какие-то у вас ограничения.

То есть ваша целевая функция зависит от характера вашей задачи.

Если, например, ставится задача, как, например, продать свой товар, естественно, вы должны максимизировать свою выручку.

Если вы потребитель, то есть вы покупатель, тогда вы должны свою целевую функцию минимизировать.

Теперь программирование.

Ну, здесь мы говорим линейное программирование, вообще это планирование.

Так, как оно, это как...

Этот предмет, как начал развиваться, это один из методов математического программирования, он так и остался названием.

А на самом деле, если вы его рассуждать будете, оно вообще носит характер планирования.

Так, теперь, ребята, секундочку, можно я... Теперь, что такое оптимальный план, ребята?

Оптимальный план – это, ну, вообще, как вы думаете, что такое вообще в жизни оптимальный план?

Я вот сейчас математическое определение вам дам.

Вообще, что такое оптимальный план?

Как вы думаете?

Когда расходы не превышают доходы, если смотреть в этом плане.

Ну, то есть это что-то среднее между хорошим и плохим.

Вообще первое определение было правильно, Диана.

С экономической точки зрения это было правильно, когда расходы не превышают доходы.

не то, что не превышает, если они даже превышают, не больше и равно, то это уже смысла нет.

Правильно это, дети?

Да.

То есть, когда ваши доходы будут больше, чем ваши расходы.

Либо говорим расходы меньше, чем меньше расходы, тем больше наши доходы.

Значит, оптимальный план — это набор, оказывается, в математическом языке неотрицательных переменных,

которым, первое, выполняются все ограничения.

Второе, целевая функция принимает оптимальное значение, смотря, как я вам сказала уже, какая поставлена нам задача.

Либо максимальная, либо минимальная.

Понятно?

Теперь.

Ну, самое простое, сейчас я вам просто хочу, как решать этими методами попозже, я на следующей лекции дам, как графическим методом решается, как двойственная задача, ну и так далее.

Ну, чтобы эти методы объяснить, я хочу вам напомнить наш аппарат, чем мы будем использовать, что мы будем делать, каким аппаратом будем использовать.

Значит,

Графический способ решения систем линейных неравенств двумя неизвестными.

Давайте вспомним.

Нам нужно, значит, вспомнить с вами систему линейных уравнений, систему линейных неравенств и больше всего самая такая часть нужна решение этих систем и неравенств и уравнений графическим способом, то есть построение графиков.

Надо будет вспомнить.

Теперь вопрос.

Если мы рассматриваем систему линейных уравнений, как вы думаете, каждое уравнение, какой график представляет собой?

График чем будет?

Если кривую построить, если у вас линейное уравнение, график, чем будет график?

Какое представление вы имеете?

В каком виде будет график линейной функции, ребят?

Обычный.

Как понять обычный?

График линейной функции.

Если вы хотите, вот дана функция y равен kx плюс b. Хотите построить график.

В каком виде он будет?

Прямая будет.

Прямая будет, конечно.

Конечно, ребята.

Теперь, вот, то, что я у вас спрашивала.

Какую фигуру на плоскости задает линейное уравнение?

Будьте добры, повторите, построить график линейной функции.

Так, и какую фигуру на плоскости задает нелинейное неравенство?

Разница есть между графиком линейного неравенства и линейного уравнения, как вы думаете?

Молчите.

Ладно, хорошо.

Теперь, смотрите, оказывается, вы когда рисуете прямую просто уравнение, плоскость у вас разделяется на две части.

И график, эта фигура будет только прямая, если равенство, которое разделило нашу плоскость.

А если у вас задается линейное неравенство, вы смотрите на знак вашего неравенства.

Какую часть плоскости задает этот график?

Нижнюю часть от этой прямой или верхнюю часть плоскости от этой прямой?

Сейчас посмотрим.

И теперь, от чего зависит, какой полуплоскость, нижнюю или верхнюю?

Вот такие вопросы будем рассматривать.

И как следует понимать, что некоторая фигура является решением системы неравенств?

И как следует понимать, что некоторая точка является решением системы неравенств?

Вот, пожалуйста.

Координатная плоскость.

Надо будет вам вспомнить.

Но в основном мы будем на плоскости декартовой системы координат.

Те задачи, которые два и более, мы с вами рисовать не будем.

Три-четыре неизвестных, когда там невозможно представить глазами.

Поэтому, когда у нас две неизвестные, мы будем рисовать и рассматривать, ребята.

Например, давайте построим график уравнения, давайте вспомним.

Вот, пожалуйста, даем х значение и находим у. Ну, если вы помните, ребята, у нас какое уравнение было лучше для построения функции?

линейной функции какие уравнения вообще есть виды уравнений прямой ну как вспомните какие виды уравнения вообще у нас есть как вы думаете

Вот смотрите, мы здесь с вами y выразили, но для построения графика, конечно, вам лучше всего, если вы помните, у нас было уравнение в отрезках.

Вот у меня уравнение, я его на 6 разделю.

У меня получается, ребята, x деленное, если я на 6, вот на c вот это число разделю, x на 3 будет плюс y

У на 2 равно 1.

Вот у меня такое уравнение получилось, ребята.

Теперь, если я буду строить график, самый оптимальный вариант от х.3 вот, от у.2.

Объединяем, вот у меня такая прямая получается.

Самое оптимальное построение графика, чтобы не составлять, здесь смысла нету составлять таблицу, потому что всего два значения стоит знать.

Помните, да, эту формулу?

Да, помню.

Или нет?

У нас, если помните, была такая формула.

Вот, пожалуйста, я вам напомню.

Х на... Х на что?

А, У на Б. Вот это уравнение называлось уравнение прямой в отрезках.

Правильно?

И эта прямая проходит через точку А0 и...

Ой, что?

B. Правильно?

B. И все, и мы быстренько с вами рисовали график этой функции, если вы помните, ребята.

Вот мы с вами повторили.

Теперь.

Так, ну здесь ошибка.

Следующая, оказывается, другая.

Прямая другая.

Теперь.

Вот, например, вот у вас система.

Вы должны решить графически эту систему.

Как решаем?

Первое уравнение 2х плюс у меньше равно 3.

Давайте попробуем графику.

3х минус у больше равно минус 3.

Вот, пожалуйста, что я делаю?

То есть мы находим прямую, вот.

То есть здесь превращаем в равенство.

Переношу y туда, x, тройку сюда.

И вот у меня какой плоскость получается.

То есть фактически, если я y туда перенесу, y меньше.

Вот смотрите, y у меня, вот сейчас я вам верну, подождите.

Фактически у меня, ребята, если я его сейчас решу, у меня что получится?

У будет больше или меньше получится?

Меньше.

Меньше равно... Чего будет?

3х плюс 3, правильно?

Да.

Теперь...

Смотрим дальше.

То есть, если я буду строить график, ребята, вот у меня уравнение.

У, где меньшее значение принимает?

Вот у меня у, ребята, вот.

От у у меня фактически, если я наделю, вот от у 3 будет.

Меньшее значение, вот, вот это пло, вот эта часть.

А верхняя часть у больше, чем 3.

Поэтому до этой тройки вот эта часть полуплоскости и будет решением данного неравенства.

Вот.

Поняли это, как сделать?

Вот построила график.

И вот у проходит через тройку.

Вот в нуле 3.

И значит все значения у, которые меньше, чем вот эта тройка.

Вот они все.

Вот эта часть полуплоскости.

Теперь.

Нижняя часть, значит.

Возьмем следующее уравнение.

Вот, пожалуйста.

Здесь находим так.

Точно так же рисуем.

Давайте для вас, чтобы удобно было, тоже мы с вами решим.

Что у нас получится, ребята?

Ну, перенавидим.

На двойку поделим, скажем так.

На двойку поделим, давайте.

Больше равно.

Где у меня больше равно?

Здесь я не могу найти.

Сейчас надо будет найти.

Больше равно.

Больше равно х пополам.

Сейчас надо будет найти.

Сейчас, секундочку.

Вот, нашла.

Больше равно, что будет?

Х пополам минус 3.

Х пополам, либо пишем так.

Минус 3.

Одна вторая, х, правильно?

Да.

Минус 3.

Теперь, ну давайте, значит...

От x, если вы 0 дадите, x будет минус 3, а y 0 дадите, x будет чему равно?

6.

Вот 6.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Вот примерно.

Оказывается, y больше, чем эти значения.

y больше, чем минус 3.

Вот верхняя часть плоскости.

Поняли, как она находится?

Да, нет, ребята?

Да.

Теперь.

Теперь третье неравенство берем.

Вот, пожалуйста.

На тройку поделите.

Х3 вторых, полторы, у третьих.

Ну, у будет меньше.

Опять нижняя часть.

А потом надо будет эти все графики на одной плоскости показать и рассмотреть систему.

Вот я все вот эти графики объединила.

Смотрите.

Первое где у меня?

Вот у меня.

Так, 3 минус 1.

Второй у меня минус 3,6.

И третий у меня 1,5.

Вот 3 и минус 1.

Надо было вот так нарисовать.

Вот следующий.

Вот этот треугольник и будет у меня решением данной системы.

Понятно, ребята?

Получается, так по сути взять, решать ничего не нужно, просто каждое уравнение, неравенство, точнее, график его делать, да?

Да.

Ну я вам наперед, чтобы в следующий раз, как решать задачи линейного программирования графическим методом, вот мы с вами, чтобы вы умели рисовать графики, потренируйтесь дома неравенство.

Теперь.

Какие простые самые задачи могут быть линейного программирования?

Найти, как я вам сказала, минимальное значение функции 2x плюс y при ограничении этих, вот, пожалуйста.

Либо найти минимальное и максимальное значение данной функции.

Это просто примеры.

Общий вид линейного программирования, задач линейного программирования, я вам дам общую схему.

Откуда они, как составляются.

Это просто самые простые задачи.

Теперь вопрос.

Как будем потом применять нашу математическую модель к решению задачи?

Во-первых, условие задачи переводится на язык формул.

То есть мы условие, терминологию свою, задачу, переносим на аналитический вид, то есть математический язык.

Математический язык – это язык формул.

Потом мы решаем эту задачу, естественно, математическим путем.

А потом мы должны полученные результаты, то есть наша задача еще смочь вот по результатам полученных ответов вернуться к естественному нашей задаче, то есть языку нашей задачи.

То есть вернуться от математики к поставленной задаче.

Это тоже надо уметь.

Что такое математический язык?

То есть мы задачу переводим в язык форму в виде уравнений.

В данном случае линейно программирование.

Мы в виде линейных функций, ограничений, целевых функций поставили, решили.

Какие-то цифры получили.

Из этих цифр мы должны вернуться к нашей задаче, то есть мы должны суметь анализировать.

Это тоже большой шаг.

То есть полученные результаты вновь перевести на естественный наш язык и дать ответ, правильный ответ, анализированный на поставленный нами вопрос.

Ну, здесь уже я вам слайды скину, вы должны будете, вот смотрите, напишите систему неравенств, задающих на плоскости.

Вот, пожалуйста.

Дома поработайте.

Теперь, какие наиболее, ребята, очень модные задачи на данный момент, сейчас в наше время?

Например, вы сами знаете, сейчас стоит очень популярно правильное питание, например, оптимизация рациона питания.

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен потреблять не менее 20 условных единиц белка, не менее 40 условных единиц жира.

Почему я условные единицы говорю, зависит от комплекции человека.

от здоровья человека, там много очень пунктов.

Не менее 88 единиц углеводов.

Например, смотрите, что мы сделаем.

Допустим, что имеете всего два вида продуктов, P1 и P2.

Стоимость одной единицы каждого из них равна 6 единиц.

и 10 единиц.

То есть одна 6, другая 10.

Предположим, что в первой единице P1 содержится, значит, смотрите, в первом из них 4 единицы белка, 4 единицы жира, 4 единицы углеводов.

Точно так же для второго 1 единица белка, 3 жира и 15, значит, углеводов.

И требуется найти оптимальный рацион.

Мы с вами эту задачу будем решать.

Поэтому я вам просто, какие задачи решаются, какие самые популярные на данный момент, я вам показываю.

Теперь транспортная задача.

В чем заключается?

Это тоже задача линейного программирования.

В принципе, в информатике, по-моему, какую-то... Я вам буду давать другой стороны решения этой задачи.

Но вы должны были пройти, да?

У вас был симплекс метод транспортная задачка?

Ну, было, было, но это уже было во втором семестре, и поэтому можно сказать, что не было.

А, это прошлый год, второй семестр, когда мы с вами онлайн учились.

Да, да.

Значит, смотрите, продукцию, производимую на предприятиях, двух предприятиях, Парнас и Самсон, надо развести по фирменным магазинам.

1, 2, 3.

Парнас производит 320 единиц в сутки, Самсон – 380.

Магазин 1 реализует за сутки 200 единиц, 2 – 280, 3 – 220.

Стоимость перевозки одной единицы продукции задана таблицей.

Составьте оптимальный план перевозок, то есть такой, чтобы их стоимость была минимальной.

Те фирмы, которые еще поставляют в магазины свой товар, они же еще дорожные расходы должны учесть, правильно?

И нам нужно такой план составить, оптимальный план, все учесть нужные, не все невозможно учесть, конечно, и чтобы этот план перевозок был, денежный план перевозок в денежной сумме был минимальный.

Вот, все задано.

Теперь.

Либо... Ну, это мы с вами потом посмотрим.

Давайте сейчас я не буду на ней останавливаться.

Решать будем ее.

Либо, смотрите, вот такой кейс у нас.

Оптимальный план для турфирмы.

Постановка задачи, приглашение из другой группы студентов играет роль генерального директора туристической фирмы.

То есть генеральный директор фирмы колледж... Внимательно почитайте дома, ребята.

Я не хочу на них останавливаться.

Решение потом мы с вами посмотрим.

Теперь...

Что я еще хотела вам сегодня сказать?

Это не надо, это не надо.

Теперь, сейчас, подождите.

Значит, вот в конце лекции, что я вам хотела сказать.

Этапы.

Самое главное, значит, этапы формирования проблемы задачи линейного программирования.

Что мы должны знать?

Значит, во-первых, понять ту проблему, которую мы хотим решить.

Составить максимально приближенную версию модели к данному объекту.

Теперь, идентифицировать основные переменные задачи.

Например, почему я говорю составить оптимальную модель задачи?

Например, если даже какой-то препарат хотим, например, исследовать, ребята, берется тот объект, тот звереныш, вот сколько вы видите, который максимально близок к человеческому организму, если вы знаете.

Правильно?

На каких объектах?

То же самое.

То есть, если мы... Никто же не проверяет змей, чтобы вот какой-то препарат хотят на людей использовать.

Например, берут крыс.

Правильно?

Никто не берет змей.

Правильно?

Или я не права?

Никто слона не берет, корову там, не знаю...

На баранах никто это не делает.

Поэтому берутся та модель, которая максимально для потом, чтобы можно было, вот теперь на крысах, на них делают исследования, а потом переносится на человеческий.

То есть, насколько вы далекий объект возьмете от основного объекта, настолько неправильно, конечно, ваш будет результат.

То есть мы должны очень, как при выборе объекта, модели, то есть должны быть очень осторожны.

И очень осторожно при выборе тех характеристик, которые составляют, имеют наш объект.

То есть мы взять, учитывать должны только основные характеристики.

Все характеристики учитывать вы не сможете, потому что тогда мы просто не решим эту задачу.

Это все я вам сегодня сказала.

Вопросы есть, ребята?

На следующий раз я вам это все объясню.

И как раз, что такое аддитивность, пропорциональность, делимость и так далее.

В общем, сегодня у нас была вводная такая часть линейного программирования.

А на следующий раз я с вами уже буду конкретно давать задания.