экономическая математика практика 2

Так, начали.

Значит, давайте начнем с простых задач.

У нас литература Гмурман.

В данный момент я вам даю задачу из Гмурмана.

Так, руководство к решению задач по теории вероятности и математической кондиции.

Ну, давайте.

Можете, в принципе, записать.

Брошены две игральные кости.

Лучше, конечно, записать.

Брошены две игральные кости.

Найти вероятности следующих событий.

Я сейчас совмещу из Гмурмана четвертую и пятую задачи.

Две задачи совмещу.

Гмурман, четвертая и пятая задачи.

Брошены две игральные кости.

Найти вероятности следующих событий.

Значит, первое событие А. Сумма выпавших очков на грани равна 7.

То есть сумма выпавших очков, давайте напишем, xy, так как у меня две кости, xy равно 7.

Вот первое.

Второе.

Сумма выпавших очков равна 8, а разность 4.

То есть я говорю, сумма выпавших очков равна 8, и разность x минус y, ну здесь считайте модуль, то есть положительный, равен 4.

То есть одновременно

Сумма должна быть равна 8, а разность 14.

И интересное третье событие.

Внимательно.

Лучше, конечно, записать.

Сумма выпавших очков равна 8, если известно, что их разность равна 4.

То есть сумма выпавших очков

равно 8, если известно, что их разность равно 4.

Сумма, я здесь слова не слышу.

Сумма равно 8, если известно, что разность равно 4.

Это у меня известно.

Вопрос.

Отличия есть от этих двух событий?

Как вы думаете?

Как вы думаете?

Давайте сделаем так тогда.

Вопрос сейчас вам задам.

Во-первых, когда я бросаю две игральные кости, ребята, сколько всего событий может быть?

Всего исходов сколько?

Два.

Теперь давайте вернусь еще чуть пораньше.

Бросаю одну кость.

Сколько случаев может быть?

Шесть.

Одна кость.

Шесть.

А когда две кости играю, сколько может быть?

Двенадцать.

Тридцать шесть.

Тридцать шесть, Азота, правильно.

Почему?

Какие случаи могут быть?

Давайте распишем, не будем лениться.

Пишите со мной параллельно, ребят.

Потому что иначе не поймете.

Один-один.

Один-два.

Один-три.

Один-четыре.

Один-пять.

Один-шесть.

Носка видна?

Не видна?

Носка видна?

Видна, видна.

Давайте продолжаем.

Теперь.

Шесть случаев.

То есть, один-один-один-два.

Один-три и так далее.

Один-шесть.

Теперь следующий.

Два-один.

Два-два.

Два-три.

Два-четыре.

Два-пять.

Два-шесть.

Я все распишу, не буду лениться.

3-1, тоже пишите.

3-2, 3-3, 3-4, 3-5, 3-6.

4-1, 4-2, 4-3, 4-4, 4-5, 4-6.

6-1, 6-2, извиняюсь, я пятерку забыла.

5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-5 и 5-6.

6-1, 6-2, 6-3, 6-4, 6-5, 6-6.

Вот ваши все 36 случаев.

Оказывается, когда вы играете одну кость 6 случаев, когда две кости 36, а когда три кости 6 в третьей степени, 216 случаев у вас, ребята.

Не 12, не 24, поняли, да, меня?

Теперь...

Давайте поочередно решать.

Первое.

Вероятность события А. Как вы думаете, сколько исходов в общем у меня?

36, правильно?

То есть у меня общее количество исходов 36, ребята.

Теперь вопрос.

В чем заключается событие А?

В том, что сумма выпавших очков равна скольке?

Семи, ребята.

Сколько случаев мне помогает выпасть семь?

Ну-ка.

Ну-ка, ребята.

Сколько случаев помогает мне, чтобы выпасть семь?

Шесть.

Один, шесть.

Может быть?

Два, пять.

Два, пять.

Еще.

Три, четыре.

Четыре, три.

Четыре, три.

Четыре, три.

5-2, 5-1.

5-2 и 6-1.

Сколько случаев?

6 случаев.

То есть 6 в 36-й вероятность будет равна 1-6.

Понятно, да?

Теперь решаем вторую задачу.

ПЛБ.

Сумма 8 и разность, я говорю и, разность 4.

Сколько случаев?

Ну-ка.

Сумма 8.

Давайте посмотрим.

Здесь есть сумма 8?

Нет.

Нет.

Здесь?

2, 6.

2, 6.

Еще.

Здесь?

3, 5.

Но это не подходит.

Я сумму считаю.

Хорошо.

4, 4.

5, 3.

И раз, и вот.

Вот первое условие у меня 2, 3, 4, 5.

Согласны?

Вот теперь у меня есть второе условие.

Второе условие гласит, что мне нужно, чтобы и раз было равно 4.

Есть такие.

Есть только 2 и 6.

6 и 2.

Остальные случаи не подходят мне.

Поняли, да?

Однозначно среди 36 случаев только два случая.

В двух случаях выполняются одновременно эти два условия.

И сумма 8, и разность.

Чему равно?

4.

То есть у меня будет из 36 только два случая.

И тот будет 1,18.

Все, второй тоже решили.

Вот теперь меня интересует третья задача.

Ну-ка, давайте разбираться.

Что я сказала?

Что бросаю две игральные кости.

Две.

Что говорится?

Сумма 8 должно выпасть.

Если известно, то есть если я знаю, что разность будет равна 4.

Как вы думаете?

Ну, давайте по-разному.

Вроде то же самое.

Нет.

Я думаю, я сейчас сказала.

От разности?

Не поняла, еще раз.

Мы сначала смотрим на разность, точнее мы должны определить.

Правильно.

То есть я говорю, что из 36 этих ребят, я знаю, что разность этих очков, которые выпали, равна 4.

Я 36 случаев не смотрю.

Я вытаскиваю все случаи,

которых равность равно 4.

Сколько таких разных 4?

1 и 5, правильно?

Здесь 2 и 6, здесь 3 и 3, нету 4, нету 5, 1 и 6, 2.

То есть я рассматриваю 4 случая, а не 36.

То есть полностью все исходные у меня всего 4.

Среди этих четырех, что мне это известно, что раз из четырех, среди них мне надо найти, чтобы сумма была равна восьми.

А таких у меня из четырех сколько?

Два.

Раз, два.

То есть здесь вероятность будет, как вы видите, одна вторая.

Это совершенно разные задачи.

То есть одно слово всю задачу меняет.

Поняли?

Задача ясна?

Да, конечно.

Так, запишите.

Теперь мы с вами идем дальше.

Давайте посмотрим, что мы с вами еще одну задачку посмотрим.

Вот, давайте.

Пишем.

Шестнадцатая задача из Гмурмана.

Шестнадцатая задача.

Изгон.

Ну, вы номер запишите и слушайте меня внимательно.

Вы можете потом изгон, она в модуле загружена.

Есть, вы просто просмотрите.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры.

И помня лишь, что эти цифры разные,

То есть 111 не может быть.

221 не может быть.

Поняли, да?

То есть цифры разные.

И помни, что эти цифры различны, набрав их до удачи.

Найти вероятность того, что абонент набрал нужный ему номер.

Найти вероятность того...

что абонент набрал нужный ему номер.

Давайте теперь подумаем, как мы эту задачу решим.

Во-первых, мы должны с вами определить события, которые нам нужны, вероятность того, чего мы должны найти.

Сначала надо определиться с формулировкой

того события, вероятность которого мы должны с вами вычислить.

То есть, допустим, пусть будет событие А, обозначим, как мы с вами привыкли уже, пусть будет событие А, 16-я задачка.

Значит, абонент набрал нужный номер.

Абонент набрал нужный номер.

Теперь вопрос.

Вот смотрите, какой-то номер идет.

А, Н, В, С. То есть эти номера должны быть разные, не повторяющиеся.

Вообще, полное число исходов чему равно?

Сколько у нас в руках число исходов, ребята?

Как вы думаете?

Число исходов 10, да?

10.

Почему 10?

Цифра 10 от 0 до 9.

И 0 еще.

Выбор из 10 цифр, вы правы.

Но у нас число исходов не 10.

Вот эти все цифры, и А, и В, и С, могут принимать значение от 0 до 10.

До 9, то есть 10 значений, каждый из них.

Это вы поняли, понятно, да?

Теперь вопрос.

То же самое, что в прошлый раз я вам сказала, что нам дано, например, 10 цифр.

Сколько трехзначных чисел можно составить из этих чисел?

То же самое.

Теперь вопрос.

Какой элемент комбинаторики мы здесь используем, как вы думаете?

У нас было основной 5 элементов комбинатуры.

Какой элемент?

Умножение.

9 умножаем на 8, умножаем на 7.

Можно умножение, правда?

Да, кто сказал?

Гопаров, ты, да?

Можно умножение.

Еще какое умножение?

Размещение.

Размещение, правильно.

Либо умножение, либо размещение.

Давайте оба попробуем.

Почему?

Количество всех исходов может быть размещением, потому что, во-первых, цифры не повторяются.

Во-вторых, у вас вот эти элементы отличаются друг от друга.

Место расположения из 10 вы 3 видите.

Поэтому мы будем А10 3 выбрать.

Либо умножение на пару вправо.

То есть я беру из 10 1 забрала.

Все, он больше во второй части не будет участвовать, потому что та цифра, которая сидит вместо первой, вместо А, она не будет и здесь, и здесь.

Нет.

Уже здесь на одно количество уменьшилось.

Умножено.

Я вторую цифру выбираю среди 9, ребята.

И та цифра, которая используется во втором случае, тоже не будет использоваться вместо третьей.

Поэтому третью выбираю я уже из оставшихся 8.

Все.

Либо вот это раскрываете.

То же самое.

10 бактериалов.

10 минус 3 бактериалов.

Если вы его разводите, у вас получится 10.

10 делим на 7.

8, 9, 10.

Получится то же самое.

И сколько номеров мне нужно из этих всего 720 всевозможных номеров?

Нужного номера сколько у меня?

Один номер.

Ни два, ни три.

Парень ищет номер одной девушки, не десяти.

Поняли?

Вот то же самое.

То есть количество благоприятствующих нужному номеру, то есть вероятность события отдаваться, уважаемые ребятки, 1 деленное 720.

Вот такая комбинация.

Чуть-чуть еще.

А, давайте еще одну задачку возьмем.

Так.

Поехали опять.

Гмурм, давайте уже конкретно, чтобы вам было... Восемнадцатая задача.

Чтобы вам было легче, если вы не записали, вы не пишете задачи, чтобы вам легче было...

посмотреть, поэтому я уже лучше конкретно с клички возьму.

В цехе, 18-я задача, в цехе работают 6 мужчин и 4 женщины.

Всего сколько?

10 человек, правильно?

Значит, 10 человек, среди них 6 мужчин, 4 женщины.

По табельным номерам на удачу отобраны 7 человек.

То есть церковь состоит из 10 человек.

По табелю, табель это список, выбираем 7 человек по списку.

Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся 3 женщины.

То есть найти вероятность того, что среди отобранных 7 человек

Три будут женщины.

То есть я среди десяти выбираю семь человек.

Я не знаю, я не говорю мужчин, женщин, я не говорю первый, второй, я не говорю.

Я просто беру список и читаю подряд семь человек.

И мне нужно, чтобы среди этих семьи было три женщины и четыре мульта, да, вместе с ними четыре мужчины.

Вот такая задача.

Эти задачи, вот эту задачу, которую мы с вами сейчас в 18-й рассмотрим, без элементов комбинаторики решить невозможно.

Поэтому, хоть у вас элементы комбинаторики сидят в самостоятельной работе, я вам в прошлый раз ее дала подробно, мы с вами разбирались.

Теперь смотрим, как вы думаете.

Давайте разбираться.

Ну, у кого какие мысли?

Во-первых, событие А. Из выбранных семи три женщины.

Из выбранных семи три женщины.

Как вы думаете?

Давайте разбираться.

П. А.

Общее количество исходов.

Сколько у меня, как вы думаете?

И второй вопрос.

По какому элементу комбинаторики мы будем работать здесь?

Какой элемент комбинаторики нам нужен, как вы думаете?

Ребята, какой элемент комбинаторики нам нужен?

Почему молчим?

Или меня не слышно?

Слышно.

Но на парах... Там будет 10 повторял.

Давайте сделаем... Для того, чтобы вы знали... Они могут повторяться?

Нет, нет, ну как может быть?

Две дельфузы, то есть я два раза выйти не могу.

Ставили, да, одна фамилия моя.

Тогда умножение тоже.

Нет.

Смотрите, какие элементы комбинаторики были?

Было умножение, сложение, потом что было?

Перестановки, размещение, сочетание.

В чем разница?

Давайте разберемся.

Умножение и сложение убираем, вот эти последние.

Что такое перестановки?

Кто мне скажет?

Ну-ка.

Когда вот место меняем, не имеет значения, да?

Вот, перестановка.

То есть, перестановки, ребята, это вот, если бы у вас вопрос был бы, как количество перестановок этих, по таблице этих всех десяти человек, то есть, десять из десяти вы всех местами меняли бы, тогда было бы перестановка.

Размещение...

А размещение у вас отличаются элементы друг от друга либо составом, либо этим, порядком.

То есть там порядок существует, первый, второй.

Здесь порядка нет, здесь нужно качество.

То есть мне здесь нужно женщины и мужчины, то есть что там внутри.

В таком случае мы пользуемся сочетанием.

То есть здесь один, первый, второй, третий.

Я расчет не делаю.

Здесь я делаю сочетание.

То есть смотрите.

Я специально вот так схему нарисовала, ребят, чтобы поняли.

Общее количество исходов из десяти.

Я семь выбирала.

То есть комбинация из десяти семь, ребята.

Вот теперь дальше я мельчу.

сколько исходов мне помогали, то есть благоприятствуют, чтобы из этих семерых среди них было три женщины.

Я три женщин забираю отсюда, и четыре мужчин забираю вот из мужчин.

То есть вытаскиваю среди четырех женщин три женщины, разницы нет у кого, лишь бы женщины были, и, то есть умножаю,

Среди шести четыре мужчины.

Вопрос ясен?

Поняли или не поняли?

Понятно.

Понятно или нет?

Да, да, понятно.

Ну, давайте один пример.

Я вам вот этот пример пока завершу.

Или вы сами решите.

Считать умеете же?

Помню, вспоминаем.

Комбинатно соединяем поле.

Это n факториал, n факториал, n минус n факториал.

Давайте распишем это.

4 факториал, 3 факториал и 4 минус 3 факториал.

Ну, тоже, наверное, второе.

6 факториал, 4 факториал, 6 минус 4 факториал.

Все поняли, да?

И делю на знаменатель.

10 факториал, 7 факториал,

Здесь 7 минус 7 факториал.

Правильно.

Считаем.

Ребята, 4 сокращаю.

У меня получается 4.

Здесь 1 факториал, а здесь 1.

4 и 6 сокращаю.

5, 6.

Значит, 4 умножено 5, 6, ребята.

Здесь 2 факториала.

4 минус 6.

Здесь 10 и 7 убираю, у меня 8, 9, 10.

8, 9, 10.

А, там деление, ребята, почему молчим?

У меня 8, 9, 10 автоматически уйдет в знаменатель.

Потому что здесь что стоит?

Деление.

И в числителе будет 3 факториал.

Три факториала – это один, два, три.

Сокращаю, три остается.

Трижды девять убираю три.

Восемь и четыре убираю два, ребята.

Пять и десять убираю у меня два.

Шесть убираю.

У меня сколько остается ответ?

Одна, вторая.

Это равно 0,5.

Вот мы с вами решили задачку.

Теперь я хочу вас обратить, чтобы вы обратили внимание еще на одну задачу.

Чуть-чуть другая.

Так.

На борту самолета 12 мест рядом с запасным выходом.

То есть на борту самолета 12 мест рядом с запасным выходом и 18 мест

За перегородками, разделяющимися салонами.

Разделяющими салоны.

То есть места, которые разделяются салонами.

Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста.

То есть на борту самолета 12 мест.

Еще раз читаю вам.

рядом с запасными выходами, и 18 метров за перегородками, разделяющими салон.

Остальные места являются неудобными для пассажиров высокого роста.

Пассажир В, высокого роста, найти вероятность того, найти вероятность того,

Что на регистрации при случайном выборе места пассажиру B, у которого высокий рост, достанется удобное место, если во всем самолете 300 мест.

Сколько?

300, 300.

Ну?

Еще раз повторяю.

На борту самолета 300 мест.

Давайте вспомним.

Всего 300 мест.

Оказывается, из этих плюс 300, 300 всего мест, из этих 312 около запасного выхода и 18 разделяющихся в салон.

А остальные, остальные, кроме вот этих,

Неудобный для пассажира высокого роста.

То есть он находится между этими, как его, между рядами, то есть между двумя этими сидениями.

У него ноги длинные, но он не помещается.

Неудобный для высокого роста человека.

Вопрос.

Какова вероятность того, при регистрации пассажира вот этого высокого роста, ему попадется все-таки удобное место?

Надо сложить эти два места, потом надо поделить на общее количество мест.

Молодец.

Одна десятая получается.

Пассажир В получил удобное место.

То есть у вас ТВ будет равен 12 плюс 18, деленное на 300.

Одна десятая.

Поняли?

Да.

Теперь еще одна задача.

Очень интересная.

Слушайте, сейчас я ее открою.

Секундочку.

Секундочку.

Давайте на геометрическую вероятность попробуем.

Пишем.

Или мы запоминаем.

Так.

Сейчас, секундочку, секундочку, секундочку, секундочку.

Секундочку, геометрическая вероятность, вот.

Так, круг радиуса R, круг радиуса R, R большое, брошено, круг радиуса R, на удачу брошена точка.

Найти точку.

Вероятность того, что первая точка попадет, найти вероятность того, что точка попадет, первая А самец, вовнутрь вписанного квадрата и В вовнутрь вписанного квадрата.

равностороннего треугольника.

Вот это вероятность, геометрическая вероятность.

То есть здесь фактически две задачи.

Вот у меня круг.

Разница у него r. Оказывается, в этот круг вписан квадрат.

Этот же круг

В нем сидит равносторонний треугольник.

Я беру, бросаю произвольно точку.

Вопрос.

Какова вероятность того, в первом случае, что вот та точка, которую я бросила, попадет во внутрь этого квадрата?

Не сюда, а не сюда, а вот именно в квадрат попадет.

Площадь квадрата разделить на площадь круга?

Конечно, конечно.

ПА у вас равен площадь круга.

С-круг и С-квадрат, ребята.

Чему равен С-круг?

ПР-квадрат.

Конечно, у меня радиус есть, ребята.

ПР-квадрат.

А площадь квадрата?

А-квадрат, можно сказать.

А-квадрат.

А почему у меня радиус равен С-квадрат?

Если у меня радиус есть, это у меня r, это у меня r, это у меня a. Чему сторона квадрата равна?

a под корнем 2?

Конечно.

2a квадрат по теореме Пифагора 4r квадрат.

То есть a равен r корень из чего?

2 либо 2r квадрат зеленый и r квадрат.

То есть то, что брошенная точка попадется в квадрат, она справится.

2 зеленая на 5.

Поняли задачку?

Теперь возвращаемся ко второму случаю.

Вот, пожалуйста.

Здесь равносторонний треугольник.

Я бросаю произвольно точку.

Мне нужно, чтобы эта точка попала в этот треугольник.

П, Б.

Опять площадь круга, а наверху что будет?

Площадь кого будет?

Чего?

Площадь треугольника, правильно?

Ну, знаменательно, мы уже с вами уточнили, а площадь треугольника, ну-ка, при условии, что радиус есть.

Еще раз.

А квадрат 3 из под корня зеленый на 4.

Учитывая, что А квадрат... А квадрат корень 3 на 4.

Правильно.

При условии, что А чугунный или Р чугунный.

Давайте вспомним это.

Радиус описанной окружности в равностороннем треугольнике.

Чему равен?

А деленное на корень из 3.

Разве не так было?

Больше нет.

А равен R корень из 3.

То есть у вас R квадрат умноженное на 3 умноженное на что будет?

На корень из 3 на 4.

Вот так.

Радиусы у вас, параметры у вас уйдут, которые вам мешают.

У вас получится 3 корень из 3, зеленый, 4, 5.

Вот у вас вероятность второго события.

Вопросы есть?

Нет.

Поняли, да, геометрическую вероятность?

Да, да.

Так, теперь откроете, ребята, Гмурман дома.

Задачи много будут.

Вы перерешайте лучше, не ленитесь.

В следующий раз мы с вами их разберем.

Начиная с пятого мы с вами решили.

Шестой задачи.

Полностью классическую вероятность просмотрите, ребята.

Сейчас я вам открою.

Иду, иду.

Геометрическая задача невероятная.

Сейчас, сейчас, сейчас.

Значит, до 30-й задачи сделайте.

Я знаю, что много.

Ну, у вас неделя времени.

Всего 24 задачи.

Каждый день по 6 задач.

Вопросы будут, мне потом... Не, ну, там, в принципе, есть повторяющиеся.

В общей сложности вы где-то штук 10 задач решите.

Попробуйте, порешайте, если вопросы будут.

И несколько интересных задач я в прошлый раз говорила, что-то забыла.

В этот раз я вот скину вам группу.

Попробуйте, порешайте, потому что эти же задачи, которые я вам буду только числа менять, в итоговом промежуточном контроле задавать.

И вот эта часть математики, то, что вам нужно для специальности, поэтому...

Следующий год у нас будет уже, следующий семестр или следующий год, эконометрика и так далее.

Все чисто экономические задачи, анализ экономических задач, экономических проблем.

Поэтому самая нужная часть, то есть это развивает размышления, экономическое мышление вашей будущей профессии.

Поэтому лучше порешайте.

Договорились?

Если какие-то вопросы будут, не поймете, в следующей лекции мы с вами...

Разберемся.

Значит, мы с вами договорились в субботу, ребята.

В субботу мы с вами... Каждую субботу будем встречаться.

Понятно?

Да, понятно.

Спасибо.

Постараюсь в понедельник, максимум вторник, самое позднее.

Позднее я вам размещу RGR все в Moodle.

Не успела я сейчас отставить, честно.

Поэтому я постараюсь в понедельник вам загрузить.

Вопросы ко мне по лекции?

Нет.

Нету.

нету.

У вас в практике преподаватели другие, но я решила сама все-таки, чтобы вам было более... сама, чтобы и практика, и практическая, и электрическая.

Попозже, с октября, ваши преподаватели тоже будут учиться.

Договорились?

Пока что со мной поработайте, а не другими организационными вопросами.

Ну ладно, до свидания, ребята.

До свидания.

Спасибо.