КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

Всем привет!

С вами Ольга Александровна и ваш любимый сайт TutorOnline.

Я вас просила, чтобы вы писали мне в комментариях, что вам непонятно и какую тему подготовить к следующему разу.

И очень многие говорят о геометрии, но, к сожалению, конкретных тем не указывают.

Поэтому я прошу вас, пишите в комментариях, чтобы мы немного могли ориентироваться.

Ну а так я понимаю, что проблема в целом.

Поэтому мы сейчас разберем тактику, как решать вот те самые геометрические задачи.

С вас лайк, а мы поехали дальше.

И, честно говоря, я понимаю вашу проблему.

Почему с геометрией столько сложностей?

Четыре года вас учат считать столбик, потом еще два года вы занимаетесь, опять же, вычислениями, и потом в седьмом классе на вас сваливается какая-то геометрия.

Это абсолютно что-то новое.

И мало времени, буквально три класса, чтобы уже подготовиться к экзаменам.

Как быть?

Надо просто понимать шаги, которые приведут к решению задачи.

И у меня для вас хорошая новость.

Всем, кому хочется потянуть геометрию, по промокоду параллелограмм вы можете записаться на бесплатный урок.

И читайте подробности в описании.

А мы поехали дальше.

Рассмотрим пару задач.

Вот у нас тот самый параллелограмм.

Известно, что биссектриса угла А пересекает сторону ВС в какой-то точке К.

Что от нас хотят?

Найти острый угол параллелограмма, если та самая бисектриса образует с ВС угол в 15 градусов.

Как действовать?

Для начала обязательно все эти данные перенесите на чертеж, чтобы больше вот этот текст не перечитывать.

То есть искать мы будем острый угол, наверное, это угол А, если бисектриса образует с БЦ.

Где же этот угол в 15 градусов?

Найдем его.

Бисектриса образует с БЦ.

Значит, это либо вот этот угол, либо вот этот.

Но 15 градусов это очень мало, это какой-то маленький распах.

Значит, это тот самый угол в 15 градусов.

В геометрии очень тяжело просто, глядя на чертеж, что-то начать делать.

Оттолкнитесь от вопроса.

Вам нужен угол А. Так, откуда я мог бы его посчитать?

Ну вот, если бы мы знали хотя бы один угол, за счет того, что это была бисектриса, мы бы взяли один этот кусочек и умножили на два, и получили бы весь угол А. Но откуда взять вот эти кусочки?

Не просто так же эта бисектриса была проведена.

Вспоминаем, что за параллелограмм?

Это какая-то фигура, у которой две стороны параллельны.

А вот эта штука напоминает секущую.

У меня вот такой совет для тех, кто, скажем так, не фанат геометрии и не особо владеет всеми правилами.

Вы где-то смотрите...

по картинке и догадывайтесь.

Это тоже вас может спасти.

Особенно, например, если вы решаете ОГЭ, и в части первой вам не надо писать конкретное решение, полное.

Вот здесь очень даже похоже, что эти вот углы будут одинаковыми.

Как это обосновать?

Вот эти вот углы накрест лежащие при параллельных прямых.

Значит, здесь тоже будет 15 градусов.

Ну, а если это была бисектриса, кстати, вот тут момент, надо владеть всеми этими понятиями, чтобы понимать, о чем вообще идет речь.

15 и здесь будет 15 градусов.

Раз мы искали весь угол А, то получается, что он равен 30 градусам.

Все, готово.

И еще одна похожая задача.

Вот следите за ходом моих рассуждений.

Что от меня хотят?

Периметр ABCD.

Что это такое?

Это параллелограмм.

А что такое параллелограмм?

Это какая-то фигура особенная, у которой противолежащие стороны равны.

Периметр – это сумма длин всех сторон.

Это помнят все.

Значит, надо это плюс это плюс это плюс это.

И, кстати, раз у него противолежащие равны, значит, просто это плюс вот это.

Достаточно будет.

И умножить на 2.

Посмотрим.

Периметр ABCD равно AB плюс BC и умножить все это на 2.

И начинаем задаваться вопросами.

Что я знаю и чего мне не хватает, чтобы посчитать этот периметр?

AB.

Так, перенесем все данные на чертеж.

BK равно 6, CK равно 10.

Получается, что, в принципе, BC мы знаем.

Вместе это будет 16.

Так в чем же загвоздка?

Почему мы не можем сразу посчитать периметр?

Вот она.

Это сторона AB.

Так, начинаем думать, как же, откуда нам найти эту сторону AB.

Так, из чертежа опять же видим какую-то линию.

Она не просто так.

Что это?

Это похоже на секущую.

Кстати, не просто так дано, что это бисектриса.

Из-за того, что это параллелограмм, стороны параллельны, секущие.

Вот эти углы, посмотрите, они похожи по величине.

Они будут накрест лежащими.

Значит, они равны.

Угол 1 равен углу 2.

А изначально, раз из точки А выходила бисектриса угла А, значит, угол 1 и угол 3 тоже будут равны.

Получается, что в треугольнике АВК третий и второй углы одинаковые.

О чем это говорит?

Значит, этот треугольник какой-то особенный.

Не у каждого треугольника два угла равны.

Он равнобедренный.

Причем бедра у него, они вот здесь.

А это основание.

Бедра будут равны.

Значит, АВ равно 6.

Ну и все.

Если AB равно 6, а BC 16, мы сейчас сразу посчитаем, чему будет равен периметр.

Вот мы посчитали периметр.

16 плюс 6 – это 22.

Умножаем на 2, получаем 44.

Еще раз, схематично.

Мы оттолкнулись от вопроса задачи.

Мы записали, что такое периметр, и посмотрели, что мы знаем для него.

И та проблема потом на чертеже уже нашлась, исходя из каких-то данных.

И еще одна интересная задача.

Давайте посмотрим.

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны, соответственно, 60 и 135 градусов, и DC равно 24.

Начинаем с чертежа.

Это будет, посмотрите, написано трапеция.

Как выглядит трапеция?

Вообще, что такое трапеция?

Это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стандартная трапеция это какая-то вот такого плана.

Вот мы привыкли всех таким трапециям.

Две стороны параллельны, две другие нет.

Если мы начнем расставлять буквы А, Б, Ц, Д. Посмотрите, А, Б должна быть боковой стороной.

Хорошо, поставим вот так.

А, Б, Ц, Д.

Теперь про углы.

ABC равен 60.

Уже что-то не подходит.

60 градусов здесь не похоже.

И угол BCD 135.

Ну вот здесь, кстати, на 135 градусов похоже.

Если мы начнем переставлять буквы, картина не поменяется.

Вот здесь надо сделать такой ход.

Чтобы угол был равен 60 градусов, будет выгодно провести вот эту сторону AB вот так.

Пусть вас не смущает, вот то, что я сейчас обвожу, это тоже трапеция, потому что две стороны параллельны, а две другие нет.

Просто она непривычна для нас.

Это вот был первый сложный момент.

Что дальше?

Отмечаем все, что мы знаем и посмотрим, как же нам найти...

о чем нас просят а от нас хотят вот эту сторону а.б.

обозначу x сейчас я быстренько перерисую чертеж чтобы это было красивее вот пожалуйста как нам найти этот x начинаем обдумывать отталкивайтесь от того что вы знаете ну вот здесь есть угол а что обычно делают в трапециях ну вот самый популярный это провести высоты почему бы не сделать это здесь вот

Можно провести высоту CH1.

Ну и как же поступить с этой стороны?

Если мы начнем проводить высоту, она или выйдет за пределы трапеции, или мы можем сделать хитрый ход и высоту провести из нижней точки А к основанию ОБЦ.

Так тоже можно.

То есть мы выполнили просто популярный ход.

В трапециях очень часто проводят высоты.

Почему?

Потому что хорошие фигуры это треугольники или прямоугольники, а самые лучшие фигуры это прямоугольные треугольники.

Вот у нас как раз и получилось.

Прямоугольный треугольник 1, прямоугольный треугольник 2.

Начинаем работать с углами.

Так, этот угол 60 см.

Это Х. Если мы знаем только угол в треугольнике, то сторону найти нам не удастся.

Но если бы мы знали еще что-нибудь, ну, к примеру, вот эту сторону H, то уже бы задача решалась.

Мы бы встали в этот угол и посмотрели.

Мы знали бы противолежащий катет, а как раз найти бы нам надо было гипотенузу.

Но откуда взять это H?

Переходим на другую сторону задачи.

Здесь есть 24 и есть угол.

Если мы найдем эту высоту, это одно и то же.

Найдем здесь и применим здесь.

Здесь опять же прямоугольный треугольник.

Что мы знаем?

Сторону знаем.

А что насчет угла?

Ведь тут весь угол был 135 градусов.

А нам хочется залезть в прямоугольный треугольник.

Как быть?

Есть два способа.

Либо воспользоваться тем, что односторонние углы должны давать 180 градусов и найти угол D. Или же, вот это, кстати, момент, о котором забывают.

Если вы ввели высоту, она перпендикулярна и верхнему, и нижнему основанию.

То есть вот этот угол, он тоже будет 90.

И он как бы от 135 градусов, вот эти 90 градусов, отсекает.

Поэтому угол, который внутри, H1CD, будет равен 45 градусам.

135 минус 90.

Ну и аналогично, кстати, если бы вы искали как односторонние углы, 180 минус 135, угол D тоже получает 45 градусов.

О, что получилось?

Перед нами прямоугольный треугольник.

Значит, катеты будут равны.

Ну а как же найти эту высоту?

Можно, конечно, сейчас пойти обходными путями.

Сказать, что эти стороны равны, составить теорему Пифагора и как-то там выкрутить эту h. Но можно поступить умно.

Применить угол.

Вспоминаем синусы-косинусы.

Если вы знаете угол, встаньте в него и посмотрите, что я знаю, а что хочу узнать.

Я знаю гипотенузу, я хочу узнать противолежащий катет.

Что это?

В голове должно сработать, что это синус.

И расписать, что синус вот этого угла в 45 градусов, это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус 45, табличное значение, корень из 2 на 2.

Отставляем.

И отсюда выражаем h. h равно.

Это пропорция крестиком.

Можно сразу выразить h. Вот так крестиком умножаем и на эту двойку, которая напротив нужной буквы, делим.

24 корня из 2 делить на 2.

Или h равно 12 корней из 2, потому что 24 и 2 можно сократить.

h равно 12 корней из 2.

Значит и здесь 12 корней из 2.

Так, что делать дальше?

Опять же, прямоугольный треугольник.

Я знаю катет, я знаю угол, хочу найти гипотенузу.

Становимся в этот угол, который мы знаем, и осматриваемся.

Я знаю это, я хочу узнать вот это.

Противолежащий катет гипотенузы.

Получается опять синус.

Синус 60 градусов вот этого угла.

Это будет отношение H...

Х, который мы хотим узнать.

Катет в гипотенузе.

Подставляем.

Синус 60 градусов.

Это, опять же, табличное значение.

Корень из 3 на 2 равно.

H мы посчитали.

Это 12 корней из 2 и делить на Х. Опять же, можно пропорции сделать, но можно сразу вот этот Х отсюда достать.

Как мы его достаем?

Вот эти крестом умножаются, а то, что напротив Х, вот на него мы делим.

12 корней из 2 и

Мы умножаем на 2 и делим на корень из 3. x равно.

Конечно, в таком виде нас ответ не устроит.

Что можно сделать?

Это умножается.

24.

Корень из 2 делить на корень из 3.

Что плохо?

Вот это иррациональность.

Избавимся.

Домножим на корень из 3.

Вот здесь и вот здесь.

x равен 24.

Эти корни умножаются, дают корень из 6.

И разделить корень из трех на корень из трех.

Это просто тройка.

Два одинаковых корня дают само число.

Здесь же можно сократить.

И наш ответ х равен 8 корней из 6.

Все, вот мы и решили задачу.

Вот может показаться, что каждая задача в геометрии какая-то индивидуальная.

Для каждой нужен свой подход.

Нет.

Есть конкретные схемы.

Посмотри, что тебе надо найти в задаче.

Подумай, как это сделать.

Сориентируйся, чего тебе для этого не хватает.

А потом опираешься на какие-то основные моменты геометрии.

С геометрией шутки плохи.

Не ждите у моря погоды.

Берите быка за рога прямо сейчас.

Записывайтесь на наши уроки.

И напоминаю, всем желающим есть возможность получить бесплатный урок на нашем сайте по промокоду PARALLELOGRAM.

Записывайтесь и начинайте готовиться прямо сейчас.

Ставьте лайки.

Дизлайки нам не ставьте.

А я пошла домой.

Пока.