Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]

В одном предложении из древней рукописи о математике скрывался ключ к пониманию Вселенной.

Начало Евклида по количеству переизданий уступает только Библии.

Две тысячи лет этот труд служил главным текстом по математике.

Но была одна единственная строчка, в которую, как подозревали ученые, закралась ошибка.

В конечном итоге некоторые из них поняли, что на самом деле Евклид был прав.

А еще казалось, что если эту строчку чуть-чуть изменить, то как будто из ничего возникнут другие вселенные.

Шли годы, и однажды мы узнали, что без этих чуждых вселенных мы не сможем понять свою.

Примерно в 300 году до нашей эры Евклид задался глобальной целью – собрать в одной книге все математическое знание, которое человечество накопило к тому времени.

Та еще задачка.

Но Дэйв Клида с математикой была небольшая проблема.

Доказательства приводились, но мыслители часто ходили кругами.

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?

Потому что если взять две параллельные, но что за параллельные?

Ну, можно начертить квадрат.

Ладно, а откуда взялся этот квадрат?

И получается замкнутый круг базовых причин, по которым то или иное верно.

Как в словаре.

Слова определяются с помощью других слов.

Но как найти объективную истину?

Евклид воспользовался своеобразным греческим ноу-хау.

Для начала возьмем несколько утверждений и согласимся, что они верны.

Это постулаты.

Исходя из них, можно одну за одной доказывать теоремы и логически выстраивать математику.

Так что если постулаты верны, то все, что из них следует, наверняка соответствует истине.

Евклид довел до совершенства стандарты математических доказательств, на которые до сих пор полагается математика.

Тем же методом он пользовался во всех 13 томах, которые назвал «Начало», и доказал 465 теорем, охватывающих почти всю известную тогда математику, включая геометрию и теорию чисел.

И все доказательства держались на нескольких определениях, общих понятиях и пяти аксиомах.

Открываем первый жетон и видим в самом начале определение.

Надо же с чего-то начинать.

Какие там определения?

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия же — длина без ширины.

Концы же линии — точки.

Линией он называет кривую, у которой есть концы.

Прямая линия есть та, которая равна расположена по отношению к точкам на ней, и так далее, и так далее.

Определений там 23, а за ними идут 5 постулатов.

Первые четыре довольно просты.

Первый.

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

Второй.

Прямую линию можно продолжать бесконечно.

Третий.

Имея центр и радиус, можно описать круг.

Четвертый.

Все прямые углы равны между собой.

А вот пятый постулат не так прост.

Вот он.

Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых углов,

то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Что он такое понаписал?

Остальные постулаты — простенькие короткие предложения, ясные и понятные.

А этот пятый расписан на целый абзац.

Что за дела?

На этом месте математики и засомневались.

Им казалось, что Евклид ошибся.

Древнегреческий философ Прокл считал, что пятый постулат и вовсе стоит вычеркнуть из списка, потому что это теорема.

Но если так, то должна быть возможность ее доказать, опираясь на первые четыре постулата, и многие пытались.

Птолемей, Прокл и другие даже считали, что им это удалось, но напрасно.

По правде, они лишь переиначивали формулировку.

Вот один пример.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая параллельная данной.

Из этой формулировки пятый постулат зачастую называют аксиомой параллельных прямых.

Когда стало понятно, что метод прямого доказательства для пятого постулата не подходит, ибо Нальхай Сам, Амар Хайям и другие математики взялись доказывать от противного.

Принцип несложный.

Первые четыре постулата оставляем как есть, а вот пятый заменяем противоположным.

Снова доказываем теоремы, опираясь на новый набор постулатов, и если натыкаемся на противоречия, например, что-то истинное оказывается равно ложному, значит, в постулатах ошибка, и нам останется только признать, что верным был постулат, который на пятое место поставил Евклид, что и требовалось доказать.

Что ж, давайте проверим, что было бы, если бы пятый постулат был неверен.

Согласно Евклиду, через точку, не лежащую на данной прямой, может проходить только одна параллельная ей прямая.

Но представим себе, что через такую точку параллельных линий не проходит вовсе.

Пытались зайти с этой стороны, но получалось, прямые должны быть не бесконечны, что неверно.

Значит, этот вариант отпадает.

Он противоречит второму постулату, который гласит, что прямые линии можно продолжать бесконечно.

Теперь предположим, что через точку можно провести больше одной прямой параллельной данной.

Тогда они взяли этот вариант неверного постулата.

Стали искать противоречия, но ничего найти не смогли.

Метод от противного тоже не дал результата.

Математики бились над доказательством пятого постулата больше двух тысяч лет, но ни у кого ничего не получалось.

Примерно в 1820 году за эту проблему взялся 17-летний студент Яныш Бо Яй.

Он бился над постулатом «Днями и ночами».

Обеспокоенный отец Яныша писал ему, «Тебе не следует посвящать себя загадке параллельных прямых.

Я изучил ее от начала до конца.

Я дожил до рассвета этой беззвездной ночи, которая пожрала весь свет и радость моей жизни.

Умоляю, оставь параллельные прямые.

Последуй моему примеру».

Но юный Байяи не послушал отца.

Он просто не мог бросить загадку параллельных прямых.

Спустя годы работы он задался вопросом, что если пятый постулат и вовсе невозможно доказать, исходя из первых четырех?

Может он сам по себе?

По Евклиду через точку можно провести только одну прямую параллельную данной.

Но Баяй представил мир, где таких параллельных можно провести несколько.

Но как?

Что ж, никто не говорил, что поверхность должна быть плоская.

На изогнутой поверхности через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько параллельных линий.

Постойте-ка, эти линии не очень-то похожи на прямые.

Что определяет прямую?

То, что это кратчайший путь между двумя точками.

На такой поверхности кратчайший путь выглядит изогнутым, потому что изогнута сама поверхность.

Вот более приземленный пример.

Обычно самолеты летят по кратчайшему пути между двумя городами.

По сути, они летят по прямой, но на карте эта прямая выглядит изогнутой, потому что Земля не плоская.

Кратчайшие пути на криволинейных поверхностях называют геодезическими.

По сути, это прямые, просто они кажутся изогнутыми, так как расположены в искривленном мире, который представлял себе Бояй.

Сейчас их изучает гиберболическая геометрия, или геометрия Лобачевского.

Знаете, я представлял себе гиперболические пространства как нечто похожее на седло.

Но оказалось, что все не совсем так.

На самом деле они больше похожи на эту вязаную розочку.

Центральная часть вполне ровная и плоская, но чем ближе к краю, тем больше становится самой поверхности, из-за чего параллельные линии расходятся.

По мере удаления центра количество поверхности растет экспоненциально, из-за чего она сминается в такие вот складки.

В общем, если не знаете, как представить себе гиперболическое пространство, предлагаю вообразить седло на седле с седлом и так далее.

Бесконечное нагромождение неровных поверхностей.

Конечно, странная вязаная поверхность не совсем точно передает, что такое гиперболическое пространство.

Чтобы рассмотреть детали, нам придется создать карту, на которой все это пространство помещается внутри диска.

Сейчас мы заполним его треугольниками и поймем, как это работает.

В середине все вполне привычно, но чем дальше от нее, тем больше у нас пространства, в которое поместится все больше треугольников.

Кажется, что они становятся меньше, но на самом деле размер тот же.

Гиперболическое пространство бесконечно.

Можно поместить в него сколько угодно треугольников, и все они останутся внутри круга.

Удаляясь от центра, они будут казаться все меньше и меньше.

И так до бесконечности.

При этом никогда не коснуться границы.

Это так называемая модель Пуанкаре.

Прямые линии в ней — это дуги окружностей, которые пересекают границу под прямым углом.

Если провести прямую линию через центр, она покажется нам прямой, но прямые по соседству будут изгибаться.

Интересно, что во времена Яныша Баяй гиперболической геометрии еще не было.

Он просто рисовал Евклидовы треугольники, предполагая, что древний математик ошибся в пятом постулате.

Баяй понял, что линии фигуры иначе ведут себя в гиперболическом пространстве, но математически все сходилось.

В 1823-м 20-летний Яныш писал отцу.

«Я открыл такое, что сам поразился.

Из ничего я создал новую диковинную вселенную.

Однако Баяй не только разгадывал древние загадки геометрии.

В 20 с лишним лет он поступил в армию, где продолжал заниматься другими своими любимыми делами, играл на скрипке и бился на дуэлях.

Он преуспел в обоих занятиях, но во владении клинком сравниться с ним не мог никто.

Возможно, из-за этой своей разносторонней одаренности Баяй стал высокомерен и с трудом терпел старших по званию.

С ним было тяжело сладить.

Наконец дошло до того, что однажды на дуэли Яноша вызвали 13 кавалеристов из его гарнизона.

Баяй принял вызов, но поставил условие.

После каждых двух поединков у него будет время поиграть на скрипке.

Одна дуэль сменялась другой, и во всех 13 Баяй одержал победу.

Несмотря на любовь к дуэлям, Януш не забывал о математике, и в 1832 году, спустя 9 лет после открытия диковинной вселенной, наработки Баяи были опубликованы в качестве 24-страничного приложения к учебнику, написанному его отцу.

Паркаш Баяи, гордый достижениями сына, отправил его работу, пожалуй, величайшему математику в истории Карлу Фридриху Гауссу.

Тот внимательно изучил присланный материал и спустя несколько месяцев ответил, похвалить его будет все равно, что хвалить себя, поскольку его работа почти полностью совпадает по содержанию с размышлениями, которые занимают меня последние 30 или 35 лет.

За годы до этого Гаусс шел тем же путем.

В 1824 в личном письме он поделился с другом тем, что открыл занятную геометрию с парадоксальными и, как показалось бы, непосвященными абсурдными теоремами.

Гаусс писал, три угла треугольника могут сколь угодно уменьшаться, если только взять достаточно большие стороны.

Однако площадь треугольника никогда не превзойдет определенной границы.

То есть можно построить треугольник со сторонами бесконечной длины, но площадь его будет конечна.

На модели Пуанкаре хорошо заметно почему.

В маленьком треугольнике нет ничего необычного.

Но если начать его растягивать, углы уменьшаются.

Рано или поздно они сведутся к нулю, потому что каждая из линий пересекает окружность под прямым углом.

Эти линии бесконечны, но из-за геометрии есть ограничения на площадь.

В том же письме Гаусс признавался, «Мои попытки обнаружить противоречия и несообразность в этой неевклидовой геометрии не увенчались успехом».

Как и Байяи, Гаусс пришел к выводу, что все сходится.

Он ввел понятие неевклидова геометрия, которым пользуется до сих пор.

Так называют геометрию, в которой верны четыре первых постулата Евклида, но не верен пятый.

Однако Гаусс боялся, что его засмеют, и не стал публиковать свои размышления.

Такое недоверие к новому виду геометрии кажется немного странным, ведь уже был известен один своеобразный раздел этой науки — сферическая геометрия.

В конце концов, мы живем на шаре.

Прямые на сфере — это дуги больших окружностей, тех, у которых максимально возможная длина.

На Земле это, например, экваторы и окружности по долготе.

По ним мы можем судить, как работают прямые на сфере.

Кажется, что эти линии идут в одном и том же направлении, но если их продолжить, выяснится, что они пересекаются, раз на одной стороне и еще раз на другой.

Это верно для любых двух больших окружностей.

Только так у каждой из них получится максимально возможная длина.

Поэтому на сферах параллельных линий не бывает.

Гаусса завораживала сферическая геометрия.

Он занимался геодезией и часто проводил измерения Земли.

В 1820-х он получил заказ сделать замеры королевства Ганновер для составления карты.

Чтобы выполнить это задание, он забирался на горы близ Геттингена и вместе со своими помощниками, которые взбирались на соседние вершины, измерял углы треугольников, что помогало определить расположение объектов относительно друг друга.

Чтобы с чего-то начать, а заодно уточнить округлость Земли, он очень тщательно измерил углы большого треугольника, который формировали три горы.

Романтик, когда дело касалось горных вершин и измерения земель, в переписке Гаусс с той же чувствительностью не отличался.

Баяй был раздавлен жестким ответом своего кумира.

Он решил, что Гаусс попросту хочет его принизить и присвоить его идее.

Письмо известного математика настолько выбило Януша из колеи, что больше он никогда ничего не публиковал.

В 1848 Бояй выпало пережить еще одно несчастье.

Он узнал, что нефтлидовую геометрию, независимо от других, создал российский математик Николай Лобачевский.

Да еще и за несколько лет до его 24-страничного приложения к учебнику.

Бояй умер в 1860 году, оставив 20 000 страниц не публикованных рукописей по математике.

Он так и не узнал, что Гаусс действительно сам додумался до невклидовой геометрии, а, получив его работу, написал другу.

Полагаю, этот юный геометр Баяй – настоящий гений.

Пусть раздосадованный Байай сошел с дистанции, неевклидова геометрия развивалась.

Сферическую геометрию к ней не относили вплоть до 1854 года, потому что на сфере прямые невозможно продолжать бесконечно.

Математики прошлого, столкнувшись с этой проблемой, предпочитали обходить такую геометрию стороной, раз для нее не верен второй постулат Евклида.

Однако в 1854-м Римман изменил этот постулат.

Вместо бесконечного продолжение прямых стало неограниченным.

А второй постулат стал верен и для сферы.

После этого сферическая геометрия тоже вписалась в неевклидову.

Взяв обобщённые четыре постулата Евклида и для пятого приняв формулировку, что параллельных линий не существует, можно вывести сферическую или эллиптическую геометрию.

Так что же, пятый постулат — ошибка или нет?

Может, лучше было бы, если бы Евклид его вообще не писал?

Если бы он его не написал, то у него и геометрия не получилась бы.

Он не смог бы доказать многие из своих утверждений.

Замечательно, что он это написал.

Замечательно, что две тысячи лет его пытались опровергнуть, а в итоге выяснили, что он был прав.

С самого начала.

Но хотя с пятым постулатом все похоже в порядке, кое в чем Евклид все же промахнулся.

Вот где проблема Евкрида.

Смотрим первое определение.

Точка есть то, что не имеет частей.

В смысле не имеет частей?

Что такое часть?

Что означает их не иметь?

Или вот, линия же длина без ширины.

Что это за ширина?

Прямая линия та, которая равна расположена по отношению к точкам над ней.

Да что это вообще такое?

Когда мы читали постулаты, то кивали, да, очевидно, все так и есть.

Но это же чушь.

Зачем мне определения, которые заставляют нас бегать по кругу?

Даешь определения с помощью каких-то номинований, так объясняй, что они значат.

Определяешь что-то, так введи сначала то, что используешь в определении.

Не стоило вообще давать определения?

Именно.

Определения не нужны.

Нужны неопределённые термины.

Не надо объяснять, что такое точка, что такое линия или что такое плоскость.

Надо рассказать, каким постулатом они должны удовлетворять.

Потому что важны отношения между объектами, а не определение этих объектов.

Когда откроете свой разум и примете это, то сразу поймёте, что существует отличный геометрический мир,

в котором прямой может быть большая окружность, плоскостью — сфера, а точкой — точка на сфере.

И тогда условия удовлетворяют четырём аксиомам, а пятой — нет.

Похожим образом работает другая модель, модель Понкаре для гиперболического пространства.

Плоскость — это диск под прямыми, подразумеваем дуги, перпендикулярные его границам, а точки — это те, что расположены внутри границ этого диска.

Геометрию можно представить себе как игру.

Первые четыре постулата — это своего рода базовые правила, а пятый нужен для того, чтобы выбрать, в каком мире играть.

Если решите, что вам не нужны параллельные прямые, то играть будете в сферической геометрии.

Если выберете одну параллельную прямую, то в плоской.

Если хочется, чтобы параллельных прямых было больше одной, то будете играть в гиперболической геометрии.

Но Римман сделал еще один шаг вперед.

Он не стал выбирать игровой мир, а решил объединить все в один.

В своей речи в 1854 он изложил основы геометрической теории, в которой кривизна плоскости неравномерна.

Где-то плоскость ровная, где-то изогнута только слегка, а где-то довольно значительно.

И применимо это все не только для двухмерных плоскостей, но и для трехмерных и больше.

Следующий прорыв был сделан в 1868, и Удженио Бильтрами безоговорочно доказал, что гиперболическая и сферическая геометрии также не противоречивы, как и Евклидова.

Другими словами, если в гиперболической или сферической геометрии что-то не сходится, те же проблемы должны быть в Евклидовом пространстве.

Все эти разделы геометрии ждало отличное будущее.

Оказывается, это было только начало.

В 1905 году Эйнштейн представил специальную теорию относительности.

В ее основе всего два постулата.

Первый — законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отчета.

Второй — скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отчета.

А значит, пространство и время должны быть относительны.

Но тут ломалась Ньютонова сила притяжения.

Согласно ему, сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между двумя объектами.

А согласно специальной теории относительности, это расстояние нельзя однозначно измерить.

В чьей системе отчета проводятся измерения?

Эйнштейну пришлось искать способ примирить относительности к гравитации.

Через два года, в 1907, его наконец-то осенило.

Он представил, как человек падает с крыши.

Что же в этом такого?

Эйнштейн понял, что пока человек летит, он не ощущает собственного веса.

Если в полете он выпустит из рук какой-то предмет, этот предмет продолжит равномерное движение относительно человека.

Как и космонавт вдали от массивных объектов в корабле, который движется с постоянной скоростью.

Его можно назвать инерциальным наблюдателем.

И вот самое важное.

Эйнштейн понял, что ситуации не просто похожи, они одинаковые.

Потому что ни один эксперимент не покажет, падаем мы в однородном гравитационном поле или висим в космосе вдали от массивных объектов.

Значит, падающий с крыши человек тоже инерциальный наблюдатель, который не ускоряется и не испытывает действия силы притяжения.

Но если гравитация — это не сила, то почему вокруг Земли спокойно летает космическая станция?

Разве она не улетела бы от нас по прямой?

Космонавты на МКС тоже не ощущают своего веса.

В том-то и дело.

Они как будто летят по прямой с постоянной скоростью.

Впрочем, именно это с ними и происходит.

Они движутся по прямой.

Почему же со стороны кажется, что это не прямая?

Потому что пространство-время, в которых расположена эта прямая, искривлено.

Массивные объекты способны искривлять пространство-время, а объекты, которые в нем перемещаются, движутся по самому короткому в доступной геометрии пути, по геодезическому.

Космонавты на космической станции летят по прямой, но издалека она будет выглядеть изогнутой, потому что Земля искривляет пространство-время вокруг себя.

Выходит, если не разобраться в том, как ведут себя прямые в изогнутом пространстве, мы не поймем собственную Вселенную.

Уже больше ста лет со времен ее публикации в этом нам невероятно помогает общая теория относительности.

В 2014 году астрономам удалось засечь сверхновую, невероятно яркую смерть звезды.

Один и тот же взрыв они наблюдали в четырех местах.

Как?

Дело в том, что между сверхновой и Землей расположилась массивная галактика, искривляющая пространство-время.

Сверхновая во всех направлениях излучала свет, и он, проходя по нескольким маршрутам, достигал Земли, четыре раза одновременно.

Галактика послужила гравитационной линзой.

Астрономы догадались, что свет от той сверхновой могут перенаправлять и другие галактики в кластере с разной массой и разным гравитационным потенциалом, а значит, свет будет доходить до Земли в разное время.

Тщательно простроив модели, они высчитали, что смогут увидеть ту же сверхновую через год.

11 декабря 2015, как и ожидалось, астрономы снова ее наблюдали.

Кстати, мы можем не только видеть последствия искривления пространства времени, мы умеем измерять его колебания, фиксируя гравитационные волны от космических событий в глубинах Вселенной.

Например, от слияния черных дыр.

Согласно недавнему исследованию «Нанограф», ткань пространства времени бурлит остаточными волнами от подобных событий.

За сотню лет со времени публикации общей теории относительности ее предсказания подтверждались массой открытий и наблюдений, а в самом ее сердце изогнутая геометрия Бояи и Риммана.

Однако до сих пор мы наблюдали только локальные искажения пространства-времени.

А какой формы наша Вселенная?

Это можно определить, если учесть некоторые особенности каждой из форм.

В плоской геометрии мы ожидаем, что в сумме углы треугольника без осечек дадут 180 градусов.

Но в сферической геометрии в сумме треугла дадут больше.

В гиперболической, напротив, если сложить все углы треугольника, получим меньше 180 градусов.

Чтобы определить форму Вселенной, надо просто измерить углы треугольника.

То есть повторить то, чем 200 лет назад занимался Гаусс.

Кстати, некоторые подозревают, что в горах Ганновера он измерял искривление пространства.

На обозримой площади сумма углов у него получилась примерно 180 градусов.

В этом нет ничего удивительного.

Посмотрите на этот шарик.

Представим, что это сфера.

Нарисую здесь небольшой треугольник.

Он оказался практически на плоской поверхности, и сумма его углов составит, грубо говоря, 180 градусов.

Только если я нарисую очень большой треугольник, сумма углов поменяется из-за искривления поверхности, и мы, измерив их, получим больше 180 градусов.

Потому у Гаусса ничего не получилось.

Даже если он действительно пытался измерить кривизну пространства, чему, впрочем, нет никаких доказательств, треугольник, который он измерял, маловат по сравнению со Вселенной.

Чтобы не столкнуться с той же проблемой, что и Гаусс, нам нужны треугольники поистине вселенских масштабов.

Вглядываться в пространство — это то же самое, что смотреть в прошлое, а значит, нам надо заглянуть как можно дальше, поймать самый старый свет — реликтовое излучение.

Это младенческое фото Вселенной, когда ей было всего 380 тысяч лет.

Реликтовое излучение почти однородно, но на нем различимы чуть более горячие или холодные области.

Мы знаем, насколько от нас удалено реликтовое излучение, а значит, если понять, какого размера эти пятна, то можно начертить космический треугольник.

Считается, что первые неоднородности в плотности и температуре появились из-за квантовых флуктуаций времен зарождения Вселенной.

Потом, когда Вселенная расширялась, они увеличивались.

Расширение было стремительным, и между некоторыми областями не было каузальной связи.

Опираясь на знания о жизни Вселенной, астрономы рассчитали частоту, с которой в реликтовом излучении должны встречаться пятна различного размера.

Это спектр мощности реликтового излучения.

В каком-то смысле он показывает, как часто встречаются пятна разных размеров, если Вселенная — ровная плоскость.

Теперь нам есть чем сравнить измерения.

Если Вселенная представляет собой плоскость, то сумма углов должна совпадать с ожидаемой — 180 градусов.

Если Вселенная — это сфера, мы должны получить больше 180 градусов, а углы при измерении окажутся больше, чем ожидалось, и эта вершина сместится влево.

Если же Вселенная — это гиперболическое пространство, то пятна должны оказаться меньше, чем говорили прогнозы, и вершина сместится вправо.

Каков же результат измерений?

Вот данные космической обсерватории Планк.

Они практически однозначно указывают на то, что Вселенная плоская.

Эти наблюдения дали нам самые точные на сегодня оценки плотности кривизны Вселенной.

Она равна 0,0007 плюс минус 0,0019.

В пределах погрешности, по сути, ноль.

Можно почти с уверенностью сказать, что мы живем в плоской Вселенной.

Однако похуже оказаться в плоской Вселенной – это дело случая.

Средняя плотность массы энергии составляет около шести атомов водорода на кубический метр.

Будь она на один атом больше,

Вселенная была бы более сферической, на один атом водорода меньше, и мы бы оказались в гиперболическом мире.

И пока мы толком не знаем, почему у Вселенной именно такая плотность массы энергии.

Зато мы знаем, что общая относительность – одна из лучших теорий реальности в нашем распоряжении.

А в самой ее основе лежат парадоксальные и, казалось бы, абсурдные геометрические построения.

Те самые, которые достались нам благодаря тому, что люди две тысячи лет ломали голову над одним единственным предложением из самой известной книги о математике.

Переведено и озвучено студией Верт Дайдер