ТВ и МСТ практика 3

Здравствуйте, уважаемые студенты!

Мы с вами на прошлой практике проходили основные теоремы теории вероятностей, то есть разобрали теоремы сложения и умножения вероятностей.

Сегодня мы с вами будем разбираться в формулу полной вероятности.

вероятности и формула Бейеса.

Вот на этих двух формулах мы с вами сегодня остановимся.

Тема сложная, поэтому я попрошу вас быть повнимательнее.

В чем заключается наша суть?

Значит, мы рассмотрим с вами событие А,

которое произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий B1, B2, B3 и так далее, BN.

Эти события называются гипотезами.

И пусть нам известны вероятности этих гипотез.

Я вам лекцию давала по лекции эту тему.

Сегодня практическое занятие.

То есть нам известны вероятности этих гипотез.

Причем нам известны условные вероятности события А при условии, что эти гипотезы произошли.

ПБ1, ПБ2А и так далее.

ПБН.

То есть, смотрите, мы должны найти вероятность события А, которое произойдет, если произойдет хотя бы одно из этих гипотез.

В1, В2, Вn у нас эти гипотезы, то есть предположения у нас составляют полную группу.

То есть сумма их вероятностей

равно единице.

Теперь, в таком случае, вероятность события А, наступление события А, то есть, если нам известны вероятности гипотез и условные вероятности события А, при условии, что вот эти гипотезы у нас, предположения у нас произошли,

В таком случае вероятность события А равно вероятности первого предположения умноженной на условную вероятность события А при условии, что это предположение произошло, плюс вероятности второй гипотезы той предположения при условии, что событие А, вероятность события А при условии, что вторая

значит, второе предположение произошло и так далее, вероятность события предположения БН при условии, что БН у нас, вероятность события А при условии, что БН у нас произошло.

Эта формула называется формулой полной вероятности, ребята.

Давайте посмотрим несколько задач на эту тему.

Например, давайте сейчас я вам конкретно задачи возьму из Мурмана.

Так, вот, пожалуйста, значит, задача номер, скажем, 92.

В пирамиде пять винтовок.

В пирамиде пять винтовок.

92 задачка.

Три из которых снабжены оптическим прицелом.

Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равно 0,95.

А вероятность того, что стрелок поразит мишень из простой винтовки, равно 0,7.

Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел на удачу взятой винтовки.

Еще раз сокращенно запишу задачу.

У меня в пирамиде 5 винтовок.

Три из них снайперская, то есть снабжена оптическим прицелом.

Два простые винтовки.

Мне нужно найти вероятность того, что случайно выстрел из случайной винтовки попал в цель.

Попал.

Цель поражена.

Давайте коротко напишем.

Цель поражена.

Мне нужно найти вероятность событий, что цель поражена.

Теперь давайте разберем, что у нас есть, ребята.

У нас выбора два всего.

Первая гипотеза.

Значит, стрелок выбрал снайперскую винтовку.

Он же может снайперскую винтовку выбрать.

Гипотеза 2.

Стрелок выбрал простую винтовку.

То есть не снайперскую.

Простую винтовку.

Теперь давайте посмотрим, чему равно ПБ1.

То есть вероятность первой гипотезы.

Стрелок пришел всего, как я вам сказала, у нас всего, значит, в пирамиде пять винтовок.

Но их два вида.

Снайперская и простая.

Вероятность того, что стрелок придет и выберет снайперскую винтовку, чему равно, ребята, как вы думаете?

Три пятых, потому что всего пять винтовок.

И...

Мне благоприятствуют три винтовки, то есть три винтовки помогают, чтобы я выбрала среди них.

Теперь вторая, ПБ2.

Вероятность того, что стрелок выберет простую винтовку, это равно две пятых.

Теперь рассматриваем что?

Условная вероятность.

Если...

Стрелок выберет снайперскую винтовку.

То, что мишень будет поражена, ребята, равно в задаче, я вам зачитала, 0,95.

То, что снайпер выберет простую винтовку и мишень будет поражена, равно 0,7.

Вот я и подставляю формулу.

Мне нужно найти ПА.

То есть умножаю вот, пожалуйста, это с этим, это с этим, вот, пожалуйста, и плюсую.

Значит, 3 пятых умножено на 0,95 плюс 2 пятых умножено на 0,7.

Равно.

Арифметику сами посчитайте или посчитайте вам ответ сказать.

В итоге у нас получится 0,85.

Задача ясна, ребята?

Да, да, понял.

Теперь давайте еще одну.

Чуть-чуть усложним задачу.

По двое задачки решим мы с вами сегодня хотя бы на каждую из этих формул.

Тема сложная, я ничего не могу сказать.

Вот, например, скажем так, в урне, в первой урне 6 яблок,

Восемь груш, скажем.

Во второй урне четыре яблока, две груши.

Произвольно из каждой корзины или урны выбираю по одному фрукту.

Потом из этих двух мне говорят, выбери еще один фрукт.

Найти вероятность того, что последний фрукт будет яблоком.

Ну, давайте посмотрим.

То есть событие А заключается в чем?

Последний выбранный фрукт будет яблоко.

B1.

В чем заключается?

6 или 1,2?

Или 2,1,1,6?

Давайте сначала разберемся, какие гипотезы могут быть.

Мы должны с вами разобраться.

Смотри, состав вот этих двух.

Я могу с первого выбрать яблоко, со второго грушу.

Могу выбрать так?

Да, конечно.

Яблоко и с второго тоже яблоко.

Тоже может быть, правильно?

Теперь с первого груша, со второго яблока.

И, наконец, B4, груша, груша.

Все, других событий быть не может.

Только вот эти четыре события.

Гипотеза, то есть предположение.

Теперь я должна с вами... Мы с вами, вот смотрите, посчитаем P, B1.

Чему равно?

То, что я приду из первого ящика...

выберу яблоко, чему будет равно?

Сколько всего?

А, всего 14.

14.

Среди них сколько яблок мне помогает?

6.

Да, да, да.

Со второй груши.

Я выбираю со второго урна грушу.

Они друг другу не зависят.

Шесть всего фруктов.

Груш сколько у меня?

Две.

Две груши.

Две груши.

Теперь ПВ2.

Из первого яблока.

Также шесть четырнадцатых.

Со второго тоже яблоко.

Чему будет равно?

Четыре двух.

Четыре шесть.

Четыре шестых.

Правильно.

ПВ2.

Ой, B3, извиняюсь.

Груша.

Из первого выбираю грушу.

Сколько получится у меня?

6,14.

А, 8,14 получается.

8,14.

Правильно.

Яблоко со второго.

4,6.

Теперь груша, груша.

П, B4.

8,14.

Так.

2 груши и 6.

Делим на 6.

2 шестых, правильно.

Вот смотрите, мы с вами посчитали вероятность этих гипотез.

И сумма этих гипотез должна быть равна единице.

Если единица не получится, значит мы неправильно с вами посчитали.

Ну давайте, 14 на 6 сколько будет?

14 умножаю 6.

4, 84.

Теперь числители считаю.

12, 24, значит 32 и 16.

Так, шесть, четыре, так, шесть, семь, восемь.

Как раз восемь с четыре, восемь с четвертых, значит, единица.

Значит, мы с вами правильно посчитали.

Теперь смотрим, что мне еще нужно.

Мне нужно найти условные вероятности.

Если у меня уже, я забыла, все, мне ящики уже не нужны, они у меня.

Если у меня в руках два фрукта, у товарища моего, яблоко и груша,

То есть я выбрал, вот человек выбрал яблоко и грушу, два фрукта у меня выбрали.

Среди них мне надо найти вероятность того, а это что было?

Последний выбранный фрукт было яблоко.

Из двух вот этих яблока и груши я выбираю один фрукт.

И мне нужно, чтобы оно было яблоко.

Чему равно оно?

Вот смотрите, у меня два фрукта.

Одно яблоко и одна груша.

Выбрали мне и положили.

Я не знаю, что там.

И мне нужно среди них выбрать один фрукт.

И чтобы оно было яблоком.

Чему будет равно вероятность?

Всего у меня два фрукта.

И яблоко у меня одно.

Это будет одна вторая.

Второе событие.

ПБ2А.

У меня всего два фрукта, но обе яблоки, то есть два вторых, это один.

Третье, ПБ3А, груша-яблоко, то есть опять-таки одна вторая, мне одно яблоко нужно.

И ПБ4А, меня обманули, в руках там у меня выбор мне дали, из двух груш выбирай одно, но мне нужно яблоко, значит будет ноль вторых, это будет.

Я специально рядышком написала, теперь находим PA. Соответственно, умножаем.

12,84 умножим на 1,2.

24,84 умножим на 1.

И 32,84 умножим на 1,2.

И последний у меня 0, потому что условная вероятность у нас 0.

И общий знаменатель 84 на 2.

Хотя можно было сократить 6.

Это тоже сократим 6.

16 будет 84.

6 плюс 24 и плюс 16.

40, 46, 84.

То, что мы с вами выберем яблок.

То есть 23, 42 оказывается та вероятность, которая нам нужна.

Теперь смотрим, в чем заключается формула Бейеса.

Значит, только что мы с вами рассмотрели вероятность события А, которое вычисляется при условии, что хотя бы одну из этих гипотез произошли.

Мы берем фактически полное вероятность, издает среднюю оценку,

вероятности нашего события, насколько, в среднюю оценку, как оно может произойти.

Но мне нужно теперь найти, что?

Наоборот, то есть при каких условиях оно произошло?

То есть, что мы говорим?

Пусть событие А произошло, произошло, либо наступило, при условии, что одно из несовместных событий, B1,

B2 и так далее.

BN, то есть несовместные вот эти наши предположения, гипотезы, уже произошли.

То есть событие А уже наступило.

Все.

Мы уже мишень поразили.

Теперь спрашивается.

Ну, так как они у меня образуют полную группу, П, Б, И, скажем, давайте сокращенно я напишу, сумма по И, это у меня равно одному.

Теперь,

И событие А можно посчитать формулой полной вероятности.

Полная вероятность.

Вопрос.

Что мне нужно?

Мне нужно оценить вероятность этих гипотез при условии, что событие А уже наступило, ребята.

То есть каким путем я решила это событие?

Вот что мне нужно.

каким путем я уже свою мишень поразила, какой винтовкой я поразила мишень, убила зайца, скажем так.

Обратный ход.

Мы должны теперь с вами проанализировать условные вероятности наших гипотез при условии, что событие А уже у нас наступило.

Теперь, если вы помните, на прошлой лекции я вам давала примеры,

вероятности умножения зависимых событий то есть вероятность произведения зависимых событий а.б.

было равно вероятности любого из них на условную вероятность 2 что при условии что первое уже наступило либо

Наоборот, П, В, то есть при условии А, что В уже наступило.

То есть разницы, оказывается, нет.

Какое из них сначала мы вычислим?

То есть сама теорема говорила, что, если помните, я вам напоминаю, вероятность любого из них, из двух, на условную вероятность второго, при условии, что первое уже наступило.

Из этих двух вот равенств, вот последнее равенство, я нахожу вот это.

Мне нужно.

То есть событие А наступило.

Верая за событие Б, при условии, что событие А наступило.

То есть тогда у меня из этого равенства я получаю следующее.

ПБ умножено ПБА.

Деленное ПА.

Вот, пожалуйста.

Давайте конкретно задачку посмотрим.

Вот, смотрите.

В специализированную больницу в среднем поступают 50% с заболеванием К, скажем, коронавирус, например.

30% с заболеванием Л и 20% с заболеванием М.

Вероятность полного излечения болезни КА равно 0,7.

Для болезней Л и Н вероятности выздоровления больных соответственно равны 0,8 и 0,9.

Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым.

Найти вероятность того, что этот больной страдал с заболеванием К, то есть самый тяжелый больной.

Теперь, давайте я сюда формулу сначала запишу, то есть П, а событие произошло, БИ, скажем, да?

Это П, БИ, вот формула БИСа, ребята, я ее вам

На прошлых лекциях давала зеленая ПА.

Это формула Биеса.

Давайте вернемся с вами к задаче.

Значит, в больницу поступают три вида больных.

К, Л, М. Теперь, в каком количестве поступают?

50% поступают КА больных.

20%, 30% L и 20% M. Мне нужно найти, что больной... Во-первых, событие А в чем заключается?

Больной выздоровел.

Больной выздоровел.

Мне нужно найти вероятность того, что это был самый тяжелый больной.

Почему?

Почему?

Давайте гипотезу посмотрим.

То, что поступил больной с заболеванием К, сколько процентов принимает больница?

50, ребята.

Значит, 0,50.

Это будет одна вторая.

Для второй это вероятность 0,30.

Это будет одна, ну, 0,3, скажем так.

0,5, давайте, чтобы вам было легче.

Я вот так напишу, не буду я сокращать.

Вот так оставлю.

И ПВ3.

Это 0,2.

Сумма равна единице, как я вам сказала.

Теперь давайте посмотрим.

Если больной болел заболеванием К, то что он выздоровел, я читаю, смотрите, заболел К, выздоровел, равно 0,7.

Задача, я вам зачитала это.

Если больной болел заболеванием L, то, что он выздоровел, это 0,8 по задачке.

И то, что он болел болезнью M и выздоровел, 0,9.

Давайте теперь найдем вероятность события А. ПА чему равен?

Среднюю берем, то есть по полной вероятности.

0,5 на 0,7.

потому что вот 0,7 на 0,5, вот, пожалуйста, плюс 0,3 на 0,8 и плюс 0,2 на 0,9.

Вот считаем.

0,35 – это первое, 0,24 и плюс 0,18.

Складываем.

9, 7.

Значит, один в уме.

5, 6, 7.

0,77, оказывается, то, что любой из этих трех больных, если поступит, что он выздоровеет, равно любой из них.

Для любого из них среднее, значит, 0,77.

Мне нужно найти, больной выздоровел, ребята, но выздоровел какой больной?

Первый, самый сложный болезнь как?

Вот для него мне нужно найти вероятность, что, какова вероятность того,

то самое тяжело больной выздороветь, потому что его выздоровление всего 0,7.

70% больных выздоравливают.

Вот, пожалуйста, формула.

Вот формула.

ПБ1 умножено ПБ1А деленное на ПА, ребята.

Это будет равен ПБ1, вот, 0,5 на 0,7 деленное на 0,77.

В итоге у меня получится 0,35 деленное 0,77.

Запятые я убираю.

35 на 7,7 – 5 одиннадцатых.

Оказывается, вероятность того, что самый тяжелый больной выздоровеет, равна у меня 5 одиннадцатых.

Да, можно понять.

Да, да, понял.

Сложно?

Нет.

Давайте еще одну задачку посмотрим, если время останется у нас.

Значит, смотрите.

Кисло грузовых автомашин, проезжающих по трассе,

на котором стоит бензоколонка, относится к 2... Сейчас, я потеряла задачу.

А, 3 к 2.

Вероятность того, что... Относится к числу легковых, значит, к числу легковых и... Сейчас я побольше сделаю, подождите.

Число грузовых автомашин, проезжающих по трассе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по этой же дороге, в 3 к 2.

Вероятность того, что заправляться будет грузовая машина, равно 0,1.

То, что заправится легковая машина, равно 0,2.

Бензоколонке подъехала машина и заправилась.

найти вероятность того, что эта машина будет грузовая.

Значит, смотрите, у меня два случая.

Во-первых, я должна, вот смотрите, событие состоит в чем?

Машина заправилась, разницы нет.

Машина, вот там и говорится, что машина заправилась.

Какие машины останавливаются?

Первое, грузовая машина, правильно?

Вторая легковая машина.

У меня два вида машины.

Легковая машина.

Теперь, число как относится?

Число грузовых машин к легковым, ребята, относится 3 к 2, если вы читали.

Я вам только что зачитала.

Число грузовых машин к легковым относится 3 к 2.

То есть, ПБ1...

Подъехала грузовая.

Всего пять берете, сумму берете.

Три пятых будет.

А число легковых, это две пятых будет, ребята.

Теперь слушаем внимательно.

То, что... Задачка, что говорится?

То, что заправится грузовая машина, то есть ПБ-1, подъехала грузовая машина, вот я читаю, и она заправилась.

А.

равно 0,1 по задачке.

Задача так говорится.

Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, 0,1.

И то, что подъехала легковушка, и она заправилась, равно 0,2.

Теперь попробуем найти по полной вероятности вероятность событий.

Я специально рядышком пишу.

Это умножайте к своему условному вероятности, это к своему.

И суммируйте их.

3 пятых 0,6 на 0,1 плюс 2 пятых это 0,4 на 0,2.

В итоге у меня получится 0,06 на 0,08.

Это будет 0,14.

Это вероятность того, что любая машина заправится.

Вот, машина заправилась.

Мне нужно, чтобы заправилась.

Вот, машина заправилась, ребята.

Какая машина?

Грузовая нужна.

То есть я должна найти то, что машина заправилась и что она грузовая была.

Давайте проверим.

В1.

То есть ПВ1 умножено ПВ1А деленное на ПА, который мы с вами вычислили только что.

Вот, пожалуйста, 0,3 на 0,4.

0,3 на 0,1, извиняюсь, деленное на 0,14.

То есть это будет 3,14-х.

То, что заправится грузовая машина.

Давайте попробуем наоборот.

Для легковой машины.

Тоже.

ПБ2.

То есть, а у меня заправилась машина, и то, что она будет легковушка.

Экран виден, ребята?

Да, да.

Равно.

Значит, умножаю 0,2 на 0,2.

Ой, 0,4 на 0,2.

Извиняюсь.

Зеленая 0,14.

Это будет 8,14.

Какая больше всего, что заправится?

Вероятность какой больше, что заправится, ребята?

Я правильно посчитала здесь?

14.

А, нет, подождите.

Здесь, оказывается, 0,6, я бы здесь 0,3 написала.

Здесь 0,6.

Вот-вот-вот 0,6.

6,14.

Для легковой больше, ребята.

Здесь вот 0,6, я бы 0,3 написала.

6,14.

Вероятность того... Значит, вероятность больше то, что заправится легковая машина, а не грузовая.

Запомните, сумма вот этих вероятностей тоже должно быть равно единице.

Все гипо... Если все...

Условные вероятности гипотез должны быть равно единице.

То есть вероятность того, что событие А основное у вас наступило, и условная вероятность гипотез при условии, что А событие наступило, должно быть равно единице.

Если вот эти гипотезы все, сумма не один, то вы опять-таки неправильно посчитали.

Ну, несмотря на то, что у нас грузовые больше подъезжают, но проезжают,

но заправляются-то они меньше 0,1.

Поэтому у них и получается вероятность то,