Урок 320. Производная функции и ее геометрический смысл

Мы с вами закончили повторение курса механики.

Ближайшая тема, которую нам предстоит рассмотреть, это механические колебания.

Это более сложный вид движения по сравнению с тем, которое нам доводилось изучать раньше.

И эта сложность, в частности, связана с тем, что математика тут будет более сложная.

Поэтому, для того, чтобы все у нас хорошо получилось, мы на несколько уроков отвлечемся от физики и проведем такой математический ликбез.

Что значит ликбез?

ликвидация безграмотности.

Нам с вами нужно познакомиться с элементами дифференциального исчисления.

Итак, небольшой такой математический раздел элементы дифференциального исчисления.

Подчеркнем это двумя линиями.

Тема сегодняшнего урока звучит так.

Тема.

Производная функции.

Точка.

Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Домашнее задание.

Конспект.

И у вас у всех есть по алгебре учебник Мерзляк, алгебра 11.

Мерзляк.

Алгебра 11.

Он есть, кто еще не скачал, он есть на сайте нашего класса.

В этом учебнике выполнить упражнение с номерами 6.9, там А и Б, и 6.10, тоже А и Б. Это похожее упражнение на странице 52.

Только в дополнение к тому, что нам надо сделать, нужно будет

Не только выполнить упражнения, но и построить графики тех зависимостей, которые обсуждаются здесь.

И указать на графике то, что спрашивается в условии задачи.

С графиками.

Это задание на понедельник.

Я вам буду рассказывать, конечно, не очень строго.

Во-первых, я все-таки не математик, а физик, поэтому некоторые тонкости, может быть, не буду даже подробно продумывать.

Наша задача научиться пользоваться тем, с чем мы с вами сейчас познакомимся.

И я не буду рассказывать всего, расскажу именно то, что нам пригодится.

Ну что ж, с чего начать?

Говорят на свете, что все зависит от всего.

То есть между различными явлениями существует связь.

Деревья качаются, потому что дует ветер.

Так?

Некоторые иногда думают, что наоборот.

Различные явления описываются с помощью различных величин.

Мы в физике называем их физическими величинами.

Например, если тело движется, то время меняется, меняется при этом с течением времени координата тела.

Говорят, что координата тела зависит от времени.

Или, если мы будем подниматься вверх, то атмосферное давление будет уменьшаться.

Атмосферное давление зависит от высоты.

То есть существуют между различными физическими величинами связи.

Эти связи описывают математики с помощью различных функций.

Что значит, что между двумя величинами существует функциональная связь?

Это значит, каждому значению одной величины, я уже не буду говорить физической величины, это более общее понятие, каждому значению одной величины можно поставить в соответствие значение другой величины.

Ну, например, y равняется x квадрат.

Каждому значению x ставится в соответствии вот по такому закону значение y. А вообще говоря, величина y является функцией от величины x. И традиционно говорят, что x это независимая переменная x.

а Y зависимая переменная.

Зависимая переменная.

Если изменить X, изменится и Y. И вот смотрите.

Допустим, X в этом примере изменился с 1 до 2.

X изменился с 1 до 2.

Y изменился

От единички.

Единица от двух четыре.

Насколько-то изменился у. Насколько?

На три.

Вот это изменение мы можем назвать приращением функции.

Обозначим его дельта у. Приращение функции.

То есть изменение функции.

Увеличение функции.

Это приращение связано с изменением независимой переменной, с изменением х. Обозначим изменение величины х дельта х. И будем говорить, что это приращение независимой переменной или аргумента.

Независимую переменную еще называют аргумент функции.

Итак, дельта х приращение аргумента.

А вот если мы с вами возьмем разные функции, или даже одну и ту же функцию, вот такую как эта, и будем...

изучать приращение функции при одном и том же приращении аргумента, но при разных начальных значениях аргумента, у нас будут разные приращения функции.

Например, если x меняется от 1 до 2, то y меняется от 1 до 4 на 3.

А если x меняется от 2 до 3, то y меняется от 4 до 9 на 5.

То есть при одном и том же приращении аргумента

Функция может меняться по-разному в зависимости от того, с какой точки мы начали.

И вот давайте рассмотрим следующую ситуацию.

Допустим, x у нас в начале был x нулевое.

Начальное значение аргумента.

А тогда, после того, как аргумент увеличился на Δx, мы получили значение x нулевое плюс Δx.

Это старое значение аргумента, это новое.

Давайте запишем тогда, чему будет равняться приращение функции.

Дельта у тогда будет равняться функции от х нулевого плюс дельта х минус функции от х нулевого.

Настолько изменилось значение функции.

Это приращение функций.

Оно, конечно же, зависит от того, каково Δx.

Но давайте теперь рассмотрим отношение Δy делить на Δx.

То есть рассмотрим вот такое отношение.

f от x нулевое плюс Δx...

минус f от x нулевое делить на дельта x. Это отношение превращения функции к превращению аргумента.

Понятное дело, что оно зависит от того, какое мы взяли дельта x. Но оказывается, в большинстве случаев

в подавляющем большинстве случаев, за исключением каких-то таких особых ситуаций, если мы будем уменьшать дельта х, то это отношение будет стремиться к определенному числу.

Говорят, стремиться к определенному пределу.

И математики обозначают это так.

Предел при дельта х, стремящемся к нулю,

Вот этого отношения приращения функции f от x нулевое плюс дельта x минус f от x нулевое делить на дельта x. Этот предел на самом деле нам встречался уже.

Помните, когда мы изучали понятие мгновенной скорости?

Мы говорили, что мгновенная скорость это отношение малого перемещения на участке траектории, включающей данную точку, к величине времени, за которое это перемещение произошло.

И вот когда мы промежуток времени устремляли к нулю, то у нас средняя скорость на вот этом участке стремилась к мгновенной.

Так вот, это отношение, это, так сказать, средняя быстрота изменения функции,

А вот это, можно сказать, своеобразная мгновенная быстрота изменения функций.

И вот эта величина называется производной.

Производной функции в точке x нулевое.

Производная функции в точке это число.

Оно обозначается, если у нас y равняется f от x, обозначается y штрих в точке x нулевое.

f от x у нас это y.

Вот это производная функции y равняется f от x в точке x нулевой.

То есть что такое производная функции в точке?

Это отношение приращения функции...

к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Такой предел в физике практически всегда существует.

Нам, к счастью, в физике приходится иметь дело с такими функциями, у которых производная существует.

Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

То есть можно сказать, давайте вычислим производную функцию, а можем сказать, давайте продифференцируем функцию.

Те функции, у которых производная существует, называются дифференцируемые функции.

В физике, еще раз подчеркиваю, большинство ситуаций, с которыми нам всегда придется сталкиваться, это ситуации, связанные с дифференцируемыми функциями.

Ну что ж, давайте рассмотрим какой-нибудь пример.

Да, кстати, еще.

Производную обозначают иногда вот так, а есть еще одно обозначение производной.

Смотрите, то же самое, что я записал, можно записать еще немножко по-другому.

Мы можем записать, что y' ну, например, в точке x нулевое равняется отношению Δy делить на Δx при x, стремящемся к нулю.

При Δx

стремящимся к нулю.

Мы вот так когда-то писали, когда вводили мгновенную скорость.

Или то же самое на вот таком языке будет выглядеть так.

Или что-то то же самое.

Это предел при Δx, стремящемся к нулю, отношение Δy при вращении функции к при вращении аргумента.

Так вот, такое отношение в пределе удобно обозначить так.

Когда Δx стремится к нулю, мы его обозначаем dx.

А когда Δy стремится к нулю, бесконечно малое приращение функций мы будем обозначать dy.

То есть существует два способа обозначения производных.

С помощью штриха и с помощью вот такого обозначения dy.

как говорят, по dx.

dy по dx.

А dy и dx называют дифференциалами или бесконечно малыми превращениями функции и аргумента.

Давайте немножечко поиграемся с какой-нибудь простейшей функцией и найдем ее производную.

Итак, пример.

Мы сейчас с вами, между прочим, говорили о производной функции в точке.

Так у нас фигурировала точка x нулевое.

Скажите, пожалуйста, а если мы изменим точку x нулевое, возьмем в другой точке производную, она будет точно такой же или вообще говоря может поменяться?

Она может поменяться.

Возьмите ту же параболу.

Помните, когда мы меняли на единицу аргумент от единички до двух, квадрат ее изменился на три, а когда от двух до трех, изменился на пять.

Значит, производная зависит от того, в какой точке вы ее вычисляете.

Поэтому мы можем сказать, что производная от функции тоже является функцией, только другого вида.

И вот наша задача научиться вычислять производные

В разных простейших случаях.

То есть научиться дифференцировать.

Начнем с простейшей функции, линейной функции.

Пример 1.

Пример номер 1.

Пусть функция y равняется kx плюс c. Такая функция называется линейной функцией.

Давайте вычислим ее производную.

Обозначим ее y',

Равняется.

А теперь пользуемся следующим.

Пока что ставится вопрос.

Чтобы найти производную, нам надо приращение аргумента разместить в знаменателе, приращение функции в числителе, получится какая-то дробь, и посмотреть, что с этой дробью будет, когда приращение стремится к нулю.

Давайте сделаем так.

дельта y делить на дельта x равняется дробь в знаменателе дельта x в числителе что такое дельта y это y в точке когда x равняется x плюс дельта x новое значение минус это значение когда у нас x старые и так пишем k

x плюс дельта x плюс c это новое значение функции, когда мы в качестве аргумента подставили уже увеличенное значение на дельта x независимой переменной, минус kx плюс c. Вот так.

Давайте раскроем скобки.

Равняется...

Знаменатели дельта x. Здесь у нас будет kx плюс k дельта x плюс c минус kx минус c. Смотрите, kx и минус kx взаимно уничтожатся.

С и минус С взаимно уничтожатся, и у нас получится, что в числителе К дельта Х, а в знаменателе дельта Х. Равняется К дельта Х делить на дельта Х.

Дельта x сократится, получается k. Что интересно, независимо от того, какова величина дельта x, у нас отношение превращения функции к превращению аргумента остается одно и то же.

Это свойство линейной функции интересное.

Итак, мы можем записать kx плюс c. Штрих, штрих означает производную, равняется k.

Вот мы продифференцировали функцию kx плюс c. Рассмотрим два интересных случая.

Первое.

Пусть k равняется 0.

Тогда что у нас будет представлять собой функция?

Просто c. Отсюда следует, что c штрих.

А c это константа, это число.

c' равняется 0.

То есть производная константы 0.

Если функция представляет собой константу, постоянную величину, ее производная равняется 0.

Запомним, что производная константы 0.

Второй частный случай.

Пусть k равняется 1, c равняется 0.

Тогда что у нас за функция будет?

Y равняется X. Y равняется X. А чему равняется X штрих?

Чему равняется X штрих?

Производная X равняется K, которая равняется единице.

То есть X штрих равняется единице.

То есть производная аргумента всегда единица.

Следующий, более сложный пример.

Пример номер два.

Пример номер два.

Пусть y

равняется x куб.

y равняется x куб.

Найдем производную такой функции.

Для этого снова найдем отношение приращения функции к приращению аргумента.

А потом устремим его к нулю.

Равняется.

Дельта x пишем в знаменатель.

В числителе.

Новое увеличенное значение аргумента.

Это будет х плюс дельта х в кубе.

Это у в точке х плюс дельта х. Минус х в кубе.

Давайте вспомним формулу куба суммы.

У нас получится х в кубе плюс 3х квадрат на дельта х плюс 3х на дельта х в квадрате плюс дельта х в кубе и еще минус х в кубе разделить на дельта х.

х в кубе взаимно уничтожается, равняется.

И теперь остается поделить каждый из этих слагаемых на дельта х. У нас получится 3х квадрат.

Это определение вот этого слагаемого на дельта х. Дальше останется 3х дельта х. Прибавить 3х на дельта х.

Прибавить дельта х в квадрате.

Прибавить дельта х в квадрате.

Вот так.

Это отношение приращений.

А теперь давайте найдем производную, которая представляет собой предел этого отношения, когда дельта х стремится к нулю.

Значит, мы можем записать х в кубе штрих равняется пределу

При Δх, стремящемся к нулю, вот этой суммы 3х квадрат плюс 3х на Δх плюс Δх в квадрате.

Устремляем Δх к нулю.

У нас это слагаемое обращается в ноль.

Это слагаемое тоже обращается в 0, потому что 3х умножается на Δх.

И остается только вот это слагаемое.

Мы получаем 3х2.

Итак, производная х3 это 3х2.

Можем записать ответ.

х3 равняется 3х2.

Давайте теперь

рассмотрим геометрический смысл производной.

Мы еще вернемся к вычислению производных более быстрым способом, чем мы сейчас это делаем.

А сейчас рассмотрим геометрический смысл производной.

Ну, раз речь идет о геометрическом смысле, нас, наверное, будет интересовать график функции, производную которой мы будем искать.

По вертикали мы откладываем функцию y равняется f от x. По горизонтали откладываем аргумент x. И вот функция имеет какой-то вот такой вид.

График функции имеет какой-то такой вид.

Рассмотрим значение аргумента x нулевое.

Ему соответствует значение функции y нулевое.

Увеличим аргумент на какое-то delta x. При этом функция изменит свое значение.

И будет у нас равна y нулевое плюс delta y.

Стрелка наверху не помешает.

Теперь давайте поступим следующим образом.

Проведем прямую, проходящую через вот эти две точки графика.

Как называется эта прямая?

Она называется секущая по отношению к кривой

которая изображает график функции.

Секущая.

Да, вот это х нулевое плюс дельта х, а дельта х самовод.

Правильно, спасибо, Игорь.

Дельта х. Так, а теперь давайте сделаем вот что.

Рассмотрим треугольник.

Прямоугольный треугольник, который вы видите на рисунке.

Угол наклона секущей обозначим альфа.

Вот этот отрезочек, противолежащий катет, это дельта y. Это приращение функции.

Вот этот отрезочек, прилежащий катет, это приращение аргумента, дельта x.

Тогда скажите, пожалуйста, а что это такое отношение Δy к Δx?

Это тангенс угла наклона секущей.

Тангенс α равняется Δy делить на Δx.

Секущая это прямая.

Вы уравнение прямой знаете?

Уравнение прямой...

То есть это функция, которая описывает вот эту секущую, которая дает график прямую.

y секущая равняется cx плюс y нулевое какое-то.

Так вот, вот этот коэффициент c называется угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент секущей.

С это и есть тангенс угла наклона секущей.

Значит, что у нас получилось?

Угловой коэффициент секущей равен отношению изменения функции, через которую мы провели секущую, через график который, к превращению аргумента.

Чтобы получилось производное, нам нужно...

устремить дельта х к нулю.

Что при этом будет происходить с секущей?

x нулевое, точка, которая стоит на месте.

Δx мы уменьшаем.

Значит, вот эта точка остается прежней, а эта точка перемещается по графику.

Значит, секущая у нас будет проводиться через все более и более коротенький кусочек графика нашей функции.

И в конце концов, во что превращается секущая, когда эти две точки сольются?

в касательную, предельное положение секущей, это и есть касательное.

И вот давайте тогда посмотрим, как будет выглядеть график.

Тот же график.

y равняется f от x. x, 0.

Та же кривая.

Вот точка x нулевая.

Вот точка y нулевое.

Теперь мы с вами устремили к нулю превращение функции, и касательная превратилась в секущую.

И эта касательная в точке x нулевое, y нулевое касается графика.

И угловой коэффициент касательной, c равняется тангенс альфа,

представляет собой предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

То есть, фактически, тангенс альфа это не что иное, как y штрих.

То есть, производная функции, где в точке x нулевое.

Там, где проведена касательная.

Другими словами, геометрический смысл производной состоит в том, что она равна тангенсу угла наклона касательной к графику функций.

Но на самом деле, немножко правильнее было бы говорить, она равняется угловому коэффициенту касательной к графику функций в данной точке.

Почему?

Потому что не обязательно, чтобы...

По этим осям величины были отложены в одинаковом масштабе.

Тогда, меняя масштаб, мы получим разный угол, меняющийся угол.

Но ведь на самом деле производная от этого не меняется.

Поэтому, более корректно говорить, это угловой коэффициент касательный.

Кстати, у нас в физике часто приходится по этим осям откладывать величины в разных единицах.

Например, время и координата.

Тогда получается, что тангенс...

должен иметь размерность метра в секунду, если речь идет о отношении координаты ко времени.

Но тангенс должен быть безразмерный, поэтому правильнее говорить угловой коэффициент.

Угловой коэффициент может иметь размерность.

Итак, производная в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной

графику функций в этой точке.

Вот в чем состоит геометрический смысл производной.

Зная это, мы можем извлечь для себя очень много полезных вещей.

Смотрите.

Допустим, у нас функция меняется хитрым образом.

Здесь у нас y равняется f от x. Здесь у нас x. Тут 0.

И вот функция вот такая.

Давайте проведем касательную вот здесь, в максимуме функции.

Касательная пройдет горизонтально.

Давайте проведем касательную здесь, там где функция проходит через минимум.

Касательная в этой точке тоже пройдет горизонтально.

Значит, чему равна производная функции в тех точках, где она имеет максимум или минимум?

Нулю, потому что угловой коэффициент горизонтальной прямой равен нулю.

Вот как интересно получается.

Оказывается, вычисляя производную функции, можно исследовать ее на экстремум.

Экстремум это либо максимум,

Либо минимум.

Дальше.

Смотрите сюда.

Вот в этой точке касательная проходит вот так.

Функция при этом как меняется при увеличении аргумента?

Возрастает.

А угловой коэффициент касательной какой имеет знак?

Плюс.

Значит, если функция возрастает, то угловой коэффициент положителен.

Но угловой коэффициент это производная.

Значит, если производная функция положительна, то она в том месте, где ее производная возрастает, в той точке, тоже будет положительна.

Будет производная положительна, значит функция возрастает.

В максимуме производная равна нулю.

Вот в этой точке функция убывает.

Проведем касательную.

Она имеет отрицательный наклон, то есть отрицательный угловой коэффициент.

Значит, там, на тех отрезках аргумента, где функция убывает, ее производная отрицательна.

Давайте мы сейчас это зафиксируем.

Обозначим эту точку x1, эту точку обозначим x2, эту точку обозначим x3, эту точку обозначим x4.

y в точке x1 возрастает.

y' больше нуля в этой точке.

y' в точке x1 больше нуля.

y в точке x2 имеет максимальное значение.

В этой точке y' в точке x2 равняется нулю.

y в точке x3, смотрим сюда, убывает, функция убывает.

y' в точке x3 меньше нуля.

И, наконец, y в точке x4 принимает минимальное значение.

y в точке x4 равняется минимуму.

В этой точке производная y' в точке x4 равняется нулю.

Значит, вычисляя производную,

И приравнивая ее нулю, мы можем получить уравнение, решая которое, можем найти в какой точке, то есть при каком значении аргумента, функция либо максимальна, либо минимальна.

Но хотелось бы, конечно, еще и научиться отличать максимум от минимума.

Чтобы это сделать, давайте посмотрим вот на что.

Смотрите, при подходе к максимуму производная из положительного значения становится нулевой.

Пройдя максимум, производная с нулевого значения принимает отрицательный.

Что происходит с самой производной?

Она убывает.

Значит, если функция имеет максимум, то производная...

этой функции вблизи максимума убывает.

Если функция имеет минимум, то производная при прохождении вот этого минимума с отрицательного значения сменяется на положительное.

Производная возрастает.

Так давайте придумаем вот что.

Если функция убывает, мы с вами знаем, то ее производная отрицательна.

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Сама производная является функцией?

Да, только это другая функция.

Если у функции нашей исходной производная меняется положительно на отрицательную, значит производная производной будет какой знак иметь?

Производная была положительна.

Стала отрицательной.

Производная уменьшается.

Производная это тоже функция.

Если она уменьшается, если мы от нее, от производной, возьмем производную, то она будет отрицательна.

Производная от производной называется вторая производная.

Или производная второго порядка.

У'.

Штрих обозначается У2'.

Или еще вот так.

d2y по dx дважды.

Слушайте, как это звучит.

d2y по dx дважды.

Так вот, если... Назовем это второй производной.

Второй производной.

Если функция имеет максимум, то первая производная ее увеличивает.

Здесь нулевая, но она при прохождении максимума убывает.

Поэтому здесь вторая производная отрицательна.

y2' меньше 0, а y' равняется 0.

А вот если функция у нас проходит через минимум, то y' тоже 0, но вторая производная будет положительна.

И вот есть такое правило в математическом анализе, нам когда-то на первом курсе рассказывала наша преподавательница в университете, которое называется правило дождя.

Если сверху идет дождь.

и вы попадаете на максимум, то дождь стекает с этих стенок и не накапливается вот здесь, вблизи экстремума, вблизи максимума.

То есть, есть тут вода?

Нет, она стекает.

Минус.

Вторая производная отрицательная.

Если же функция имеет минимум, то когда сверху идет дождь, сюда вода наливается, и тут будет лужа.

Есть тут вода?

Есть.

Есть, то есть плюс.

Вторая производная положительна.

Вот пользуясь таким правилом дождя, можно анализировать не только при каких значениях аргумента функция имеет экстремум, максимум или минимум, но и отличать максимум от минимума.

Ну, наверное, на сегодня достаточно.

Будем пить чай.