Урок 321. Правила вычисления производной

В прошлый раз мы познакомились с тем, что такое производная функции.

Выяснили, что это тоже функция, которую можно найти для большинства функций.

Такие функции, у которых существуют производные, мы называем дифференцируемыми функциями.

И мы нашли производные некоторых простейших функций, например, x в кубе.

Сегодня мы научимся вычислять большее количество производных функций,

Но для этого существуют определенные правила.

И вот тема сегодняшнего урока – правила вычисления производных.

Правила вычисления производных.

Правила вычисления производных.

Домашнее задание.

Конспект.

И по задачнику мерзляка, по учебнику мерзляка, алгебра 11.

Алгебра 11.

Сделать упражнение номер 7-2.

7, 4.

Там надо посчитать производные от различных функций.

Они простенькие, поэтому в каждом где-то по 4 функции.

И 7, 12.

7, 12.

Но там последнюю мы пока не сможем производную взять, поэтому только 1-3.

Это на завтра.

Завтра мы с вами еще познакомимся с различными приемами при вычислении производных и потренируемся.

Итак, первое правило, которое мы сейчас с вами изучим, это производная суммы.

Производная суммы.

Правило очень простое, но все-таки надо его знать, потому что мы будем им постоянно пользоваться.

Итак, пусть функция y зависит от x.

и представляет собой сумму двух функций u от x и v от x. Наша задача связать производную функции f, то есть всей функции y равно f от x, с функциями u и v. Давайте вспомним, что производная это предел отношения

изменения функции или приращения функции к приращению аргумента тогда когда приращение аргумента стремится к нулю и начнем с того что запишем это отношение для конечных приращений а потом устремим к нулю эти приращения и так дельта y делить на дельта x равняется

Знаменатели дельта x. А здесь у нас приращение функции y. То есть f от x плюс дельта x минус f от x. Теперь вспоминаем, что функция f от x у нас представляет собой сумму двух функций u и v. И продолжаем рассуждать.

Дельта x. f от x плюс дельта x это...

У от х плюс дельта х прибавить В от х плюс дельта х. Это первое слагаемое, уменьшаемое в этой разности.

Вычитаемое в этой разности это будет минус У от х минус В от х.

А теперь давайте перегруппируем слагаемое в этой сумме следующим образом.

Все, что относится к функции u, соберем вместе.

Все, что относится к функции v, тоже соберем вместе.

У нас получится.

Равняется дробь в числителе u от x плюс дельта x минус u от x.

И я специально запишу скобки, чтобы эти два слагаемых лучше видеть.

Отнять v от x плюс дельта x минус...

В от х. Скобку закрыть.

Напоминаю, что У от х это не У умножить на х. Это У в точке, где аргумент равен х. Х плюс дельта х это аргумент, когда ему добавили приращение дельта х. И это все делим на дельта х. Равняется.

Ну а теперь смотрите.

Разобьем эту дробь на две.

Вот таким образом.

А, да, здесь минус.

Правильно, правильно, вот, внимательно смотрите, точно.

Плюс, конечно, да, спасибо.

Так, теперь здесь записано у от х плюс дельта х минус у от х. Это приращение функции у. То есть мы можем написать дельта у.

Здесь у нас приращение функции v плюс дельта v. Тут, конечно, сумма.

Делить на дельта x. И, наконец, разбиваем на две дроби.

Будет дельта u делить на дельта x прибавить дельта v делить на дельта x. Мы самую главную работу сделали.

Мы нашли отношение приращения.

А теперь давайте устремим к нулю приращение аргумента.

y' представляет собой предел при Δx, стремящемся к нулю, от Δy делить на Δx.

Равняется предел при Δx, стремящемся к нулю, суммы Δ. Вот я эту сумму переписываю.

Δu делить на Δx плюс Δv делить на Δx.

равняется.

Если мы будем к нулю устремлять Δx, то первое слагаемое представляет собой просто производную функции u, а второе просто производную функцию v. Значит, мы можем написать u' плюс v'.

Давайте сейчас отдельно выпишем это правило и в дальнейшем будем им пользоваться.

Итак,

Если y равняется u плюс v, уже не будем писать аргументы, то y' равняется u' плюс v'.

И обычно говорят, что производная сумма равняется сумме производных.

Производная сумма равняется сумме производных.

Очень простое правило.

Кстати, отсюда вытекает, например, тот факт, что абсолютная погрешность суммы двух физических величин равна сумме абсолютных погрешностей этих величин.

То, что мы сейчас с вами изучаем, отлично можно использовать.

Следующее правило.

Производное произведение.

Производное произведение.

Производное произведение.

Пусть функция y зависит от x, где f от x представляет собой произведение u от x и v от x.

Наша задача найти производную y'.

Ну что ж, y' равняется Δy делить на Δx при Δx, стремящемся к нулю.

Я записал то же самое, что писал с помощью обозначения пределов.

Значит, нам нужно сейчас...

проанализировать, что из себя будет представлять отношение приращения функции к приращению аргумента, а потом сделать, как говорят, предельный переход.

Считаем, отношение приращения функции к приращению аргумента равняется приращению вот такого произведения у от х на v от х.

делить на дельта x равняется в знаменателе будет дельта x приращение это разница вот такого произведения когда x сдвинут на дельта x к нему прибавлено небольшой дельта x минус исходное произведение то есть это будет у от x плюс дельта x умножить на v от x плюс дельта x

Минус у от х на v от х равняется.

Дельта х пишем в знаменатель.

А теперь смотрите.

Если мы придадим у.

Аргументу у значения х плюс дельта х у нас получится новое значение у, которое больше старого на величину превращения функции у. То есть то, что здесь записано, можно представить как у плюс дельта у. Вот это.

Его мы должны умножить на функцию v. v плюс дельта v.

Вот это новое значение функции y. Минус старое.

Я уже не буду писать аргументы, чтобы не загромождать запись.

Минус uv.

Теперь раскрываем скобки.

Равняется дробь в знаменателе Δx в числителе u умножить на v.

Плюс У умножить на дельта В. Плюс В на дельта У. Плюс дельта У на дельта В. А, да, дельта.

Сейчас.

У.

На V. U на ΔV.

V на ΔU.

Вот оно.

И ΔV на ΔU.

ΔU на ΔV.

Теперь не забудем про это.

Минус U... Ох.

Вот так.

Минус UV.

Что бы я без вас сделал?

Что вам хочется сделать, глядя на числитель?

Взаимно уничтожить У и В. Посмотрим, что останется.

Равняется.

Здесь у нас останется У умножить на дельта В плюс В на дельта У и плюс вот это.

Давайте мы сейчас с вами сразу, чтобы сэкономить время, почленно поделим числитель и знаменатель.

У нас получится У умножить на дельта В делить на дельта Х. Дельта В делить на дельта Х.

Плюс вот это V умножить на ΔU делить на ΔX.

ΔU делить на ΔX.

Плюс вот это ΔU делить на ΔX умножить на то, что еще не дописано, на ΔV.

И вот хотя она записана в углу, это соотношение, но оно для нас очень важное.

Давайте сейчас с вами сделаем предельный переход.

А именно, пусть дельта х стремится к нулю.

Тогда у нас получится.

Уже dy по dx или y' можно записать.

Это есть предел.

y' это можно записать умноженное на v'.

равняется пределу при Δx, стремящемуся к нулю, от вот этой суммы.

У умножить на Δv на Δx плюс v умножить на Δu делить на Δx плюс Δu делить на Δx

Умножить на дельта v. Равняется.

А теперь смотрим внимательно.

Что из себя будет представлять предел вот этого отношения?

Производная функции v по переменной x. Это производная функции u по переменной x, если дельта x стремится к нулю.

Это у нас не что иное, как производная функции u

А эта величина, что с ней будет с дельта v?

Если дельта x стремится к нулю, а v от него зависит, то значит и дельта v будет стремиться к нулю.

Но мы при этом подразумеваем, что функции все удовлетворяют определенным требованиям, с которыми мы подробно не будем сейчас иметь дело.

Речь идет о непрерывности.

Об этом подробнее вы будете говорить уже в строгом курсе матанализа.

У физиков практически все функции этому требованию удовлетворяют.

Итак, получается, что U на V' плюс V на U'.

Но это дает нам 0.

Запишем результат.

U на V'.

Производное произведение равняется сумме произведения первой функции на производную второй и произведения второй функции на производную первой.

Будем это правило помнить.

Следующее правило, которое вам будут рассказывать в курсе матанализа, в строгом курсе, это производная частного.

Я его рассказывать не буду, потому что мы без него можем обойтись.

Дело в том, что частное можно заменить произведением функции первой на обратную вторую.

Поэтому в дальнейшем мы это будем делать, но не используя формулу для производной частного.

Она не сложная, но зачем пока что нам...

использовать то, что не пригодится, изучать то, что не пригодится.

Давайте лучше на другое обратим внимание.

А что если, пример, функция y есть c, умноженное на, скажем, f от x, где c – постоянная величина.

То есть, если функция представляет собой какую-то константу, умножить на другую функцию.

Например, у равняется 2х3.

Вот константа и какая-то функция.

Чему же будет равняться в таком случае производная у?

Воспользуемся правилом вычисления производной, когда мы имеем дело с произведением функции.

у' равняется.

Первая функция c умножить на производную второй f' плюс f от x на производную константы.

А чему равна производная константы, мы на прошлом уроке с вами выяснили.

Она равна нулю.

Это слагаемое равняется нулю.

И тогда получается у...

Штрих равняется cf', если y равняется cf.

То есть, говорят, константу можно выносить за знак производной.

Константу можно выносить за знак производной.

Ну что ж, так давайте сейчас воспользуемся этим, для того, чтобы найти производную вот этой функции.

Еще один пример.

Найдем 2 умноженное, или лучше возьмем другую функцию, 3 умноженное на х квадрат.

Почему, как вы думаете, я взял эту функцию?

Она нам встречалась.

Помните, на прошлом уроке мы считали производную х куб.

И эта производная х куб была 3 на х квадрат.

Так вот, сейчас мы возьмем производную от этой функции.

Штрих равняется 3 умножить на производную второй функции, на 2х.

Плюс константа 0 умножить производной константа на x2.

Это слагаемое 0.

Получается 6x.

Но можно этого не делать.

Сейчас мы просто посчитали эту производную по формуле производные произведения.

Это лишняя работа.

Можно было бы просто вынести за знак производной вот эту константу.

Это по формуле производные произведения.

А можно проще.

Проще.

3х квадрат штрих равняется 3.

Константу выносим за знак производной.

На х квадрат штрих равняется 3.

А чему же равняется производная х квадрат?

Посмотрите сюда.

Это будет 2х квадрат.

Производная функции x квадрат равняется 2x, равняется 6x.

И вот у нас, кстати, дома вы тоже встречались с дифференцированием функции x квадрат.

У нас... Вот это нет штриха?

А, вот здесь штрих, да?

Значит, у нас с вами сейчас много раз встречаются степенные функции, и мы находим их производные.

Смотрите, вот я уже начну выписывать некоторый набор результатов, которые мы получили.

Например, c' равняется 0.

Было у нас только что, на прошлом уроке.

Дальше, x' равняется чему?

Тоже было на прошлом уроке.

Производная аргумента.

Дельта х делить на дельта х. Единица.

Дальше.

Сейчас мы с вами выяснили, что х квадрат штрих это 2х.

Х квадрат штрих равняется 2х.

Х куб на прошлом уроке считали.

Штрих равняется 3х квадрат.

Не просматривается ли какая-то закономерность во всем этом?

Давайте еще один пример рассмотрим.

Еще пример.

Найдем х в четвертый штрих, чтобы уже продолжить вот эту запись.

Для этого можно воспользоваться формулой производное произведение.

Равняется.

x в кубе на x штрих.

А теперь по формуле производное произведение.

Равняется неизменная первая функция x в кубе.

Это наша функция u, а x это функция v. На производную второй функции, на единицу.

Плюс производная первой функции...

Производная х-куб, вон она написана, 3х-квадрат.

Производная первой функции на неизменную вторую, на х. Получается, здесь х-куб, а здесь еще 3х-куб.

Получается 4х-куб.

Напишем сюда.

х в четвертый штрих равняется 4х-куб.

Ну что, вы улавливаете какую-то закономерность?

Можем ли мы для целого... Ну, пока что у нас это натуральное, ну и ноль.

n целое.

Ответить на такой вопрос.

Чему равняется x в степени n штрих?

Андрей.

n на x в степени n-1.

Правильно.

n на x в степени n-1.

Я возьму эту формулу в рамочку.

Это одна из так называемых табличных производных.

Ее надо выучить.

Но вот только возникает вопрос, а может эта формула работает только в том случае, если мы имеем дело с положительными или неотрицательными значениями n. Давайте поиграемся немножечко.

Попробуем напрямую, то есть не прибегая к этой формуле, найти производную еще одной степенной функции.

А именно, пусть y равняется 1 на x. То есть мы хотим найти 1 на x...

Конечно, можно было бы воспользоваться формулой производной дроби, но мы ее не знаем, и я говорил, что мы без нее обойдемся.

Давайте попробуем напрямую посчитать эту производную.

Для этого нам нужно найти отношение Δy на Δx при Δx, стремящемся к нулю.

Давайте искать.

Равняется.

Единица на Δx.

Это я знаменатель записал.

А здесь должно стоять...

Значение функции, когда х с превращением взят, единица на х плюс дельта х. Вычесть.

Единица делить на х. Давайте приведем к общему знаменателю.

Равняется.

Единица на дельта х. Дробь.

Знаменатель х плюс дельта х равняется.

Умножить на х, на х. В числителе х, дополнительный множитель, минус х и еще минус дельта х. Х и минус дельта х взаимно уничтожаются.

Равняется минус дельта х делить на дельта х. Вот это минус.

Еще умножить на единицу на х плюс дельта х. Ну и умноженное на х. Есть.

Это у нас единица.

Теперь сделаем предельный переход.

А именно, поступим так.

У штрих равняется...

Минус.

Посмотрите, пожалуйста, что станет с этой дробью, когда дельта х стремится к нулю.

Единица, понятное дело, здесь останется.

Дельта х можно пренебречь.

То есть, не пренебречь, оно просто обнуляется в пределе.

И остается х умноженное на х. Х квадрат.

Итак, единица делить на х. Штрих равняется минус единица на х квадрат.

Это можно запомнить, а можно этого и не делать.

Можно представить единицу на х следующим образом.

Единица на х равняется х в степени минус первой степени.

Х в степени минус первой степени штрих.

А ну-ка давайте воспользуемся вот этой формулой.

Работает она или нет?

Получится ли у нас то же самое?

Равняется...

Минус единица это наше n минус единица умножить на x в степени n минус единица.

n у нас минус 1 и от него отнять минус 1.

Будет минус x в степени минус 2 или минус единица на x квадрат.

То есть мы с вами получили напрямую вот такое значение производное, минус 1 делить на х квадрат.

А по этой формуле получили точно такое же значение.

Значит, эта формула работает не только для положительных, но и для отрицательных n. И, наконец, еще один пример.

Давайте попробуем найти производную корня.

Тоже напрямую.

А потом посмотрим, позволяет ли эта формула такую производную находить.

Итак, пример.

У равняется корень квадратный из х. Нужно найти у'.

Вперед.

Считаем в лоб.

То есть делаем предельный переход.

Для этого ищем отношение Δу.

делить на дельта х равняется в знаменателе дельта х в числителе корень из х плюс дельта х минус корень из х. Что с этим делать?

Давайте поступим следующим образом.

Умножим числитель и знаменатель

на корень из вот этого плюс вот это у нас будет тогда здесь в числителе x плюс дельта x прибавить корень из x в знаменателе будет дельта x умножить на корень из x плюс дельта x плюс корень из x

Вот.

И отчислитель, и знаменатель.

А, здесь дельта х даже не нужно.

Тогда и скобки писать не будем.

Я же его тут написал.

Вот.

Равняется.

Ничего здесь знакомое не видится.

Это разность квадратов.

Значит, мы можем написать.

Дельта х здесь у нас будет.

А здесь будет х плюс дельта х квадрат.

Какой мы формулой пользуемся?

a квадрат минус b квадрат равняется a плюс b на a минус b. Вот здесь у нас a минус b. Значит, вот это наше a. Теперь минус x. Это наше b в квадрате.

Все.

И теперь остается дописать вот этот знаменатель.

Корень...

Из х плюс дельта х плюс корень из х. Х и минус х сокращаются, взаимно уничтожаются и остается.

Остается дельта х делить на дельта х. Вот дельта х и дельта х. И еще единица делить на корень из х плюс дельта х.

Прибавить корень из х. Есть.

Что это такое?

Это отношение превращения функции к превращению аргумента.

А теперь делаем предельный переход.

При устремлении к нулю, это сразу сокращается, у нас получается корень квадратный из х...

Штрих равняется.

Вот это пропало, и остался тут корень из х. В знаменателе к нему еще прибавляется корень из х. Что будет?

2 корня из х. Значит, в числителе единица делить на 2 корня из х. Это мы посчитали напрямую, через предельный переход.

А теперь посчитаем по вот этой формуле.

По этой формуле.

Корень из х. Штрих.

Корень из х. Это х в какой степени?

Половинной степени.

Значит, это будет х в степени 1 вторая.

Штрих.

Наша n. 1 вторая.

Равняется.

Пользуемся вот этой формулой.

1 вторая.

Дальше идет х в степени n 1 2 минус 1.

1 2 минус 1.

Равняется 1 2 х в степени минус 1 2.

Равняется 1 2.

Теперь отрицательная степень означает, что мы просто 1 делим на ту же величину х.

противоположного знака степени, степени плюс 1 вторая, а это знакомый нам квадратный корень, равняется 1 на 2 корня из х. То есть эта формула тоже работает.

Оказывается, ею можно пользоваться для любых значений n, как целых, так и рациональных, так и даже действительных.

Ну, наконец, давайте мы с вами кого-нибудь вызовем к доске.

Продифференцируем вот такую функцию.

y равняется корень квадратный из x в кубе.

y' надо найти.

Так.

Тема, попробуем.

Воспользуемся уже вот этой формулой.

Беремел.

Значит, прежде всего надо записать эту функцию в виде степенной.

В кубе.

Вот и все.

Теперь, как это можно дальше преобразовать?

Перемножением равняется х. Только подожди, это, конечно, правильно, но давайте... Я понимаю, что физики любят десятичные дроби, но сейчас мы занимаемся математикой, запишем это как 3 вторых.

3 вторых.

Во, есть.

Это сама функция у. А теперь воспользуйся вот этой функцией.

Х в степени 1 вторая.

Сразу по вот этой формуле получил результат.

Спасибо, Тёма.

Всё правильно.

Хорошо.

Так.

Такое упражнение.

Номер 292.

Номер 292.

Номер 292.

Это задачник, это учебник Калмогорова.

Вот такую производную нужно взять.

У равняется х делить на 3 минус 7 делить на 2х квадрат минус х корней из х. Нужно найти производную этой функции.

Рома, попробуем?

Можно найти в начале производства каждый отдельно.

Так.

Каждого отдельно услугаемого.

Теперь можно вынести константы.

Выносим константы.

Рома сразу записывает в виде степенных функций.

Так, ставим в стороночку.

x умножить на корень из x, это x умножить на x в степени 1, 2.

Это x в степени 1 плюс 1, 2, то есть x в степени 3, 2.

Штрих.

Теперь дифференцируем каждое слагаемое.

1, 3 на 1.

Так.

Минус 7.

И теперь давайте запишем в таком знакомом виде.

То есть будет 1 треть.

7 на х в кубе.

Тут плюс.

И здесь 3 вторых корня из х. Все.

Вот так это делается.

Вообще, на самом деле, вычисление производных, говорят, это ремесло.

Работаешь по правилам, особенно даже можно не задумываться.

Вот обратная процедура вычисления интегралов, это искусство.

Но мы этим заниматься не будем.

Ни сегодня, ни завтра.

А на сегодня достаточно.

Урок окончен.