Вся Геометрия с Нуля за 50 минут, для Чайников

Всем привет, ребят, меня зовут Спартак Спартакович, и сегодня у нас необычное видео.

Оно будет, ну, вы по тайм-коду, скорее всего, увидите, что оно уже довольно длинненькое.

Первое видео, которое у меня были на канале, и, может быть, вы видели, называется «Геометрия 7 класс».

То есть, вообще, на самом деле, я создал этот YouTube-канал только потому, что нигде в интернете не мог найти теорию по геометрии нормальную.

То есть, ее какие-то старые бабушки объясняли, нифига не понятно было.

Вот, и...

Сейчас, понятно, уже куча всяких блогеров появилась и объяснили это.

Но я хотел, чтобы на моем канале тоже была вся геометрия.

То есть я хочу сделать одним видео.

Вся геометрия за 7-9 класс.

То есть так называемая планиметрия.

Разобьем по полочкам.

Каждой теме будет у нас TM-код.

И постараемся пройти всю геометрию.

Надеюсь, это будет интересно и для вас полезно.

Прежде чем начнем, лайкуйте, нажмите, чтобы поддержать мой видосик.

Мне будет очень приятно.

Ну и чтобы другие увидели это видео.

Я буду вам очень благодарен.

Ну что, приступим.

Первая тема у нас называется уголочки.

Ну, какие бывают углы?

У нас бывает угол острый.

Острый.

У нас бывает угол тупой.

Напомню, что если острым вам ткнуть в живот, будет больно.

Тупым, если ткнуть, не очень будет больно.

Есть прямой угол.

Давайте мы поаккуратнее вот так вот сделаем.

Это прямой.

Прямой.

И есть развернутый угол.

Он выглядит как прямая линия.

Вот так вот.

Развернутый.

Развернутый.

Острый у нас меньше 90 градусов, тупой больше 90 градусов, прямой равен 90 градусов и развернутый 180 градусов.

Мы чуть-чуть отработаем, когда будем проходить тему смежные углы, вот эти уголочки.

Смежные углы.

Что такое смежные углы?

Давайте нарисуем развернутый угол вот такой.

И нарисуем вот такие два уголочка.

Смежные углы — это углы, которые лежат на развернутом угле.

То есть они в сумме 180.

Значит, если один уголочек 60, то другой будет 120.

Вот, в принципе, и все.

Давайте еще раз.

Пару раз попрактикуемся.

Допустим, вот этот угол 70.

Тогда чему равен второй угол?

110.

Давайте еще нарисуем.

Допустим, 3 уголочка.

Например, один угол 60, другой 40.

Значит, третий угол, если они в сумме 180, будет 80.

Следующая тема у нас называется вертикальные углы.

Просто пересекаем две абсолютно любые линии, то есть вот как два пальца просто пересекаем, и противоположные уголочки у нас будут равны.

Если вот этот х, вот этот х. Если вот это, например, 100 градусов, то и вот этот 100 градусов.

Все очень просто.

Можно еще раз закрепить.

Пересекаем две линии.

Вот этот 60, вот этот 60, вот этот 120, вот этот 120.

Просто пересекаем две линии, противоположные углы равны.

Это называется вертикальные углы.

Также давайте вспомним такие базовые вещи, что точка это точка.

Точка с буквой называется вершина.

А если у нас есть вершина, и из нее идет вот такая линия, это называется луч.

Если две вершины соединим вот так вот, это будет отрезок.

Отрезок.

Если у нас просто такая прямая линия, без вершин называется прямая.

Ну, собственно, угол это соединение трех вершин.

таком формате а треугольник это соединение трех вершин между собой я думаю все просто тем у нас параллельные прямые если прямая а и б параллельны то есть что значит параллельны это прямые которые если продолжить да то они не пересекутся вот если а и б параллельны

то при пересечении третьей прямой, например, цена, появится 8 уголочков.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

И эти 8 уголочков поделятся на три типа.

Они называются односторонние, накрест лежащие и соответственные.

Сейчас про это поговорим.

Если уголочки лежат на одной стороне в сумме 180 градусов, как показано вот здесь, то они называются односторонние.

Если вот такие у нас уголочки, как нарисовано вот здесь, то есть они смотрят в одну и ту же сторону, вот вверх-вправо,

они внешне похожи, идеально равны, то такие углы называются соответственные.

То есть, например, можно здесь 7, 8, 9, 10 и так далее.

То есть они должны смотреть в одинаковую сторону и внешне быть похожими.

С накрестлежащими обычно сложнее ситуация, их труднее объяснить, но давайте я постараюсь.

Углы накрестлежащие, они должны смотреть в противоположные стороны.

Если угол 1, например, смотрит вверх-влево, то угол 2 должен смотреть вверх-вниз.

Причем

Эти углы должны лежать по разные стороны от секущей.

Вот у нас секущая С. Если угол 1 лежит слева от секущей, то угол 2 должен лежать справа от секущей.

Давайте еще пример покажу.

Например, угол 4 смотрит влево-вниз.

И угол 5 будет смотреть вверх-вправо.

Угол 4 лежит слева от секущей.

Угол 5 лежит справа от секущей С. Такие углы называются накрест лежащие.

Сумма углов треугольника.

В школе вам говорят, что сумма углов треугольников 180 градусов.

Но почему это так?

Это происходит из-за темы параллельной прямой, которую мы прошли чуть ранее.

Давайте это объясним.

Допустим, у нас есть угол альфа, угол бета и угол гамма, например.

И проведем вот к этой линии вот такую параллельную прямую.

Тогда вот этот угол альфа, он будет равен вот этому углу.

Почему?

Ну, потому что они накрест лежащие.

Если один смотрит вверх-вправо, то вот этот угол смотрит влево-вниз.

И они лежат по разной стороне.

Вот этой вот секущей.

Видите?

А значит, они накрест лежащие.

А тогда то же самое.

Угол гамма.

Он смотрит влево-вверх, и вот этот уголочек тоже будет смотреть, ну, то есть он тоже будет противоположный, будет смотреть вниз-вправо и лежит по разной стороне от секущей.

Короче, вот этот уголочек гамма.

А как мы проходили ранее, когда мы проходили смежные углы, что смежные углы в сумме 180 градусов.

То есть альфа, бета и гамма у нас будут в 180 градусов.

Не нужно бояться таких страшных букв альфа, бета и гамма.

Это просто как x, y в математике.

Вот.

Просто, ну, их обычно чаще всего используют.

Вот.

И...

Чё?

А значит, тогда альфа, бета и гамма у нас будет 180.

То есть это и есть сумма углов треугольника.

Давайте поговорим дальше.

А почему сумма углов четырехугольника 360?

То же самое, просто берем два треугольничка, вот так соединяем.

Если здесь сумма углов 180, значит здесь сумма углов 180.

Значит сумма углов четырехугольника будет 360.

А чему равна сумма пятиугольника?

Я надеюсь, вы понимаете уже логику.

Это просто будет три треугольника.

180, 180, 180.

То есть 540, 720 и...

900 и так далее.

Просто каждый раз добавляем 180, если у нас прибавляется уголочек.

Вот.

Переходим дальше.

Признаки равенства треугольников.

Ну, я уже опять же снимал видео по этой теме, но еще раз давайте повторим.

Значит, у нас есть пара треугольников.

И нам нужно доказать, что треугольнички равны.

На самом деле, очень многие свойства, которые будут дальше выходить, исходят из вот этих признаков.

Поэтому лучше их хорошенько понять.

Мы их обязательно практикуем еще.

Значит, три признака очень просты.

Значит, первое правило, признак номер один, что треугольники равны, если равны две стороны и угол между ними.

То есть один угол плюс две стороны.

Признак второй.

По одной стороне и по двум уголочкам, которые лежат на этой стороне.

То есть два угла и одна сторона.

Это признак номер два.

Третий признак обычно самый простой.

То есть сторона, сторона, сторона, сторона, сторона.

Тупо по трем сторонам.

Три стороны.

Давайте немножко попрактикуемся.

Давайте немножко попрактикуемся.

Ну здесь что у нас?

Здесь просто третий признак по трем сторонам.

Здесь у нас что?

Добавим вертикальные уголочки.

Это будет первый признак по двум сторонам и углам между ними.

Можете поставить на паузу, попробовать сделать сами, а потом посмотреть мое решение.

Вот, здесь у нас просто второй передизнак дан, да, одна сторона, одна сторона и два уголочка там и там.

Здесь у нас есть только общая сторона FD, то есть это сторона, которая есть у двух треугольников полностью, да, и у первого треугольничка и второго треугольничка есть и та, и та сторона, но называется общая, можете записать.

Поэтому кроме этой общей стороны ничего нету, здесь нет решений, то есть они не равны.

Здесь у нас дана одна сторона, один угол.

Такого признака нет.

Поэтому переходим дальше.

Тут нет неравны.

Что у нас здесь есть?

Есть вертикальные уголочки вот здесь.

Есть прямой угол, но ничего нам не говорит.

Значит, вертикальные уголочки, одна сторона, одна сторона.

Одна сторона, всего один угол.

Нам здесь не хватает для равенства.

Здесь у нас вот эта сторона равна вот этой стороне.

ГФ будет общая сторона.

Но уголочков никаких нет, третьих сторон нет, поэтому нет решения.

Здесь у нас один уголочек и две стороны.

Это первый признак.

Тут у нас HG, вот это общая линия.

QG равно RG.

Это уже по двум сторонам.

И по одному уголочку там и там.

Это первый признак.

Вот задание номер 10, оно довольно хитренькое.

Потому что вроде как две стороны и в BD общее.

Но это не совсем так.

Вот эта сторона равна вот этой стороне.

То есть они равны внутри треугольника.

Но между треугольниками они равны, потому что, например, вот эта сторона 3 и 3, и они как бы не равны.

Поэтому единственное, что здесь общее есть, это только вот эта общая линия BD, и они не равны.

Оставшиеся 4 задания давайте возьмем в ДЗ.

В комментариях напишите тайм-код, пожалуйста, да, и вот эти задания, типа 11, 12, 13, 14, я проверю и вам напишу.

Напишите какой это признак, а по возможности почему, ну или хотя бы напишите какой признак.

А мы идем далее.

Медиана высота бисектриса.

Ну, я думаю, на самом деле, не все знают, что это такое, но давайте мы все-таки повторим.

У нас же мы как бы проходим все, да?

Значит, допустим, сторона была 10, проходит медиана, и она делит сторону пополам.

Значит, это будет 5 и 5.

Допустим, что такое бисектриса.

Бисектриса делит угол пополам.

То есть я иногда текстом не буду писать, мне просто не очень удобно.

Вы можете мои слова записывать.

Бисектриса делит угол пополам.

То есть если, например, здесь уголочек был, например, 80 градусов, то она выходит, и получается два уголочка.

40 и 40.

Вот.

Как-то так.

И высота.

Вот про высоту подробно я немножко объясню.

Значит, что такое высота?

Если вы играли в компьютерные игры, давайте я немножко прям потрачу времени, давайте мы пробуем какой-нибудь кружочек сделать.

Если вы играли в компьютерные игры, и у вас есть, например, вот там в каком-нибудь PUBG вы играли, там, я не знаю, там, не знаю, Apex, Fortnite, Valorant, я не знаю, что угодно.

Ну, кроме Valorant, ладно.

И вы, например, на самолете вот так вот летите, и вам нужно выпрыгнуть до вот этой точки.

То есть, с какого места, вот пока вы летите на самолете вот так, с какого места вам нужно выпрыгнуть, чтобы пролететь минимальное расстояние?

Вот палец возьмите и тыкните, вот в какое место нам нужно, из какого места нам нужно выпрыгнуть, чтобы самое маленькое расстояние пролететь.

Вот.

Так, ну я, к сожалению, не вижу, куда вы тыкнули пальцем, да?

Но вот это место где-то должно быть вот тут вот.

Давайте другим цветом подсвечу.

Вот здесь вот.

Почему?

Потому что кратчайшее расстояние у нас проходит под прямым углом.

Это и есть такая штука, как высота.

Высота.

Это расстояние от верхней точки до нижней точки под прямым углом.

То есть, когда вам ваш рост измеряют, вас башкой вот так вот к стене приталкивают вот так вот.

И вы, вот стена и пол вас ставят под угол 90 градусов, чтобы измерить ваше расстояние.

Дальше, когда мы будем проходить тему площади, мы конкретно про эту высоту будем отчетливо говорить.

Поэтому запомните обязательно про высоту, что это расстояние от вашей башки до пола.

Идем дальше.

Виды треугольников.

У нас есть первый треугольник, называется равнобедренный.

Равнобедренный треугольник, у него главное правило, что у него...

Есть вот здесь вот жопа.

И углы на вот этой жопе у него будут равны.

То есть вот этот уголочек равен вот этому уголочку.

Вот эти две стороны называются боковые.

И они тоже будут равны.

То есть если две стороны равны, то он равнобедренный.

Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

Очень довольно просто.

Следующий треугольник у нас называется прямоугольный.

Судя по названию, можно понять, что у него есть прямой угол, который мы проходили в самом начале урока.

Причем стороны у него называются катет.

Вы можете сами записать.

Там катет, катет и гипотенуза.

Мы подробно будем проходить, когда будем проходить теорему Пифагора.

Катет, катет и гипотенуза.

И есть равносторонний треугольник.

Давайте запишем.

Равносторонний треугольник.

У него все стороны, по названию можно понять было, что они равны.

И при этом все уголочки тоже равны.

А раз сумма углов 180, как мы проходили выше, то каждый уголочек будет по 60.

То есть если вы видите треугольник, который уголочки пошлят, это равносторонний.

Правило 30 градусов.

Очень часто в заданиях используется такое правило.

В прямоугольном треугольнике...

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

То есть катет в 2 раза меньше, чем гипотенуза.

То есть если гипотенуза 20, то катет 10.

Можете текстом записать.

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

То есть видите угол 30 градусов?

Просто делите на 2.

Либо если у вас катет дан, то умножайте на 2.

Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гиптенузы.

Частое правило, нужно запомнить.

А в равнобедренном треугольнике частое правило, что медиана высота и бисектриса, выходящая к жопе, вот сюда, идящая, да, к жопе, это одна и та же линия.

То есть это и бисектриса, и высота...

и медиана.

Это легко доказать по равенству треугольников.

Если хотите, можете нарисовать равнобедренный треугольничек, провести, например, медиану и доказать, что левая часть треугольничка равна правой части треугольнички.

Отсюда это и медиана, там будет и высота, и бисектрис.

Теорема Пифагора.

Мне кажется, каждый, кто занимался математикой...

Теорема Пифагора.

Мне кажется, каждый блогер, кто занимался математикой, то рассказывал про теорему Пифагора.

Я надеюсь, что все хорошо знают, потому что она действительно часто используется для того, чтобы находить стороны в прямоугольном треугольничке.

Звучит она так, если вы вдруг не слышали, да, или, например, вы еще там в седьмом классе.

Звучит она так.

Вот этот катет, ну то есть А в квадрате, B в квадрате равно C в квадрате.

Это можно записать отдельно.

Катит в квадрате плюс катит в квадрате равно гипотенуза в квадрате.

Ну и давайте тренироваться.

Допустим, вот это 3, вот это 4.

Тогда чему будет равна вот эта сторона?

Давайте посчитаем.

3 в квадрате плюс 4 в квадрате равно х в квадрате.

9 плюс 16 равно х в квадрате.

25 равно х в квадрате.

Отсюда х равен 5.

Давайте я оставлю вам несколько примерчиков.

Вы попробуйте их сделать.

Например, что будет?

8 и 6.

Найдите гипотенузу.

Давайте 15 и 12.

Найдите катет и давайте что-то сложное, что уже не все сделают.

Допустим, будет вот это 3, вот это 2.

И найдите катет.

Сразу предупреждаю, что, скорее всего, третье задание вы не сделаете, но будет интересно, может быть, кто-нибудь в комментариях решит.

Мы идем далее.

Тригонометрия, синусы, косинусы, тангенсы, катангенсы.

Вы, наверное, говорите, о нет, это самая худшая тема.

Ну, потому что это самые популярные ролики у меня на ютюбе.

И с помощью них, как раз, наверное, я все еще введу деятельность.

Просто потому что они стрельнули и, слава богу, другие ролики теперь вы тоже смотрите.

То есть, тригонометрия это прям беда.

И у всех проблемы с ней.

Поэтому давайте тоже проговорим, это будет точно не лишним.

Что такое тригонометрия?

Есть такие четыре понятия базовых.

Синус, косинус, тангенс, катангенс.

И по сути это просто отношение сторон в прямоугольном треугольнике друг к другу.

То есть, ну давайте мы запишем, что синус у нас это против лежащий катет делить на гипотенузу.

Косинус это прилежащий катет делить на гипотенузу.

Тангенс это противолежащий катет делить на прилежащий катет.

И катангенс... И катангенс это у нас наоборот.

И катангенс, это у нас наоборот, прилежащий катет делить на противолежащий катет.

Много букв, давайте объясню, что такое противолежащий и прилежащий.

Вот, например, у вас есть точка А, да?

У вас, например, стороны здесь 3, 4, да?

3, 4, 5.

То есть, прилежащий, это который рядом с точкой А находится.

Противолежащий, который далеко от точки А находится.

Вот и все.

То есть давайте вот прямо на вот этом примере рассмотрим.

Синус, например, А. То есть мы берем точку А, противолежащий далеко на гипотенузу.

4 делить на 5.

Например, косинус угла А. Что это будет?

Это прилежащий на гипотенузу.

3 на 5.

Косинус угла В. Это противолежащий.

Ой, что я сказал?

Сори.

Надо тангенс.

Тангенс угла B. Это противолежащий на прилежащий.

То есть 4 на 3.

Ну и котангенс это наоборот.

Это прилежащий на противолежащий.

Начинаем тему четырехугольников параллелограмм.

Что такое параллелограмм?

Фигура, которую очень сложно произнести.

Рисуем две параллельные линии.

А теперь рисуем еще две параллельные линии.

Я немножко, может быть, косо это сделаю, но где-то так.

То есть...

Линии попарно прямые, попарно параллельны.

Чего они взяли, что там какие-то правила появились?

Давайте каждый из них докажем.

Проведем вот здесь вот диагональ.

Вот эта линия у нас будет общая для треугольничков, верно?

Что еще?

Вот этот уголочек равен вот этому уголочку, так как они накрест лежащие.

Вот этот смотрит вверх вправо, вот этот смотрит влево вниз.

И так как они лежат по разной стороне от секущей, они будут накрест лежащие.

Вот этот уголочек также равен вот этому уголочку, они накрест лежащие.

Смотрят в противоположную сторону, лежат по разной стороне от секущей.

А значит, треугольнички равны.

Значит, вот эта сторона равна вот этой стороне, а вот эта сторона равна вот этой стороне, так как треугольники равны.

Отсюда и выходят все правила четырехугольника.

Давайте мы их запишем.

Значит, четырехугольник, у него попарно равны стороны, параллельны, ну, можно так, попарно равны стороны и параллельны.

Также из того, что мы доказали, раз вот треугольнички равны, то и противоположные углы будут равны.

То есть вот этот уголочек равен вот этому уголочку, и вот этот уголочек равен вот этому уголочку.

Можно записать, что противоположные углы параллограмма равны.

Докажем еще одно правило.

То есть теперь мы знаем, что вот это равно вот этому, да?

И докажем такое правило, что диагонали при пересечении делятся пополам.

Проведем две диагонали вот так вот.

Вот эти уголочки у нас будут накрест лежащие.

Вот эти уголочки у нас будут накрест лежащими.

Ну и, в принципе, все.

Второй признак, то что вот этот треугольничек и вот этот треугольничек равны.

Причем вот эта сторона будет равна вот этой стороне.

То есть вот, например, пересеклись диагонали, вот она пополам поделилась, видите?

И вот это пополам тоже поделилось.

Отсюда диагонали в параллелограмме делятся пополам.

Когда речь у нас идет о четырехугольниках, давайте вспомним о такой вещи, как ромб.

Нарисуем ромб.

Во-первых, у ромба все стороны равны.

Немножко хриво нарисовал, но уж извините.

У него все работает правило, как работает у параллелограмма.

У него все стороны равны, и причем диагональ у него пересекается под прямым углом.

Вот так вот.

Бам-бам-бам-бам-бам-бам-бам-бам.

А, кроме того, что у нас есть параллелограммы, у нас являются еще параллелограммом прямоугольник, квадрат и ромб.

Можно так записать, что ромб, квадрат и прямоугольник являются параллелограммом.

Еще у нас есть такой четырехугольник, как трапеция.

Давайте мы ее нарисуем.

То есть, на самом деле, в трапеции ничего нету, кроме того, что просто стороны попарно-параллельны.

Вернее, не попарно, а... Еще у нас есть такая фигура, как трапеция.

То есть, потолок и задница у нас параллельны, а боковые стороны просто, грубо говоря, соединяющие.

То есть, тут, говорю, главное правило, что они параллельны.

То есть, вверх параллельно низу.

Кроме того, что у нас обычная бывает трапеция, она бывает еще равнобедренная.

То есть у нее выполняются все те же правила, как и у равнобедренного треугольника.

Примерно вот так она где-то выглядит.

Причем частый случай, во-первых, вот эта сторона равна вот этой стороне, вот этот уголочек равен вот этому, как у равнобедренного треугольника.

Частый случай, что если здесь две высоты провести, во-первых, вот этот треугольник и вот этот равны, это можно легко доказать, а вот здесь будет прямоугольник.

Ну, это частая конструкция, которая используется в заданиях, на самом деле, много на ЕГЭ.

Кроме равновесной трапеции, есть еще прямоугольная трапеция.

То есть, это, по сути, трапеция, у которой просто крыло отрезали.

То есть, если бы здесь было вот такое крыло, то его просто отрезали.

Получилась прямоугольная трапеция.

Никаких свойств она не имеет, кроме того, что потолок параллелен полу.

Ну, и вот здесь прямой угол.

Как-то так.

Средняя линия.

На самом деле, почему-то в школе проходят две отдельных средние линии, которые выполняют полностью одну и ту же функцию.

Во-первых, мы берем, если вот основание наше, ну здесь, например, 10, то здесь, например, основание 20, давайте другие числа, 30 и 20, то вот если мы проведем среднюю линию, не так криво, конечно,

то она равна либо половине основания, либо если основание 2, то половина суммы оснований.

То есть складываем основание будет 50 и делим на 2, будет 25.

Тут основание 1, поэтому просто делим ее на 2, будет 5.

То есть все основания делим на 2.

Вот это выполняет средняя линия.

Второе, что она делает, она делит боковые стороны пополам.

То есть вот так вот.

Мы могли бы тут, конечно, разобрать теорему Фалеса, но я думаю, это вот такое базовое видео, где вот прям по основам пройдемся.

Уже какие-то точные темы, но мне кажется, нужно отдельный ролик под это.

Ну, здесь то же самое.

Делят боковые стороны пополам.

И третье правило, что средняя линия всегда параллельна основанию, либо параллельна основанию.

То есть, если в треугольнике она просто параллельна полу, то здесь она параллельна и верхушке, и низу.

Вот.

Как-то так.

То есть еще раз.

Равна взять основание поделить на два, делит боковые стороны пополам и параллельно основание.

Ну или основание U. Продолжаем.

Тема площади.

На самом деле тему почему-то...

Я как-то записал урок по теме площади, но почему-то он не зашел.

Не знаю почему, потому что каждый, кто приходит ко мне на занятия, не понимает, как находить площади.

Хотя существует одна формула, по которой и в 9 классе, и в 11 классе можно найти почти любую площадь.

Сейчас я это объясню.

Рисуем базовую фигуру, называется прямоугольник.

Чтобы найти ее площадь, не нужно умножать А на Б. Достаточно умножать шопу на рост.

Помните, когда мы проходили высоту, я говорил конкретно про рост.

То есть рост это расстояние от верхней точки до нижней под прямым углом.

То есть площадь прямоугольника это жопа умножить на рост.

Есть такая фигура как квадрат.

Чтобы найти его площадь, нужно, вы скажете, сторону возвести в квадрат.

Зачем для квадрата придумать отдельную формулу?

Я не понимаю.

Когда можно сказать, что площадь квадрата это просто жопа умножить на рост.

Жопа на рост.

Да, стороны одинаковы, поэтому она будет в квадрате.

Но не нужно для этого отдельную формулу учить.

Поэтому просто жопу умножаем на рост.

Жопа это то, на чем мы сидим.

Вот я сейчас на диване сижу, он плоский.

Вот это я называю жопой.

А рост это расстояние от верхней точки до нижней под прямым углом.

Продолжаем.

Прямоугольный треугольник.

Почему здесь одна вторая?

Ну, потому что если вот этот треугольник достроить до прямоугольника, вот так вот, да, то прямоугольник площадь будет жопа на рост, верно?

Но так как наш треугольничек занимает ровно половину от прямоугольника, поэтому будет одна вторая.

Все очень просто.

Одна вторая, жопа на рост.

А что делать, если треугольник обычный?

Давайте я вот специально покривее нарисую.

Вот обычный.

Как тогда находить, если он не прямоугольный?

Да, суть абсолютно такая же.

Мы достраиваем...

До прямоугольника проводим высоту и будет жопа на рост.

Если прямоугольник это был бы жопа на рост, то вот этот треугольничек равен вот этому треугольничку, а вот этот треугольничек равен вот этому треугольничку.

Значит, наш треугольник внутри, он занимает ровно половину от прямоугольника.

То есть, если прямоугольник это жопа на рост, то наш треугольничек это будет половина жопа на рост.

Что же будет у нас с параллелограммом?

Вы, конечно, можете удивиться, но площадь параллелограмма ничем не отличается.

Это жопа умножить на рост.

Рост под прямым углом у нас вот здесь.

Площадь равна жопа на рост.

Идем дальше.

Некоторые вспомнят вот такую формулу, вот тот же ромб, это вроде как параллелограмма, какая там у него жопа на рост.

А я немножко сейчас объясню.

У ромба звучит формула так.

Полупроизведение диагоналей, то есть такая формула есть.

Но на самом деле это полупроизведение диагонали, это и есть жопа на рост.

Давайте посмотреть.

Вот эта верхняя палочка, это рост большого прямоугольника.

Вот если бы мы вышли вот так вот и достроили прямоугольник, то вот эта высокая диагональ, это будет его рост.

А маленькая диагональ, это будет его жопа.

Тут получается 8 одинаковых треугольничков.

И поэтому...

Формула не 1,2 в полупроизведении диагонали, а половина жопы на рост на самом деле.

Ну, то есть, потому что наш ромб занимает ровно половину от этого прямоугольника.

Поэтому вот есть такая формула в ромбе.

С трапецией не совсем все так гладко.

Давайте я немножко объясню, почему здесь работает формула жопа на рост, но тут два основания, поэтому немножко криво будет.

Вот если мы построили вот здесь примерно где-то средняя линия, и вот достроили до прямоугольника...

вот так, то это и была бы площадь нашей трапеции.

Просто вот этот треугольничек, он зашел бы вот сюда, а вот этот треугольничек зашел бы вот сюда.

Вот.

То есть формула жопа на рост та же.

Но так как основания здесь разные, да, то считаться она будет вот так.

Складываем полужопие, так сказать, вот, например, 20...

И 10, например, да?

Складываем полужопие.

Ну, полужопие.

И умножаем на рост фигуры.

То есть площадь равна полужопия на рост.

Ну, вот я вот здесь вот пояснил, да?

Вот она.

Вот если довести до такого прямоугольничка, это будет жопа на рост.

Но так как здесь разные основания, то будет полужопия на рост.

И единственная фигура, которая не подходит под вот эту великую могучую теорию... Да отстань ты от меня!

Вот, это окружность.

К сожалению, здесь нужно будет запомнить эту формулу.

πr².

Площадь окружности πr².

Просто знаете, какой у вас радиус, подставляете.

Например, у вас радиус равен 2, вы подставляете π на 2 в квадрате, будет 4π.

Площадь окружности будет 4π.

Так, продолжаем.

Подобие треугольников.

Значит, давайте нарисуем треугольничек.

И вот другой треугольничек.

Что вообще такое слово «подобие»?

Подобие, вот если вот я сейчас сижу в фотошопе, да, или, например, если мы сидели в пейнте, да, это взять какую-то картинку и масштабировать ее.

Я вот могу, ну, не знаю, что-нибудь наглядно показать.

Вот возьму какое-нибудь слово «четверг», например, да, вот слово «четверг».

И вот в таком формате его оставлю.

И вот сейчас я использую в фотошопе... Не то.

И сейчас я использую такую штуку, как масштабирование.

То есть пропорции сохраняются, но все размеры увеличиваются в какое-то количество раз.

Вот это слово подобие.

И есть полный синоним слова подобие.

Масштабирование.

То есть какой-то объект абсолютно с такими же пропорциями, но в какое-то количество раз больше.

Вот что такое подобие.

Теперь возвращаемся к треугольникам.

Когда мы поняли, что такое подобие, есть три признака, как доказать, что треугольники подобны.

Звучат эти три признака так.

Причем, если вы сдаете ОГЭ и вам нужен только девятый класс, вам достаточно знать только один признак.

Если...

вам нужно в 11, то лучше знать все три.

Значит, первый признак у нас звучит так.

По двум углам, то есть вот этот уголочек, например, равен вот этому уголочку, вот этот уголочек равен вот этому уголочку.

Это первый признак подобия треугольника.

И говорю, для 9 классов достаточно будет только его.

То есть другие абсолютно не используются.

Конечно, если вы сдаете профиль на ЕГЭ в 11 классе, конечно, вам нужно знать все признаки.

Поэтому мы сейчас тоже про ним пройдемся.

Так, давайте также нарисуем треугольнички.

И вот меньшую копию вот так вот нарисуем.

Второй признак звучит так.

Он очень похож на равенство треугольников.

Это по двум пропорциональным сторонам.

То есть, например, вот это 20, вот это 2, вот это 10, вот это 1.

И по одному равному углу.

Это второй признак подобия треугольника.

Давайте напишем третий.

Третий у нас будет тупо по трем сторонам.

То есть, если, например, это 30, 40, 50, то вот этого, например, будет 3, 4 и 5.

То есть, по трем сторонам подобным.

То есть, каждая сторона левого треугольничка в 10 раз больше, чем каждая сторона правого треугольничка.

Это называется третий признак подобия треугольников.

Давайте немножко попрактикуемся, потому что тема довольно важная.

Особенно, если вы задаете профиль.

Если УГ, то там в целом задания довольно простые.

То есть, достаточно доказать, что треугольники подобны по двум углам.

Все.

Остальное там уже решается очень легко.

Давайте первое задание.

Что у нас?

Один уголочек равен другому уголочку.

Вот здесь, вот здесь уголочки будут равны.

Значит, это первый признак.

Два уголочка здесь, два уголочка здесь.

Это первый признак.

Вот этот уголочек равен вот этому уголочку, а вот этот угол будет общий.

Значит, это первый признак равенства треугольников.

Вот этот треугольник я бы перерисовал.

Так, у нас дано, что вот этот 36 угол.

Так как треугольник равнобедренный, давайте мы найдем остальные его углы.

AB равно BC.

Значит, из 180 вычитаем 36, это будет 144.

То есть сумма вот этих двух углов, потому что в сумме 180.

Поделим на 2, это будет 72.

То есть вот этот уголочек 72, вот этот уголочек 72.

И отсюда выходит бисектриса.

То, что мы ранее проходили, бисектриса, линия, которая делит угол пополам.

То есть было 72, здесь станет 36, 36.

Так.

Это что получается?

108.

Значит, здесь будет 72.

Здесь будет 108.

Какие у нас, получается, треугольнички будут подобные?

Давайте рассмотрим.

То есть у нас есть общий треугольник.

Вот такой.

У него углы 36, 72 и 72.

И 72.

И есть вот этот треугольничек, который вот так вот лежит.

Вот такой треугольничек.

У него углы 36, 72 и 72.

И вот именно они будут подобны, да, по двум углам.

Ну, по трем это значит по двум.

Вот, тут, конечно, нужно было уже расписать.

Задание номер 5.

Так, здесь один равный угол, один равный угол, значит прямые параллельны.

А если прямые параллельны, значит вот эти углы тоже будут равны.

Они будут называться соответственные.

Но если вы даже не знаете, что такое параллельные прямые, да, можно было сказать, что просто угол B общий, да,

Значит, по первому признаку они равны будут.

Здесь то же самое.

Угол B будет общий.

И у нас по одному прямому углу.

Значит, по двум углам равным треугольники будут подобны.

В принципе, как-то так.

Тема окружности.

В центре рисуем точечку.

Это будет центр окружности.

Можете записать себе центр окружности.

Расстояние от центра до любого края называется радиус.

Все радиусы в окружности равны.

То есть вот

из центра можно вот так провести, вот так вот, да?

Все эти радиусы будут равны.

То есть, если у вас несколько радиусов выходите, вы можете сразу показать, что они все равны.

Если мы построим, например, две точки на окружности, вот так вот, А и Б, соединим их, то вот эта штучка будет называться хорда.

Что такое хорда?

Ну вот если бы я вот так взял бы ластиком и затер бы окружность, то это просто была бы...

Если бы я ластиком затёр бы окружность и оставил АВ, что это было бы?

Это был бы отрезок.

Но отрезок, который находится в окружности, называется хорда.

То есть хорда — это отрезок в окружности.

Это если от точки А дойти до точки В. А что если от точки А до точки В дойти по окружности?

То такая штука называется дуга.

То есть если, например, вы не можете по прямой дойти, да,

Вот здесь какой-нибудь крокодил сидит.

Не буду рисовать сейчас.

Если крокодил сидит, то вам нужно из точки А попасть в точку Б, но вы не можете по прямой идти.

Вы можете просто обойти по дуге.

Поэтому от точки А по прямой до точки Б это у нас хорда, если в окружности.

От точки А до точки Б, если у нас в окружности, это дуга, если идти по окружности.

Надеюсь, понятно.

Еще есть такая вещь.

Давайте другим цветом.

Еще такая есть как диаметр.

Так.

Вот так.

Ди-а-ме-тр.

Что такое диаметр?

Давайте запишем.

Во-первых, диаметр... У него есть много всяких свойств.

Во-первых, он делит окружность пополам.

Делит окружность пополам.

Давайте чуть шрифт уменьшим.

Делит окружность пополам.

Равен двум радиусам.

Да, то есть...

Вот радиус и вот радиус.

Вот они равны.

Что еще?

Он равен 180 градусам.

Ну, так как он окружность пополам делит, то будет 180 градусов.

То есть, одна половинка дуги 180, другая половинка будет 180.

Наибольшая хорда в окружности.

Хорда в окружности.

И проходит через центр.

Проходит через центр.

Вот это все правила у нас про диаметр.

Писанные центральные углы.

Давайте для начала нарисуем кружочек.

Поставим вот так вот три точки.

Например, А, Б. В центре обычно точка О стоит.

Если в центре будет уголочек, например, 60 градусов, то и дуга, на которую он смотрит, на вот эту, она будет 60 градусов.

Кроме центрального уголочка...

существует еще вписанный угол, который лежит не в центре.

Например, дуга будет 100 градусов, тогда угол будет 50 градусов.

То есть вписанный угол в два раза меньше, чем дуга, на которую он смотрит.

То есть центральный, который находится в центре, равен дуге, на которую смотрит, вписанный в два раза меньше, на которую смотрит.

Все довольно просто.

Давайте еще раз отпрактикуем.

Например, вот А, Б. Пусть у нас будет здесь и центральный, и, например, вписанный угол.

Например, вот этот будет 80.

Тогда дуга будет 80.

А вписанный, который на нее смотрит, будет в два раза меньше.

То есть 40.

Но это и внешне видно, что вот этот уголочек побольше, вот этот поменьше.

Тема касательная.

Так.

Когда я говорю касательное, всех как-то пугает, типа, ой, блин, касательное, что-то... Я не очень вообще даже понимаю, даже откуда это появилось, то есть, может, как-то в школах это сложно объясняют, но касательное одно из самых вообще простых правил имеет.

И давайте мы вместе повторим или запишем его.

Я не знаю, возьмем любую точку в центре, просто любую абсолютно случайную окружность, да?

Возьмем точку за окружностью, точка С, например.

А...

От точки С мы можем провести две касательных.

Ой, немножко кривовато.

Ну.

Ну.

Эть.

Вот, вот так вот.

То есть вот касательная, да?

То есть она касается вот в этом месте.

И от точки С мы можем провести.

Эть.

Была бы у меня линеечка, конечно.

Я бы поточнее провел.

Да е-мое.

Вот.

Ну, примерно здесь, да?

Вот мы провели две касательных.

И два очень простых правила.

Можете прям записать их сейчас.

Я не очень понимаю, в чем их сложность.

Радиус.

То есть из центра, когда мы проводим к точке касания.

Вместе с касателем 90 градусов.

Это невооруженным глазом видно.

То есть даже не нужно открывать учебник по геометрии, чтобы видеть прямой угол здесь.

Вот прямой угол.

Если вы в начале урока помните, что прямой угол.

Вот его видно.

Давайте проведем радиус.

Касательный и вот он прямой угол.

То есть ничего сложного.

А знаете, как звучит второе правило по касательным, которое еще проще?

Касательные равны... Вот касательная равна вот этой касательной.

И это все про касательные.

Мы сейчас еще немножко поговорим, когда касательная секуща.

Но по касательным это все.

Почему этого бояться?

Не знаю.

Ну, надеюсь, вы теперь знаете, что такое касательное.

Правило касательных.

И будете использовать их в теме окружности и не допустите ошибки.

Едем дальше.

касательной и хордой.

Ну, на самом деле, это просто вписанный угол, но просто он выглядит кривовато.

То есть, если у вас есть угол, вот идет касательная, да, и вот идет хорда.

То есть, вот эта хорда, да, вот эта, и идет касательная.

Так вот, вот этот уголочек будет просто равен половине дуги, на которую вот эта дуга, короче.

То есть, если дуга вот эта 60 градусов, то вот этот угол будет 30 градусов.

То же самое, что и вписанный угол, что мы проходили ранее.

Секущая и касательная.

Также есть такое правило, когда вот у нас насквозь проходит секущая и к этой точке есть касательная.

Есть такое правило.

Давайте мы запишем, что касательная в квадрате это секущая до, как бы, секущая до входа в окружность умножить на всю секущую.

Вот такое правило есть.

Если вы видите касательную секущую, можете пользоваться тоже.

Поговорим о вписанных и описанных фигурах.

Давайте для начала описанная фигура.

То есть, когда окружность находится внутри, окружность вписана, а фигура описывает.

И благодаря этому появляются разные всякие свойства из-за того, что там есть окружность.

Конкретно в этом случае можно записать, что площадь будет равна полупериметру умножить на радиус.

Если, например, у нас четырехугольник, то стороны, да, вот как бы вот эта сторона плюс вот эта сторона будут равны суммам вот этой стороны и вот этой стороны.

То есть a плюс b.

Равно С плюс 2.

Это доказывается не суперсложно, просто там из-за касательных.

Вот эта касательная равна вот этой, вот эта вот этой, вот эта касательная равна вот этой, вот эта вот этой.

И в итоге там окажется по 4 маленьких касательных там, по 4 маленьких касательных там.

И в итоге выходит такое правило, что суммы противоположных сторон равны.

Как-то так.

Бывает ситуация наоборот, когда фигура вписана, то есть окружность снаружи, а фигура вписана.

То есть, так называется еще раз, фигура вписана, окружность описывает.

Из этого тоже получаются всякие разные свойства.

Сейчас мы обо них поговорим.

Если у нас есть, например, четырехугольник, и вокруг него его описывает окружность, да,

то противоположные углы будут в сумме 180 градусов.

Это тоже несложно доказать, потому что вот эта дуга будет опираться вот на эту дугу, вот эта дуга будет опираться на вот эту дугу.

То есть, два угла опираются, грубо говоря, на всю окружность.

Но так как эти два угла вписаны, то они как бы в два раза меньше дуги.

То есть, если они описывают...

Если они опираются на всю окружность, вся окружность 360, то вписанные уголочки будут типа в два раза меньше, то есть 180.

Отсюда противоположные углы будут равны 180.

То есть если вот этот, грубо говоря, уголочек 120, вот этот уголочек 60.

Если вот этот уголочек 50, то вот этот уголочек 130.

Надеюсь, понятно.

Касательно трапеции окружности.

Если трапеция равнобедренная, то ее всегда можно вписать в окружность.

И это правило работает наоборот.

Если трапеция находится в окружности, то она только равнобедренная.

Ну вот это тоже доказать легко, потому что вот эти вписанные уголочки будут опираться на вот эти дуги, они равны, а следовательно стороны равны, значит она будет равнобедренная.

Поэтому если есть окружность и в ней находится трапеция, она равнобедренная.

И также наоборот, если трапеция равнобедренная, ее можно вписать в окружность.

Меня к последним видео очень часто просили записать такую тему, как теорема синусов и теорема косинусов.

У меня много видео на YouTube именно с тригонометрией, но почему-то никто их не смотрел, а вот именно хотят теорему синусов, теорему косинусов.

Ну, давайте пройдем, но если у вас записана формула, я не вижу никаких сложностей, чтобы решить теорему синусов.

Давайте мы нарисуем какой-нибудь треугольник.

Рисуем треугольник, да?

Допустим, давайте для начала формулу запишем.

То есть здесь, например, сторона А, маленький уголочек А. Здесь сторона В, маленький уголочек В. Здесь сторона С, маленький уголочек С. Так вот, теорема синусов звучит так, что мы сторону А делим на синус маленький А. Сторону В делим на синус В.

маленькой, маленькой b, сторону c. То есть отношение сторон и углов, и синусов, и углов будет одинаковое.

c делить на синус маленькой c. И можно еще сказать, что это равно двум радиусам.

Часто это используется.

Часто это используется, когда у нас есть, например, два уголочка и одна сторона, и нам нужно найти другую сторону.

Давайте немножко попрактикуемся, я покажу, как этим пользоваться.

То есть давайте попробуем воспользоваться теоремой синусов.

Что мы делаем?

Если один угол 60, 90, то вот этот угол будет 30.

И неизвестная сторона у нас делить на синус 60.

Это известная сторона на синус 30.

Синус 60 это корень из 3 делен на 2, если вы смотрели уроки по тригонометрии, хотя бы первый.

Ну, или по табличке посмотрите, когда, если вы будете сдавать УГ, и вам нужно это, у вас будет дана табличка значениями синусов, да?

Синус 30, это 1 вторая, и решаем просто крест-накрест.

Получится 1 вторая х равно 4 корень из 3 делить на 2, и там делить на 2, и там делить на 2, можем убрать, отсюда х равен 4 корня из 3.

То есть, опять же, я сам значение брал, поэтому немножко ответ кривой получился, но в целом база такая.

У вас даны два уголочка из сторона, вы как бы находите, ну из 180 вычитаете два уголочка, получаете третий уголочек, подставляете все под теорему синусов, пользуетесь табличкой и находите значение.

Вот для чего нужна теорема синусов, как ей пользоваться, надеюсь.

Если какие-то вопросы еще есть, напишите ниже, я постараюсь подробно как-то объяснить, да.

Возможно, вас просто в школе напугали этими таблицами Брахиса, Бравили, или как они там, где там каждый градус подписан какому-то значению, и у вас там сложно какое-то... Но в реальности, да, когда вы решаете геометрию, такого не пользуются, да.

То есть, если вы используете теорему синусов, это либо с неизвестными, либо с известными простыми значениями.

Следующая и последняя тема на сегодня это теорема косинусов.

Что это такое?

Она обычно используется, когда у нас даны две стороны и один уголочек.

И нужно, например, найти третью сторону.

Давайте запишем саму формулу и потом попробуем воспользоваться ей.

То есть звучит она... Давайте я какой-нибудь треугольничек сделаю.

Вот сторона А, здесь Б и С. И звучит она так.

То есть сторона в квадрате.

равна другой стороне в квадрате, очень похоже на теореме Пифагора на самом деле, просто при теореме Пифагора там не нужно на синус брать, плюс c в квадрате, значит, минус 2, похоже на формулу сокращения умножения, короче, вот если вы делали такое, и на косинус вот этого угла, да, вот этого маленького угла очка а,

То есть обычно нам даны две стороны и угол, и мы находим вот эту третью сторону.

В таких случаях используется теорема косинусов.

Давайте мы попробуем использовать.

Я какие-нибудь значения возьму.

Возможно, опять они будут кривые, но ничего страшного.

Допустим, 4, 5, и здесь, например, будет 60.

Давайте мы все подставим.

Эту сторону мы не знаем, это будет х. х в квадрате равно 4 в квадрате плюс 5 в квадрате минус 2 на 4 на 5...

На косинус 60. x в квадрате равно 16 плюс 25.

Минус 40.

Косинус 60 у нас это еще одна вторая.

x в квадрате равно 41 минус 20.

Если я все правильно посчитал, x в квадрате равен 21.

Ну, вроде как-то так.

А сюда x равен корень из 21.

Как-то так.

Как-то так.

Что ж, не знаю, насколько вышел этот урок, я думаю, что минут на 40, может быть, где-то 50, посмотрим, вот, в целом мы разобрали всю именно планиметрию, да, по геометрии, возможно, я не очень много практики использовал, да,

Я могу в целом отдельное видео записать по тому, как по номерам разобью задания.

И по отдельности каждому заданию можем проделать практику.

По типу, как мы делали математика с нуля.

Если вам понравилось данное видео по тому, как изучить всю геометрию, надеюсь, вы отблагодарите, поставите лайк усере, подпишитесь, все такое, скиньте дружане.

Мне было бы очень приятно, потому что это единственное, что продвигает канал.

С вами, как всегда, был Спартак Спартакович.

Увидимся на следующих уроках.