Вся стереометрия 10 класса за 90 минут

Если что, это я. Если кто-то не понял, это я. Это я, я вас обманул, поняли?

Это всё я был.

Чуть-чуть постараюсь структурировать.

Чуть-чуть постараюсь структурировать.

ту теорию, которая нам нужна.

И ту теорию, которую мы сегодня пройдем, что по вас в голове, хоть как-то, хоть немножко появилось какое-то видение всей теории, которую вы должны знать.

Я, понятное дело, что не буду расписывать абсолютно все в той схеме, которую я хочу показать.

Но основную часть, самые главные моменты я здесь подчеркну, чтобы вы в голове понимали.

Ага, вот это я знаю, это я знаю, вот это я не знаю.

Вот здесь надо посмотреть, и вот здесь я не знаю.

Поехали потихонечку.

Что у нас есть... Здравствуйте.

Можно мне?

Спасибо.

Что у нас есть в...

Во-первых, начинаем мы всегда с аксиом и следствий.

Аксиомы... Я тут не хочу размахиваться, потому что там сейчас может все запутаться.

Аксиомы и их следствия.

Мы с этого всегда начинаем, потому что кажется, что вот...

В планике у нас были тоже аксиомы, но, по факту говоря, как будто в задачах мы не сильно ими вообще пользовались.

Вот в стереоме мы часто пользуемся аксиомами стереометрии, потому что мы часто строим какие-нибудь сечения, а уже даже в построениях сечений мы используем аксиомки.

Дальше.

Параллельность.

Здесь у нас пойдет деление.

Вот когда у нас параллельность была с вами в...

в планике с 7 по 9 класс, то там разделения никакого и не было.

У нас была параллельность прямых.

И все.

Потому что на плоскости мы особо там разгуляться не можем.

Но здесь у нас будет некоторое разделение на, по сути, 3 пункта.

Какие у нас элементы в стереометрии есть?

Прямая, то есть параллельность прямых.

Параллельность прямой и плоскости.

И параллельность плоскостей.

Про это тоже сегодня мы что-нибудь позаписываем.

Позаписываем обязательно признаки, свойства, потому что в задачах мы используем это.

Что дальше?

Дальше, наверное, сюда же можно включить такой...

Ну, это не раздел стереометрии никакой, но это то, что мы часто используем в задачах при решениях, это сечения.

Потому что фактически вот те сечения, которые у нас есть в программе ЕГЭ, строятся тупо исходя из вот этих двух разделов.

Из аксиом стереометрии и свойств параллельности прямой плоскости.

поэтому сечение тоже сюда включаем их надо уметь строить мы сегодня чуть-чуть я надеюсь успеем их тоже построить палец ладно ради этого сохраню

Я сохраняю в последнее время, по-моему, всегда почти, я закидываю под уроками, есть заполненные, но это все равно, это не супер то, типа не надо надеяться, что такие, а, я не буду вообще веб смотреть, там посмотрю конспект заполненный, что-то пойму, не, так не работает, тут вот урок, вот он идет сейчас, да, то, что мы там пишем, это уже дело пятое.

И лучше, когда, конечно, вы записываете, потому что это прям бейс.

Что дальше?

После сечений, думаю, что надо поговорить про углы.

Мы про углы будем говорить и после параллельности.

Я сечение сюда просто ввел, потому что нам нужно вот это вот знать, чтобы строить сечение.

Давай про углы.

Какие у нас углы могут быть?

Между прямыми какими-то.

Между прямыми это скрещивающиеся, это пересекающиеся.

Прямыми.

Прямыми.

Между прямой плоскостью и между плоскостями.

Фактически мы говорим сегодня про углы между прямыми.

Про углы между прямой и плоскостью мы говорим, но только исходя из перпендикулярности.

Мы пока не рассматриваем другие, особо не решаем на них задачи, но мы все равно будем в дальнейшем рассматривать и решать на них задачку.

И между плоскостями мы тоже посмотрим в дальнейшем.

И у нас остается раздел перпендикулярности.

На самом деле, наверное, перпендикулярности.

Наверное, мой любимый раздел, потому что мне дико нравится перпендикулярность прямых и плоскостей.

Не знаю, почему-то вот мне так нравится, и теоремки оттуда нравятся, и свойства ТТП мне нравятся очень.

И надо хорошо понять эту тему, потому что в задачах мы тоже часто встречаемся.

Потому что тот же самый угол между плоскостями.

Мы начинаем строить, мы начинаем проводить какие-то прямые.

Ну, там перпендикулярность прямых типа, но часто мы приходим к перпендикулярности прямой плоскости и оттуда что-то еще находим.

Вот.

Посмотри расписание.

Двугранный угол, да.

Вот, это то, что сюда можно включить прямых, прямой плоскости плоскостей.

И пока фактически все.

Дальше там туда можно прописать какие-то там призмы, пирамиды, хериды и прочее, какие-то расстояния.

Но это будет потом, во-первых.

Во-вторых, фактически расстояние это не разделы, опять же, это просто какие-то однотипные задачи с одним и тем же вопросом, который мы как-то решаем теми или иными там алгоритмами.

Это все будет потом, и сюда уже особо не сильно подходит.

Вот.

То есть вот наши основные разделы, которые нам нужно посмотреть.

Окей?

Как со стереомой сейчас?

Ну, в школе-то у вас все равно есть.

Типа, даже у полторашек-то, даже те, кто не проходили.

Давайте от 0 до 5.

Как со стереомой сейчас у вас?

4, 0...

Люблю стерео, это круто, это клево.

Это клево, это клево.

Полтора из пяти, огромный ноль, один.

Слушайте, ну есть и пятерки, есть и пятерки, есть и много единичек.

Не буду читать такие комментарии, это смешно.

Впервые балл по геометрии выше, чем по алгебре.

Прикол.

Чуть-чуть расскажу по поводу блока, который у нас сейчас идет, по поводу двух блоков ближайших.

Потому что в этих двух блоках у нас будет и стереом, и алгебра.

По алгебре там всякие производные графики и прочее.

Что по стереоме у нас будет?

По стереоме мы теорию повторим, понятно.

Дальше у нас стоит вебы по...

Призмам по пирамидкам у нас стоят вебы по расстояниям от точек до плоскостей, по всяким расстояниям, короче.

И по углам, по-моему, между плоскостями тоже у нас веб есть.

Какая задача у нас есть, что я бы хотел?

Я бы хотел, чтобы мы разобрали все прототипы задачек из первой части.

Они там несложные, они там хорошенькие, легенькие.

Какие-то задачи на объемы, какие-то задачи на какие-то там углы.

Что там еще?

Объем?

Площади, по-моему, не помню, были, не были.

Такие примитивные легенькие задачки.

И хочется, чтобы помимо этого мы с вами поразбирали еще из стерео второй части.

Я думаю, что пункты А мы порешаем, пункты Б посмотрим уже по обстоятельствам, но пункты А я думаю, что мы можем забирать потихонечку под каждую тему.

вот вот такой план поехали ребятки поехали поехали писать я понимаю что вторая часть трем это сложная штука это сложная штука и решает ее там и

Вот столько людей, но пункт А можно забирать.

Пункт А можно забирать.

И вот вопрос еще, знаешь, на самом деле в том, что вот есть статистика по поводу того, сколько человек, какой процент ребят решает стереому, ну, каждую задачу из второй части.

Но я нигде в доке, в этом доке от FIPI, я нигде не нашел, кто именно считается решившим стереому.

Пункт А считается для них решившим стереому или нет?

Кажется, что им выгодно считать да.

А если так, то это все гораздо даже еще хуже.

Может быть, куратор подскажет, а может нет.

Это такие доки, которые мало кто читает особо.

Ну, объем шара мы посчитаем.

Поехали.

Ребятки, начинаем с аксиом.

Еще раз поясню.

Все, у нас времени мало.

Еще раз я что поясню?

Поясню, что аксиомами мы пользуемся стереометрией очень часто.

И кажется, что они понятные, логичные и так далее.

Но по факту

Ты такой, это все понятно, это все легко, потом ты смотришь на задачу такой.

Не, ну а почему я эти точки соединяю?

Я хз?

Ну я хз, но почему я эти точки-то соединяю, не знаю.

Вот, и здесь вот как раз и кроется, что вот такие моментики все равно кажется, что вроде легко, кажется, что понятно.

Не, я А1 никогда не пишу, я пишу просто аксиом стереометрии.

О, стереометрии.

В стереометрии.

Так правильно.

От слова мамы.

Поехали.

Первый аксиом стереометрии.

Через любые две точки, не лежащие на одной прямой... Две, господи, планик ушел.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна.

И мы этим тоже пользуемся.

По факту, когда нам дают построить сечение, нам дают часто, часто не всегда, но часто дают три точки.

И они уверены в том, что мы построим.

Почему?

Потому что через три точки проходит всего одна плоскость.

Причем не лежащий на одной прямой.

Через любые три точки.

Проходят плоскости, притом только одна.

И притом...

Только одна.

Короче, в школах часто, когда аксиомы проходят вот этим... Давайте нарисуем.

То есть три точки не должны лежать на одной прямой.

И через них проходит только одна плоскость.

В школах часто, когда проходят стереому, говорят...

Табурет на трех ножках всегда устойчивее, чем на четырех.

Потому что три точки фактически всегда найдут плоскость.

Почему штативы для камер на трех точках?

Потому что...

Ну, штатив предполагает, что ты его можешь использовать в разных местах, типа и в поле, и на асфальте, и где угодно.

И штатив всегда плоскость найдет.

Поэтому 3 всегда лучше для устойчивости, чем 4.

Но есть нюанс, конечно, там с... Как это?

С... Господи.

С тем, что ты можешь на табуретке сидеть, да, криво как-то и прочее-прочее.

Причем только одна, да, да.

Притом, притом.

Не причем, притом.

Поэтому, типа, ну, три точки плоскость находит.

Но это так, это больше для, знаешь, чтоб ты, типа, сравнение какое-то провел и запомнил это аксиом.

Больше смысла здесь, конечно, нет.

Дальше.

Вот это как раз полезная аксиома для построения сечений.

Если...

Две точки прямой.

Хотя кажется, смотри, как примитивно.

Лежат в плоскости.

То и вся прямая лежит в этой плоскости.

Есть точки.

Соответственно, вся прямая будет лежать в этой плоскости.

Мы этой аксиомой пользуемся при построении сечения.

У нас есть сечение.

Нам говорят, надо построить сечение какого-то кубика.

И мы такие, а видим там, там даны какие-нибудь две точки.

Ну давай, набросаем просто.

Даны две точки вот здесь и вот здесь.

И мы такие, а, соединим их.

А почему мы их соединим?

Да потому что если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая, она не может вот так идти.

Вот так она не может идти.

Она должна обязательно лежать в этой плоскости.

Третье.

Если две плоскости имеют

то они всегда пересекаются по общей прямой.

то они всегда пересекаются по общей прямой.

То есть они имеют какую-то общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

То есть смотри.

Есть у меня какой-нибудь вот такой рисунок.

Вот такая плоскость треугольника.

Вот такая плоскость лужи.

Если есть общая точка, значит есть и общая прямая.

Почему?

Ее здесь нет.

Почему она есть?

Чат, я не понимаю.

Я не понимаю.

Наверное, это ошибка была.

О!

Потому что плоскости бесконечны.

Потому что плоскости бесконечны.

Я плоскость здесь вот такую нарисовал АБЦ, но она дальше продолжается, она дальше идет.

И пересекаются мои плоскости всегда по одной прямой, на которой эта точка тоже лежит.

Эта точка тоже будет лежать на этой прямой.

Понятно?

Это я еще матфаку объяснял и обращал внимание.

Я сейчас хочу полторашкам обратить внимание.

Ребятки, плоскости бесконечны.

Прямые бесконечны.

Да, у нас на рисунке может плоскость быть задана треугольником ABC.

Но я понимаю, что эта плоскость продолжается.

Я понимаю, что прямая BC также бесконечна.

Я понимаю, что прямая ABC также бесконечна.

Прямая не сторона, а прямая ABC также бесконечна.

И я это использую.

Я использую это при решении задач, при построении сечений.

Откуда этот метод следов?

Кто стереому в школе делал хоть чуть-чуть?

Метод следов при построении сечений.

Откуда он?

Да не откуда.

Он выходит из того, что у тебя есть прямая.

Которая бесконечна.

А одна прямая пересекает другую прямую.

И получается след.

Получается точка их.

Понятно?

Имейте в виду.

ДЗ не делал.

Ай.

Следствие за всем.

На самом деле это фактически способы задания плоскости.

У нас два способа.

Мы не будем тут много расписывать, ничего.

У нас два способа таких основных, которые задают плоскость.

Это через прямую точку, не лежащую на прямой.

Типа вот есть прямая, да?

Прикинь.

Тяжело.

Вот точка, да?

Вот прямая.

Вот прямая.

Вот она.

Вот она удерживает плоскость от чего?

От вот такого, да, поворота?

Вот если она вот на ней.

И точка, которая удерживает фактически плоскость от поворота.

Вот она.

И вот плоскость.

Смотри, волшебство.

Это магия.

Это была магия.

Мне так нравится это.

Хе-хе.

Давай здесь прям две этих штуки запишем.

через прямую и точку, не лежащую на прямой, и через две пересекающиеся прямые, проходит плоскости, и при том только одна.

То есть здесь только одна такая плоскость, и здесь только одна такая плоскость.

Почему?

А потому что на прямой любой есть две точки.

Получается, есть одна точка, там С, есть вторая точка, есть третья точка, а по первой аксиоме стереометрии через три точки проходит плоскость, а потом только одна.

Здесь та же самая ситуация фактически.

Параллельные прямые в пространстве.

Что мы говорили про параллельные прямые, когда у нас была планиметрия?

Да ничего.

Мы говорили определение, да, какое давали.

Мы давали определение, что прямые параллельны, если они не пересекаются.

Так?

Так.

Что изменилось?

Изменилось то, что появилось пространство.

И теперь мы говорим все так же, но чуть-чуть добавляя.

Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, не имеют общих точек, не пересекаются, и, второе, лежат в одной плоскости.

Если они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Почему появилось уточнение?

Есть прямая.

Есть вторая прямая.

Ну, как будто они не выглядят параллельными, да?

Как будто не выглядят.

Поэтому мы говорим, чтобы для того, чтобы мы их могли называть параллельными, они должны лежать в одной плоскости.

Вот таким образом.

Понятно?

Понятно.

Давайте про свойства поговорим чуть-чуть.

Ну, это такие тоже понятия.

Примитивные свойства.

Примитивные свойства.

И кажется, что они были еще и в планике.

Что непонятно.

Во-первых, через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую параллельную данной прямой, и при том только одну.

Это еще в планике у нас было.

Параллельную данный прямой.

И при том только одну.

Второе.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость.

Ладно, чуть напишем, а то опять скажешь, что бумагу не экономишь.

И вторая прямая пересекает эту плоскость.

Плоскость.

Раз.

Два.

Если, давайте чуть-чуть вспомним, а параллельно b, а пересекает плоскость альфа, то и b будет пересекать плоскость альфа.

Окей.

Да.

Окей, ребята.

Ну, кажется, что типа... типа проблем-то нету.

Вроде бы пока все совсем логично, понятно, примитивно, наверное, больше, да?

Окей, окей.

Давай вот так запишем.

Смотри.

Смотри.

Если А параллельно С, B параллельно С, то А параллельно B. Если две прямые параллельны,

Третий прямой.

Третий прямой.

То они параллельны.

Если прямая B будет бесконечно далеко от А, она будет пересекать?

Конечно, конечно.

У тебя что, прямые, что плоскости бесконечно.

Хоть ты разведи туда.

Я не знаю, правда, если с одной стороны земного шара и с другой стороны.

Вот тут... Вот это тяжело, конечно, будет сказать.

Вот если дырку просверлить вот так в плане... Смотри, еще раз.

Что мы рассмотрели?

Мы посмотрели аксиомы.

Это что такое?

А, это я продлял, да, я понял.

Мы посмотрели аксиомы, посмотрели следствия.

Дальше параллельность прямых.

Объясните первое свойство.

Вот это?

А что тут объяснять?

Да оно еще из планника просто идет.

Есть прямая, есть точка.

Через эту точку может пойти только одна прямая параллельная данная.

Только одна прямая параллельная данная.

Почему?

Видите, доп-вопросы, доп-вопросы от меня.

Почему?

Почему?

Вот так и запишем.

Потому что другие не про... Так, еще варианты.

Сколько плоскостей мы можем провести через прямую точку, не лежащую на прямой?

Только одну.

То есть только одну плоскость я могу через них провести.

Соответственно, в этой одной плоскости через эту точку может пройти только одна прямая параллельно данной, потому что если пройдет еще одна прямая, то эти прямые будут пересекаться, так не работает.

Понятно?

Задавайте себе почаще эти вопросы, чтобы скучнее было.

Понятно?

Понятно.

С прямыми посмотрели.

Теперь с прямой плоскостью.

Вот прям максимально часто используем.

Вот прям максимально часто используем.

Попробуйте понять.

Ладно, здесь нет ничего такого... А ничего тот факт?

Нет ничего...

Прям стыдно за свое поведение.

Прям очень стыдно.

Меня тикток очень портит, извините.

А теперь про параллельность прямой и плоскости.

Что у нас вообще может быть?

Какое у нас расположение прямых и плоскостей может быть взаимное?

Понятно, взаимное.

У тебя прямая может лежать в плоскости.

Прямая

Может пересекать плоскость.

Да нет, за два часа справимся, я думаю.

И прямая может быть параллельна плоскости.

Сейчас про параллельность.

Но две прямые, которые параллельны, понятно, нет общих точек.

Прямая параллельна плоскости.

Это прямая, которая не имеет общих точек с этой плоскостью.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет общих точек с этой плоскостью.

Но опять, а ничего тот факт, что в планике у нас были признаки параллельности прямых?

Мы говорили, что...

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Мы же не рисовали эти параллельные прямые до бесконечности, не проверяли, что они не пересекаются, правильно?

Но кажется, что здесь тоже вряд ли мы будем рисовать плоскости прямые до бесконечности.

Поэтому должны быть какие-то признаки.

Мы же должны как-то доказывать, что...

Та или иная прямая и та или иная плоскость, они параллельны.

Поэтому признак, который мы часто используем.

Если прямая... А давай этот?

Давай, знаешь, что?

Давай рисунок сначала сделаем, а потом вместе запишем теоремку.

Мне так больше нравится.

Буковками будем писать, буквами.

Смотри.

Если а параллельно прямой b, и b лежит в плоскости альфа, то а параллельно альфа.

Ну, типа вот так их даже легче запоминать по факту.

Если прямая, не лежащая в данной... Ой, я не написал.

Что А не принадлежит, не лежит в плоскости альфа.

Не лежит в плоскости альфа.

А то вдруг она лежит.

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельно любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, она параллельна данной плоскости.

А теперь с вами.

Если прямая, не лежащая...

в данной плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельно

самой плоскости а буквами я вот все написал буквами я вот написал окей и

Окей, то есть еще раз в задачу увидели прямую параллельную какую-то плоскость.

Ну, пример, вот пример, давай примитивненький.

Вот есть у нас опять параллелепипед прямоугольный, да, ну так примитивнее всего.

Вот есть прямоугольный параллелепипед.

И мы такие, так, вот здесь там А, А1, да, Б, Б1.

Мы такие, так, смотри, смотри, смотри.

АА1 параллельно ББ1, так ведь?

А ББ1 у нас лежит, давай только назовем СС1.

А ББ1 у нас лежит в плоскости ББ1С.

Отсюда мы получили, что АА1 параллельно вот этой плоскости ББ1С.

Пон?

Типа смотри, вот она.

Вот она.

Прямая, параллельно этой прямой, лежащей вот в этой нижней плоскости.

Значит, это прямая параллельно всей этой плоскости.

Окей?

Я боюсь, что я стоя не вынесу этого.

Это тяжело.

Ребятки.

Пон.

Угу.

А теперь свойства.

У нас есть два свойства.

Который мы очень часто тоже используем.

Поехали.

Аккуратно, не торопясь.

Давай опять попробуем с рисунка начать.

У меня рисунок на той стороне, что ли, место?

А, нет.

Смотри.

Смотри.

Вот.

Есть прямая.

Чат.

Сейчас без лишних вопросов.

Посмотрите.

Посмотрите.

Важно.

Блин, потом будете спрашивать, а почему у нас тут прямые параллели?

Смотри.

Есть прямая.

Так?

Есть плоскость?

Размахнулся слишком.

Есть плоскость?

Так?

Ну, пойдет, ладно.

Вот смотри.

Если прямая А параллельна плоскости α,

Если прямая А параллельна плоскости альфа.

И есть какая-то вторая плоскость.

Давай другим цветом каким-нибудь.

Есть какая-то плоскость, которая проходит через прямую А и пересекает эту плоскость альфа.

Ну, понятно, я криво нарисовал.

Понятно, что это плоскость.

И пересекает плоскость альфа по какой-то новой прямой.

По прямой B, лежащей в плоскости альфа.

то что я буду знать?

Я буду знать, что прямая А параллельна прямой В. Это мы часто используем.

И причем вот это свойство, вот как по мне, его в задачах бывает тяжело увидеть.

Вот реально тяжело увидеть в задачах.

Ну, я говорю про такие, про объемные сложные задачки.

И типа ты такой сидишь, смотришь.

Надо доказать, что параллельно.

А там плоскость эта идет как-нибудь вот так вот, вот там сзади.

А как я это буду тут непонятно что-то делать?

Надо всегда иметь в виду, что вот доказательство параллельности прямых, каких-то прямых, да, очень часто можно провести через вот эту штуку.

И просто искать это.

Просто искать, типа, глазами сидишь и ищешь.

А, вот здесь пошла плоскость.

И эта же штука у нас очень часто используется в построении сечений.

Очень часто используется в построении сечений.

То есть давай сейчас буквами записываем.

Буквами.

Прямая А параллельна плоскости альфа.

Дальше.

Прямая А лежит в плоскости бета.

Так, мы сейчас описываем картинку и дальше сделаем вывод, что происходит.

Прямая А лежит в плоскости бета.

Плоскость бета пересекает плоскость альфа по прямой b.

прямой бы и чё у нас получилось у нас получилось что а параллельно понятно понятно

Гош, у тебя сейчас перерыв.

Мы сейчас вообще херню занимаемся.

У тебя прямо сейчас.

Сейчас прямо.

Иди.

Давайте запишем.

Если... Давай так.

Если плоскость проходит через...

прямую параллельно данной плоскости и пересекает ее, то эта прямая

Будет параллельно их общей прямой.

Давай вот так.

Параллельно их общей прямой, то есть вот этой прямой их пересечения.

То прямая... Не понял.

То прямая, по которой не пересекать.

Это к чему?

Не понял, не понял.

Второе свойство... Ну, не скажу.

Вот оно уже пореже как будто бы.

Давай, наверное, опять...

Давай опять рисунок.

Есть у нас прямая.

Есть у нас плоскость.

И у нас два случая будет.

А так?

Смотри.

Ой, ой, ой.

Это а, это b, это альфа, альфа.

Если одна из параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая

также параллельно плоскости или лежит в ней то есть если прямая

есть две параллельные прямые, и а параллельно альфа, то мы получаем что?

Или b параллельно альфа, или b лежит в плоскости альфа.

Поехали.

Короче, что у нас сейчас было?

У нас сейчас была прямая плоскость, параллельность.

Сейчас переходим к расположению прямых в пространстве относительно друг друга.

Какое расположение прямых у нас есть?

Во-первых, прямые могут пересекаться.

А если они пересекаются, они как будто бы точно лежат в одной плоскости.

Мы это записывали где-то вот тут.

Потому что через две пересекающие прямые всегда проходим плоскость.

Прямые могут быть параллельны.

И тогда они тоже лежат в одной плоскости.

Почему?

Потому что мы записали это, что параллельные прямые, это прямая, которая не имеет общей точки.

Где это все такое?

Вообще не то.

Вот она.

Они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Есть еще один тип прямых.

Которые не эти, не эти.

Вот я предполагаю, что это вот так было, типа, они такие, блин, ну вот когда вот так, когда вот так, понятно, когда вот так, тоже понятно, а чё когда вот так, вот так, это как тогда, это как вот, если вот так вот, типа, это как?

Это вот, это, типа, это не вот так, это как-то вот третий вид.

Это, типа, есть какая-то одна прямая, есть какая-то вот так другая прямая.

Тут пространство, конечно, тяжело нарисовать, но вот, типа, вот так.

Это у нас пересекающаяся, это у нас параллельная.

И не то, не то, это у нас скрещивающаяся.

Что это такое за прямые?

Как их охарактеризовать предложением одним?

Это прямые, которые не лежат.

В одной плоскости.

Не имеют общих точек и лежат в разных плоскостях.

А надо ли здесь вот указывать, что они не имеют общих точек?

Или то, что они не лежат в одной плоскости, уже предполагает, что у них общих точек нет?

Ребятки.

Вот тоже, не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

Если они пересекаются, то они точно лежат в одной плоскости.

Потому что через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, при этом только одна.

Если они по умолчанию не лежат в одной плоскости никогда, ни при какой ситуации, это значит, что они и не пересекаются, и не параллельны.

Понятно?

Это вот определение.

Это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Но есть признак, который нам...

который нам позволяет как будто бы лучше представить, как это.

Типа вот мне он очень сильно в своё время... По-моему, я долго не в школе, я такой... Ну как это такое?

Это как?

Ну вот... Я почему... Я долго не мог принять факт скрещивающихся прямых.

Я вроде и понимал, ну типа вот так когда.

Но я долго не мог в голове как-то это уяснить.

А как вот так?

Ну что, я пальцами что ли буду показывать?

Как же, знаешь, вот так?

Есть признак скрещивающихся прямых.

который на самом деле помогает визуализировать.

Смотри.

Если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая эту плоскость как-нибудь вот так пересекает, то эти прямые как раз и скрещиваются.

То есть

Возьми любые, вот они, да, две прямые, вот видите, 3D.

Что это такое?

Вот смотри, прикинь.

Вот есть плоскость, в которой лежит черная прямая.

А белая прямая, эта плоскость пересекает.

Причем не пересекая ту черную.

Ребята.

Понятно?

Понятно.

Давайте буквами сначала.

А, Б, альфа.

Смотри.

Если, получается, Б у нас лежит в какой-то плоскости альфа, а прямая А эту плоскость альфа пересекает в какой-то точке А, например, причем А не принадлежит прямой Б, то А и Б скрещиваются.

И вот это визуализировать мне было, ну, сильно легче.

Я такой, а, ну вот так, типа.

Понятно?

Если... Как запишем?

Две применения, давай так.

Одна из двух прямых лежит в плоскости.

А вторая прямая пересекает эту плоскость.

Причем в точке, не лежащей на этой прямой.

Если А принадлежал Б, то это уже пересекающаяся.

Да, да, да.

То А и Б, получается, пересекающиеся.

А вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей.

на этой прямой, какой этой хрен знает, понятно, короче, то эти прямые скрещивающиеся, эти прямые скрещиваются.

Вот так, скрещиваются прямые.

Скрещивающиеся, наверное, лучше.

Скрещиваются прямые.

Блин, я так не говорю.

Так говорят скрещиваются, интересно.

Прямые скрещиваются.

То эти прямые скрещивающиеся.

Скрещивающиеся.

Мы же не говорим эти прямые параллельности.

Говорят, скрещиваются АКЗ.

Ладно, я загоняюсь.

Погнали дальше.

Свойства скрещивающихся прямых.

Ну, я не скажу, что мы его часто используем, но тем не менее, хорошо его знать.

Хорошо его знать.

Смотри.

Есть скрещивающиеся прямые.

Я могу через любую из этих прямых провести плоскость такую, что она будет параллельна другой прямой.

Вот, я провел плоскость такую, что она параллельна моей вот этой прямой.

Понятно?

Понятно.

Ну, давай спешим.

Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость параллельную другой прямой.

Существует такая альфа, что b, лежащая в альфа,

И альфа параллельно а. Вот так.

Записали плюс.

Записали плюс.

Угу, угу.

Угу.

Угу.

Чуть-чуть про сонаправленные лучи, про углы с сонаправленными сторонами.

Ну, потому что школьная программа, она там так идет.

Давайте чуть-чуть поговорим.

На самом деле, ну, очень тоже примитивная штука, но хорошо, когда ты это знаешь, потому что в задачах есть чем оперировать.

То есть ты такой, это и так видно, это не совсем работает.

Во-первых, что такое сонаправленные лучи?

Вот у нас есть плоскость.

Есть плоскость.

Есть прямая, которая поделила эту плоскость на две полуплоскости.

Вот одна полуплоскость, вот вторая полуплоскость.

Есть лучи.

Вот точки.

Есть лучи, которые параллельны и лежат в одной полуплоскости.

Эти лучи мы называем сонаправленными.

То есть сонаправленные лучи – это лучи параллельные и лежащие…

в одной полуплоскости.

Понятно, что это?

То есть вот такой луч, вот такой луч и вот такой.

Я не могу сказать, что они противоположно направлены.

А вот эти два, они лежат в одной полуплоскости и параллельны.

Нахрена мне это знать?

Зная это, я могу объяснять, почему определенные углы равны.

Постараемся так.

Смотри.

Есть здесь два луча сонаправленные.

Есть здесь какие-то два луча сонаправленные.

С и Д сонаправлены.

Лучи.

Отсюда получаем, что вот такой уголок будет равен вот такому уголку.

То есть угол между А и С будет равен углу между В и Д. Углы между сонаправленными... Наоборот, не так, подожди.

Подожди, вот так.

Если стороны углов

соответственно сонаправлены, то и эти углы равны.

Вот так.

А то как будто кажется, что они между собой сонаправлены.

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены,

такие углы равны мы решали задачки вот на матфайк когда мы практику там может посмотреть в первом блоке постели когда решали вот практику на эти темы там были задачки которых мы использовали вот эту штуку то есть те же нужно как-то такой да блин ну и так понятно ну ну типа понятно и вот такая темка

Темка.

Как угол между скрещивающимися прямыми.

Я же говорил, что углы тоже посмотрим.

Смотри, давай, наверное, начнем только с чего?

Начнем с углов между пересекающимися прямыми.

Вот.

Есть у меня две пересекающиеся прямые.

Вот прям, я их правильно нарисовал.

Вот прям вот такие чертежи этих углов.

Во-первых, чат, скажите мне, какой угол альфа или... Ладно, альфа или бета вы хрен напишите в чат.

Один или два.

Какой угол является углом между двумя этими пересекающимися прямыми?

Считайте, что это чертеж, что тут все верно.

Во-первых, угол между...

Пересекающимися прямыми.

Это именно острый угол.

Мы когда говорим, находим, говорим, рассматриваем угол между двумя пересекающимися прямыми, мы говорим именно про острый угол.

Вот он угол между ними.

Вот он угол между прямыми.

Понятно?

Если мы где-то в ответе там напишем, там нас попросят найти угол между пересекающимися прямыми, да, в плане какого-то, ну, условно, в стерео, не в стерео, и мы напишем угол 135 градусов, это будет ошибка, потому что надо было найти смежный с ним тогда.

Понятно?

Ведущий вообще, главное выше ведущего.

Я был ведущим.

Я вел.

Я ввел.

А теперь уже про углы между скрещивающимися.

Давай изобразим скрещивающиеся.

Как-нибудь.

Давай плоскость сначала.

Сюда.

Сюда.

Вот есть прямая.

Есть прямая, которая пересекает эту плоскость.

А, Б.

Как мы находим угол между скрещивающимися... Как между пересекающимися... Ну, довольно понятно.

Как находить угол между скрещивающимися прямыми?

Мы одну из параллельных прямых... Одну из скрещивающихся прямых.

Параллельно переносим таким образом, чтобы они пересеклись.

Что прямую А, что прямую Б. Переношу прямую Б параллельно.

Блин, это криво совсем.

Б' получил.

И получаю, что вот такой уголок, это мой искомый угол.

То есть угол между B и прямой A, он будет равен B' и A. Причем B' параллельно прямой B. И он тоже острый.

И он тоже острый.

Понятно?

И в задачах мы это часто используем.

В задачах часто используем.

В задачах можно просто... Да, да, да.

Ну смотри, опять какой-нибудь примерчик.

Сейчас накину.

Вот есть кубик, чтобы не заморочиться было.

Есть кубик.

Так.

Нужно найти угол между вот такой прямой и вот такой прямой.

Ну, тут она по пунктирчикам должна быть.

Сейчас я ее сделаю правильно.

Вот такой прямой.

Мы можем вот эту прямую перенести, например, сюда.

Вот она.

Вот она.

Мы же знаем, что ребра куба параллельны.

И получаем тогда 45 градусов.

Понятно?

Вот он, параллельный перенос.

Мы говорим там А, Б, параллельно там С, Д. Отсюда... Е пускай.

Отсюда угол между А, Б и Д, Е будет равен углу между С, Д и Д, Е.

А если просто плоскость, можно ли сама начертить?

Просто так нет.

Просто так нет.

Ну, типа, начертить-то ты можешь, и это нужно сделать будет, скорее всего.

Но если это какая-то просто, вот прикинь, вот так, да, у тебя, это какая-то рандомная прямая, а дальше что с ней делать будешь?

Типа, вот ты же не знаешь вот этот угол сейчас?

Ну, какой-то угол.

То есть, когда мы говорим об угле между скрещивающимися прямыми, параллельный перенос должен нам давать решение.

Ты написал угол между пересекающимися прямыми?

Ну да.

Так это же вот для этого рисунка.

Вот для этого рисунка.

Я сначала пояснил, что такое угол между пересекающимися прямыми.

Почему я пояснил так?

Потому что угол между скрещивающимися прямыми мы не умеем находить.

Мы из скрещивающихся делаем пересекающиеся.

Вот.

Параллельный перенос.

Понятно?

Почему 45?

Да угол... Это диагональ кубика.

Диагональ квадрата.

Господи.

Эти равны, здесь 90, здесь 45.

Получается 45.

Понятно?

Теперь, то есть еще раз, про параллельные прямые поговорили, про параллельную плоскость поговорили.

Чуть-чуть про параллельные плоскости.

Что такое параллельные плоскости?

Это плоскости, которые не пересекаются.

Это плоскости, которые не пересекаются.

Но опять возникает какая проблема?

Возникает какая проблема?

Проблема в том, что кажется, что чертить до бесконечности тоже такое себе.

Поэтому у нас опять есть какой-то признак параллельности плоскостей.

То есть еще раз, резюмируем чуть-чуть.

Я хочу возвращаться периодически назад.

Резюмируем чуть-чуть.

Когда мы говорили про параллельность прямых, у нас там накослежащие равны должны были быть, чтобы прямые параллельно соответственны, односторонние и так далее.

Когда мы говорили про прямую и плоскость, мы говорили, что прямая должна быть параллельно прямой, лежащей в плоскости.

А теперь признак параллельности просто плоскостей.

Записываем.

Ну или можем рисуночек сначала сделать.

Давай рисуночек сделаем.

Пук.

Пук.

Админ пишет.

ДЗ дропаю.

Через пару часов.

Если а и b лежат в плоскости альфа, а1 и b1 лежат в плоскости бета.

Дальше что?

Если а пересекает b1, а1 пересекает b1.

и а параллельно а1, b параллельно b1, то альфа параллельно бета.

То есть, если две пересекающиеся прямые

лежащие в одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости,

то эти плоскости параллельны.

It's okay.

It's okay.

Ну, как будто несложно, да?

Как будто понятно.

Как будто понятно.

Как будто понятно, да?

Типа, две пересекающиеся прямые одну плоскость зафиксировали, вторую плоскость зафиксировали, и так как они параллельны, они типа вот дали их параллельность.

Логично довольно, логично, логично.

Пойдем дальше.

Ну уж меньше половины.

Там вообще рисунки, там сечения вот так бахнем, мы пойдем дальше.

А вот теперь свойства параллельных плоскостей, которые мы тоже очень часто используем.

Всеволод, я сейчас тебя забаню.

Ты отвлекаешь всех.

Всеволод, ты что-то хулиганить начал.

Не отвлекайся.

И сам, и людей, и сам.

И вообще пишем все.

Пишем.

Свойства параллельных плоскостей мы используем его очень часто при решении задач.

Как вот это свойство, которое, помните, я сказал, если через прямую параллельную плоскость проходит плоскость, то она пересекает по прямой параллельной данной плоскости.

Здесь.

Если... Давай рисунчик тоже сделаем.

Бабахнем как.

Сейчас как бабахнем.

И... Огурцы.

Ну ладно.

Опа.

Опа.

Альфа.

Бета.

Смотри.

Если...

Альфа параллельна бета.

Вот если две параллельные плоскости.

Это свойство, если мы знаем, что плоскость параллельна.

И есть какая-то плоскость, которая эти плоскости пересекает.

То она пересечет их по прямым, которые будут параллельны.

Давай буквами.

Если альфа параллельна бета, гамма пересекает альфа по прямой а, гамма пересекает бета по прямой b, то мы получили, что а параллельна b.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линия их пересечения

Ну, когда красный огурец пересекает два параллельных синих, то линии пересечения огурцов будут параллельны.

Давай.

Давай.

Давай.

Давай сюда же.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, будут равны.

Отрезки АА1 и ББ1 будут равны.

Ну, если альфа параллельна Б, то А и Б параллельны.

Окей.

Мы доказывали, кстати, вот то, что ты говоришь.

У нас были задачки, да?

Вот так красиво.

Вот так красиво.

Чуть-чуть, совсем чуть-чуть про многогранники.

Ребят, на самом деле не так много осталось.

Не так много.

Чуть-чуть про многогранники.

Просто пробежимся.

Просто вот прям слегка.

Что такое тетрайдер?

Что такое тетрайдер?

Я знал, что такое тетрайдер.

Это трайдер, это многогранник.

И по факту, вот по факту, из чего он состоит?

Состоящий из треугольников, каждая грань которого является треугольником.

Все.

Все, типа.

Все.

Все.

Тетрайдер... В чем суть?

Ну мы сейчас это не будем сильно углубляться сюда.

В чем разница между правильным тетрайдером и правильной пирамидой?

В правильной пирамиде основание.

В основании лежит правильный треугольник.

То есть только в пирамиде, в правильной, только вот этот треугольник равен между собой.

А в правильной тетради все ребра между собой равны.

Вот в чем разница.

Я тоже путался.

Я тоже до сих пор путался.

Вот так.

Есть риск, конечно.

И параллелепипед.

Тоже пару слов.

Вот так сделаем.

Так, сюда, сюда, сюда, сюда, сюда.

Что такое в пирамиде основания?

Не-не, у нас же есть треугольная пирамида.

Есть четырехугольная, есть пятиугольная.

Треугольная пирамидка, если это просто рандомная треугольная пирамидка,

Это и есть тетраэдр, если это рандомное, если нет уточнений никаких.

Фактически тетраэдр и просто рандомная пирамидка треугольная — это одно и то же.

Про параллелепипед.

Что стоит сказать?

Стоит сказать, что у нас в основаниях лежат параллельные... Во-первых, эти плоскости параллельны.

во-вторых, они равны, то есть это одна и та же фигурка.

Фактически, ну, есть у нас свойство, что

что противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

Это то, что мы и сказали.

И второе, что диагонали параллелепипеда пересекаются, и точка пересечения делится пополам.

Мы сейчас это не будем использовать, мы это будем использовать позже.

Я думаю, что все понимают, что параллелепипеды, противоположные грани параллельны и равны.

Типа, ну...

пока просто пусть мы это проходили мы там решили задачки я так понимаю что все знаю что параллельно что такое тот райдер мы с вами тоже изобразили то есть это просто тетра этот райдер это многогранник состоящий из треугольника есть какая-то есть треугольничек есть .

не лежащего на плоскости то

Сечение чуть-чуть построим.

Все, ребятки, я надеюсь, что за полчаса управимся.

Ладно?

Я надеюсь, что за полчаса управимся.

Построение сечения.

Давайте еще раз проговорим те факты, которые нам нужны для того, чтобы строить сечение.

Я не говорю сейчас про какие-то супер жесткие сечения, в которых там надо проецировать какие-нибудь точки.

Мы говорим про сечения, про те сечения, которые 99% кегешных задач.

Во-первых, если две точки прямой лежат в одной плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

То есть, если ты в плоскости увидел две точки, в плоскости сечения, лежащие в одной плоскости.

Если ты увидел две точки сечения, лежащие в одной плоскости, ты их соединяешь.

Увидел две точки в одной плоскости, соедини.

Второе.

Если...

Плоскость проходит через прямую параллельную другой плоскости, то она пересекает ее по параллельной прямой.

Это мы тоже зарисовали.

И третье.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Это мы тоже изобразили.

Построим чуть-чуть.

Стрим завис.

Это только у тебя.

Спасибо.

Построим чуть-чуть сечения.

Чуть-чуть.

Вот прям чуть-чуть.

Готовы?

Чуть-чуть.

По факту все.

Все.

Три этих.

Все.

Все.

Построим.

Нужно, ну, через точки А, Б и С. А, А, Б лежат в одной плоскости?

Лежат.

Б, С лежат в одной плоскости?

АС лежат в одной плоскости.

Лежат.

Есть сечение?

Есть.

Вот оно.

То есть, когда точки... Заметьте, да?

Когда точки лежат в одной плоскости, мы просто их соединяем.

АС, да?

Чуть-чуть усложним.

Чуть-чуть усложним.

Давай, ладно, здесь.

АС лежат в одной плоскости?

Лежат.

АБ лежат в одной плоскости?

Лежат.

Только там пунктирчик, да, и там пунктирчик.

В чем проблема?

В чем проблема?

В чем проблема?

Проблема, что B и C не лежат в одной плоскости.

И нам как-то вот надо замкнуть с этой стороны рисунок.

А вот... Ну, все понимают, что такое сечение?

Я на всякий случай спрошу.

Все понимают, что такое сечение?

Что вот как будто ножом взяли и через три этих точки прошли.

Нам нужно понять, какая плоскость получилась.

Вот.

Проблема в том, что B и C не лежат в одной плоскости.

Давай думать.

Давай думать.

Вот.

Я помню, что я говорил себе, что прямые бесконечны.

Да?

Вот.

В том числе и здесь.

Я могу продлить от С?

Могу продлить от С. Я могу продлить вот эту вот вымышленную какую-то прямую хрену знаю какую.

Вот эту вот.

Я ее еще не называю.

Совсем облинился.

Могу продлить.

Получу какую-нибудь точку Е.

Точка Е и точка Б лежат в одной плоскости?

Лежат в одной плоскости, потому что точка E лежит на этой... Давай, ладно, там.

А, тут есть ZO.

Точка E лежит на ZO.

Точка B лежит на ZX.

А ZX и ZO — это и есть эта плоскость, треугольник вот этот.

Поэтому точка E и B лежат в одной плоскости.

Я их соединяю.

Чего?

Все правильно.

Я тоже подустал.

Да?

Да.

Получил вторую точку.

Четвертую, четвертую даже.

Ф. Что дальше?

Нельзя продлить со стороны точки B. Можно.

Можно было бы продлить вот так.

Понять просто надо, с чем пересекаются и куда мы стремимся.

Получили точку.

Эта точка лежит в той же плоскости, что и что

А что и что?

А ничего.

А ничего, точка C не лежит с этой точки в плоскости.

Тут что-то не получается.

Куда бы ни продляй.

Куда бы ни продляй.

Не получается там.

Как понять, сколько точек надо?

Так, чтобы плоскость сечения получилась.

Так, чтобы плоскость сечения у тебя замкнулась.

Мы могли сразу BF соединить.

Так у нас же сразу не было точки F. Как бы мы их соединили?

У тебя же не было точки F. Мы же точку F нашли за счет того, что нашли общую точку.

А дальше провели BF.

То есть точка Е для нас такая посредник.

Типа она нам позволила познакомиться точки В и С. Видели, как придумал?

Вот так.

Вот такая.

По-моему, здесь чуть-чуть понеприятнее.

Давай назовем, во-первых, ZUVXY.

Че могу точно соединить?

Могу BC соединить.

И на этом, в принципе, закончить.

Думаю, че продлить.

Че продлить, чат?

Давай так.

То есть первое, что я сделал, это я провел BC.

Че продлить могу?

Параллельным.

А у тебя здесь будут параллельные плоскости?

Есть у тебя здесь плоскости параллельные?

BC продлить.

С чем пересечется наша BC?

Вот ее продляю.

Она у меня пересекается с YO.

Получилась какая-то точка.

А.

точка е и .

могу соединить получая новую точку f и

Точка F и B, O лежат в одной плоскости.

Могу провести.

У меня осталось, получается, вот с той стороны A и C познакомить, да?

Z, O.

До пересечения с чем зато продлить?

До пересечения с чем?

Да, ребят, еще раз.

Параллельно тут нет параллельных плоскостей у нас.

У нас плоскость не параллельна.

Надо познакомить АС.

Что делать?

Куда продляем?

Давай подумаем.

Давай подумаем.

Куда-нибудь да продлим.

Туда.

Вижу.

Вижу.

БФ можем продлить?

Куда-то сюда.

Она у нас в одной плоскости ZX.

Соответственно, пересечется.

Ну и не параллельно.

Пересечется.

Получим точку.

Точки-то закончились уже.

И точка D и A лежат в одной плоскости.

Могу соединить.

Такое жесткое, жесткое, чуть-чуть жесткое.

Так, это чем мы BF продлили до пересечения ZX и получили точку D, а дальше провели DA до пересечения с YX, получили точку какую?

M. Ну а дальше M и C уже лежат в одной плоскости.

То есть наша задача при построении сечения всегда понимать, в одних ли плоскостях лежат точки.

Типа когда они на рисунке, например, вот это и вот это, ну это понятно.

А когда она, например, вот здесь и здесь, нужно понимать, что А и Д действительно в одной плоскости.

Почему?

Потому что точка А лежит вот в этой плоскости треугольника, а Zx тоже лежит там, а точка D лежит на Zx.

Поэтому я уверен в том, что точка D лежит в этой плоскости.

Понятно?

Ну, такая резиночка.

Успеем.

Кстати, реально успеем за 15 минут?

Мне кажется, реально успеем.

Давай здесь.

Твои пересечения только прямые, которые на воздухе?

Ну, конечно.

А то у тебя скрещиваются, и так пойдут, и хрен его знает куда.

А параллельность там, где параллельные грани, да.

Так, что есть?

А и Б могу, да?

Точно в одной плоскости.

Давай назовем.

Блин, почему тут А, Б занято?

Мне вот приходится новые буквы придумывать.

Х1, З1, В1, О1.

Так, проблема с B и C, да, и A и C, не знаю.

Но пошел нож, вот прошел нож через красную мою прямую, да, через красную мою прямую прошел нож.

Хорош.

Через красную, ребята, слушайте, через сейчас без вот этих продлений.

Прошел нож через мою красную прямую.

Этот нож должен пройти через точку С. То есть он тут как-то тоже вышел.

Нижняя плоскость и верхняя плоскость, они какие?

Параллельные.

Когда у меня нож проходит через параллельную плоскость, он их пересекает по параллельным прямым.

Это получается, что нож зашел здесь, пересечет здесь как?

Параллельно этому.

Он через точку С провел прямую параллельную АВ.

Потому что нож зашел здесь, вышел здесь.

Параллельный при плоскости пересек.

Ну а дальше соединяем.

Сюда.

А, сюда не получается пока.

Сюда не получается.

Так, так, так, так, так.

Ну и вот тут вот осталось как-то замыкать.

Как-то замыкать.

Предложение.

Ваши предложения.

Параллельные плоскости ищите.

В ДЗ не будет построения сечения.

Без продлений.

Без продлений.

Ну я же не просто так взял... Опять перестал чат обновляться.

Я же не просто так взял этот продлепипед.

Не чтобы мы продляли и так же сидели.

Наша плоскость ZOO1Z1 и та задняя плоскость, они же тоже параллельны.

В заднюю плоскость вошел нож.

Он через переднюю плоскость как пройдет?

Параллельно.

У нас есть точка в передней плоскости.

Мы через эту точку ставим прямую параллельную БЕ.

АМ.

Параллельная плоскость передняя-задняя.

Поэтому здесь провели прямую параллельную БЕ.

Ну а дальше уже тут.

Вот такая штучка.

Ну, попрактиковаться, понятно, кто это не знал, не понимал, надо, но вот те три правила, которые мы записали, они есть.

Ладно, дома самостоятельно.

Пойдемте дальше.

Тут реально перебор.

Пойдем.

Все, у нас осталась последняя темка.

Последняя темка.

Темка.

Перпендикулярность.

Моя любимая, моя любимая перпендикулярность.

Сейчас будем говорить о перпендикулярности прямых и прямой плоскости.

Потом затронем... Потом уже, потом, потом я имею в виду.

Перпендикулярность плоскостей.

Ой.

Поехали, поехали.

Ладно.

Перпендикулярность прямых.

Чуть-чуть, чуть-чуть, терпим, терпим, терпим, терпим, терпим, терпим, терпим, терпим, терпим.

Перпендикулярность прямых.

Перпендикулярные прямые это прямые угол между которыми

Равен 90 градусов.

Почему... Почему я не написал, что это прямые, которые пересекаются под углом 90 градусов?

Чат.

Почему я не написал, что они пересекаются под прямым углом?

Почему я сказал, что это угол, между которым можно было написать прямые, которые пересекаются под прямым углом?

А, потому что у нас есть скрещивающиеся ваши прямые, между которыми тоже может быть угол 90 градусов.

Окей?

Окей.

Давайте пару свойств закинем сюда.

Если а параллельно b, а перпендикулярно c, то b перпендикулярно c. Если одна из двух параллельно прямых перпендикулярна другой прямой, то и вторая прямая также перпендикулярна этой прямой.

Ну, примитивная связь.

Мы же говорим про перпендикулярность прямых.

Поэтому пока фактически планик идет.

Пока планик идет.

Пока планик идет.

А вот теперь перпендикулярность, прямая плоскость.

На самом деле, блин, я говорю, люблю, люблю эту тему.

Люблю всей душой.

Она так красиво решает задачки, помогает.

Увидел прямую перпендикулярную плоскость.

Все, это прямая, еще другой прямой перпендикулярный.

Вообще класс.

Вообще класс.

Погнали.

Определение.

Прямая перпендикулярна плоскости.

Это прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Это прямая.

перпендикулярная любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Такое интересное определение, да?

Интересное определение.

И по факту, типа, если мы хотим доказать, что прямая перпендикулярна какой-то там плоскости, нам нужно взять все прямые, которые есть в этой плоскости, а их там бесконечное количество, и доказывать, что они все перпендикулярны ей.

Как скрещиваются прямые и перпендикулярные?

В смысле, как?

Так же, как и угол между прямыми.

Вот есть прямая, есть плоскость.

Вот скрещиваются прямые.

Мы параллельным переносом перенесли.

Вот здесь получили 90 градусов.

Все.

Не понял.

Прямо вопрос.

Прямо вопрос.

Теперь признак перпендикулярности прямой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Очень часто используем, ребятки, очень часто используем.

Посмотрите.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,

в плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости.

есть есть плоскость от еще раз говорю в сотый раз очень важная штучка она очень важная штучка буквами если

а перпендикулярно b, а перпендикулярно c, и b пересекается с c, и b и c лежат в плоскости α, то а перпендикулярно самой плоскости α.

Это признак перпендикулярности прямой плоскости.

Чат.

Послушайте внимательно сейчас.

Да, этим можно вместо ТТП пользоваться.

Но иногда ТТП легче записать.

А иногда, наоборот, это легче записать.

Хе-хе.

Да не отвлекайте вы.

Короче, смотрите, один важный момент.

Ребятки, почему перпендикулярность прямой плоскости круче, чем параллельность прямой плоскости?

Я просто хочу какую-то ассоциацию вам дать, чтобы это вам помогало.

Смотри, если ты решаешь задачу, прикинь, если... Давай какую-нибудь набросаем просто.

Вот у тебя есть параллелепипед, опять.

то опять параллелепипед посмотрите внимательно все чуть-чуть осталось буквально чуть-чуть чуть-чуть осталось смотри какая какая очень прикольная штука ребята есть у меня прямая cc1 так и

У меня здесь вот какой угол между CC1 и BC?

Прямой угол.

У меня вон там вот какой угол сзади?

Прямой угол, потому что квадратики везде.

То что я понимаю?

Я понимаю, что CC1 перпендикулярна всей плоскости BC.

ABC, так?

Да ладно, вы просидели 2 часа, вы что?

У нас матфак по 2,5 часа сидел каждый день.

Прекращайте.

CC1 перпендикулярна всей плоскости ABC, получается, так?

Ребята, поняли, что я сказал?

Типа, у нас CC1 перпендикулярна BC, CC1 перпендикулярна CD, отсюда она перпендикулярна всей этой плоскости, так?

Пока не услышу, так не продолжу, нихрена.

Надо разбудить, кажется.

Извините.

Так.

А теперь смотри.

Это прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

То есть, если я знаю, что CC1 перпендикулярна плоскости, какие бы прямые у меня здесь не были бы проведены, я могу использовать, что CC1 перпендикулярна этой прямой.

Вы поняли это?

Мы используем это при решении задач.

Ладно, что там у нас осталось-то?

Господи.

Свойства.

Давай рисунок.

Давай рисунок.

Если а параллельно b, и а перпендикулярно α, то b тоже будет перпендикулярно α. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости α, то и другая прямая тоже будет перпендикулярна этой плоскости.

Угу.

Угу.

Угу.

И наоборот.

Просто, по сути, обратное.

Просто сравнивать, сравнивать.

Если А перпендикулярно альфа, B перпендикулярно альфа, что это такое было, то А параллельно B.

Ну хорошо же получилось.

Ну сложновато чуть-чуть, но хорошо зато.

Окей?

Окей.

Все.

Я открываю последний лист.

ТТП пишу и домой нафиг убегаю.

Есть плоскость.

Слушайте, но мне, знаете, что нравится на самом деле?

Что с момента перерыва до сейчас ушло 20 человек.

25 человек.

А 170 еще сидят.

Из 200, короче, 25 ушло.

Это хороший рез, молодцы.

Есть плоскость.

Альфа.

Есть прямая, которая пересекает эту плоскость.

Под каким-то углом.

Это у нас прямая называется наклонная.

Под каким-то углом она как-то пересекает плоскость альфа.

В какой-то точке а. Если я выберу какую-то точку на наклонной, и из этой точки опущу перпендикуляр к плоскости альфа.

Как-нибудь вот так.

Перпендикуляр аж.

тут B, тут C, то что на самом деле у меня получается?

Смотри.

AC AC это проекция наклонной на плоскость α. Так?

Это перпендикулярно.

к плоскости альфа.

Это наклонная, подписали.

Это пока просто рисунок.

Пока просто рисунок, на котором есть наклонная, есть перпендикуляр, который дал нам построить проекцию.

Но теперь я вкидываю.

Я говорю, допустим, есть какая-то прямая.

M, которая перпендикулярна проекции наклонной.

то по теореме о трех перпендикулярах эта прямая будет перпендикулярной самой наклонной.

Давай запишем.

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции

наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна... Я чатик не вижу, ребят, у меня не обновился.

Сейчас я посмотрю.

То она перпендикулярна и самой наклонной.

Да, эта теорема полезная, но на самом деле она не сильно отличается от признака перпендикулярности прямой плоскости.

Она полезная,

В каких-то задачах мы используем конкретно ее, а в каких-то задачах нам, даже если мы ее будем видеть, нам удобнее доказать просто перпендикулярность прямой плоскости.

Понятно?

Понятно.

Почему... Давай, быстро, быстро, смотри.

У меня h перпендикулярно α, так?

Значит, h перпендикулярно любой прямой лежащей плоскости α, то есть прямой m. Так?

У меня M перпендикулярно AC.

То есть получается, что моя прямая M перпендикулярна AC, моя прямая M перпендикулярна H, а если она перпендикулярна двум пересекающим прямым, она перпендикулярна всей плоскости.

Вот именно поэтому она перпендикулярна и наклонна AB.

Вот оно доказается теорема трех перпендикуляров.

Обратная есть.

Давай запишем.

Ну, ее нужно записать.

Чем она отличается?

Если прямая перпендикулярно наклонной, ну, лежащая в плоскости, лежащая в плоскости, перпендикулярно наклонной к этой плоскости,

то она перпендикулярна и проекция наклона на эту плоскость.

На эту плоскость.

понимаете, что это и это одно и то же.

Почему?

Потому что у нас просто вот эта прямая, она перпендикулярна нашей вот этой вот плоскости.

Плоскости вот этой ABC.

Я хоть вот такую прямую проведу в этой плоскости, она будет ей перпендикулярна.

Прямая проведенная... Так, стоп.

Проведенная через основание наклона перпендикулярных самой наклона... Есть нюанс!

Прямую M часто рисуют именно вот так.

Именно через эту точку.

На самом деле она может быть проведена здесь.

Вообще ничего не меняет.

Вообще ничего не меняет.

Просто ее так обычно рисуют здесь, чтобы удобно было.

Она может и здесь быть проведена.

Вообще без проблем.

Все.